勾股定理的实际应用.doc

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资源描述

1、1勾股定理的实际应用一、确定小鸟飞行距离 例 1 (2013 年贵州省安顺市中考题)如图 1,有两棵树,一棵高 10米,另一棵高 4 米,两树相距 8 米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( ) A.8 米 B.10 米 C.12 米 D.14 米 分析根据“两点之间线段最短”可知,小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所飞行的路程最短,运用勾股定理可求出两点之间的距离。 解 如图 1,设大树高为 AB10 m,小树高为 CD4 m,过 C 点作CEAB 于 E,则四边形 EBDC 是长方形,连接 AC,所以 EB4 m,EC8 m,AEABEB1046 m,在 RtAEC

2、中,AC=10 m,故答案应选 B。 点评 本题考查勾股定理的运用,善于观察题目的信息是解题的关键。二、确定车子是否超速 例 2 (2013 年辽宁省本溪市中考题)校车安全是近几年社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验,如图 2,先在笔直的公路 l 旁选取一点 A,在公路 l 上确定点 B、C,使得 ACl,BAC60,再在 AC 上确定点 D,2使得BDC75,测得 AD40 米,已知本路段对校车限速是 50 千米/小时,若测得某校车从点 B 到点 C 匀速行驶用时 10 秒,问这辆车在本路段是否超速?请说明理由。 (参考数据:1.41

3、,1.73) 分析 过点 D 作 DEAB 于点 E,可得BCDBED,在 RtADE 中求出 DE,继而得出 CD,计算出 AC 的长度后,在 RtABC 中求出 BC,从而可判断校车是否超速。 解 过点 D 作 DEAB 于点 E,因为CDB75,所以CBD15,EBD15,在 RtCBD 和 RtEBD 中,因为CBDEBD,DCBDEB,BDBD,所以CBDEBD,所以CDDE。 在 RtADE 中,因为A60,所以ADE30。又因为 AD40米,所以 AE20 米。 由勾股定理,得 DE20米,故 ACAD+CD=AD+DE(40+20)米。 在 RtABC 中,因为A60,所以AB

4、C30,AB2AC=(80+40)米,BC(40+60)米。 所以这辆车在 BC 段的速度(40+60)10(4+6)米/秒12.92 米/秒46.512 千米/小时50 千米/小时,所以该车没有超速。 点评 本题考查了勾股定理的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,求出 BC 的长度,需要运用两次勾股定理。 三、求楼的高度 例 3 (2013 年湖北省鄂州市中考题)小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说:“这楼起码 20 层!”小华却不以为然:“20 层?3我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各

5、选 A、B 两点,测量数据如图 3 所示,其中矩形 CDEF 表示楼体,AB150 米,CD10 米,A30,B45,A、C、D、B 四点在同一直线上,问: (1)楼高多少米? (2)若每层楼按 3 米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由。 (参考数据:1.73,1.41,2.24) 分析 (1)设楼高为 x,则 CFDEx,在 RtACF 和 RtDEB 中分别用 x 表示 AC、BD 的值,然后根据 AC+CD+BD150,求出 x 的值即可。(2)先算出 20 层楼的高度,然后和上一问求出的 x 的值进行比较即可判断谁的观点正确。 解(1)设楼高为 x,则 CFDEx,因为A30

6、,B45,ACFBDE90,所以 AF2x,BDx,由勾股定理,得 ACx,所以x+x15010,解得 x70(1) ,所以楼高 70(1)米。 (2)因为 x70(1)70(1.73-1)700.7351.1320,所以我支持小华的观点,这楼不到 20 层。 点评 本题考查了勾股定理的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用方程思想求解。 四、求梯子的滑行距离 例 4 (2013 年内蒙古包头市中考题)如图 4,一根长 6米的木棒4AB,斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上,与地面的倾斜角ABO 为 60。当木棒 A 端沿墙下滑至点 A时,B 端沿地面向右滑行至点 B。 (1)求 OB 的长; (2)当 AA1 米时,求 BB的长。 分析 (1)由已知数据求解即可。 (2)首先求出 OA 的长和 OA的长,再根据勾股定理求出 OB的长。 解(1)在 RtAOB 中,根据题意可知,AB6,ABO60,AOB90,所以OAB30,所以 OB3,即 OB 的长为 3米。 (2)根据题意可知,ABAB6米,而在 RtAOB 中,由勾股定理,得 OA9 米。 因为 OAOAAA,AA1 米,所以 OA8 米。 在 RtAOB中,由勾股定理得 OB=2米,所以BBOBOB(2-3)米。 点评 本题以生活中的梯子为背景,考查了勾股定理的实际应用。

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