1、1第六章 热力学第二定律6-1 一致冷机工作在 t2=10和 t1=11之间，若其循环可看作可逆卡诺循环的逆循环，则每消耗1.00KJ 的功能由冷库取出多少热量？解： 可逆制冷机的制冷系数为=Q 2/A=T1/（T 1T 2） 从冷库取出的热量为：Q2=AT2/（T 1T 2）=10 3263/(284263)=1.2510 4J6-2 设一动力暖气装置由一热机和一致冷机组合而成。热机靠燃料燃烧时放出热量工作，向暖气系统中的水放热，并带动致冷机，致冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热。设热机锅炉的温度为 t1=210，天然水的温度为 t2=15，暖气系统的温度为 t3=60，燃料的燃烧热为
2、5000KcalKg1 ，试求燃烧 1.00Kg 燃料，暖气系统所得的热量。假设热机和致冷机的工作循环都是理想卡诺循环。解： 动力暖气装置示意如图，T 1=273+210=483K，T3=273+60=333K，T 2=273+15=288K。I 表热机，表致冷机。热机效率 =A/Q 1=1T 3/T1=0.31 A=Q 1=0.31Q1 致冷机的致冷系数=Q 2/A=T2/（T 3T 2）Q 2=AT2/（T 3T 2）=0.31Q 1288/（333288）=1.984Q 1而 Q1=qM=50001Kcal暖气系统得到的热量为：Q=Q3+Q4=（Q 1A）+（A+Q 2）=Q 1+Q2=
3、Q1+1.984Q1=2.9845000=1.492104 Kcal=6.24104 KJ6-3 一理想气体准静态卡诺循环，当热源温度为 100，冷却器温度为 0时，作净功 800J，今若维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增加为 1.60103 J，则这时：（1） 热源的温度为多少？（2） 效率增大到多少？设这两个循环都工作于相同的两绝热线之间。解：（1） 如图卡诺循环 1234 和 1234 的两条绝热线相同，所以它们放给低温热源的热量相等，即 Q 2=Q2循环 1234 的效率为2=A/Q 1=A/（A+Q 2）=1（T 2/T1） Q 2=AT2/（T 1T 2）循环 1234 的
4、效率为=A/Q 1=A/（A+Q 2）=1（T 2/T1） Q 2=AT 2/（T 1T 2）Q2=Q2，有A T2/（T 1T 2）=AT 2/（T 1T 2）代入已知，解之 T 1=473 K（2）=1T 2/T1=1273/473=42.3%6-4 一热机工作于 50与 250之间，在一循环中对外输出的净功为 1.0510 6J，求这热机在一循环中所吸入和放出的最小热量。解：在功和热源一定的条件下，当循环可逆时，循环中吸入和放出的热量都最小。可逆循环的效率=A/Q 1=1T 2/T1 Q 1=A/（1T 2/T1）=2.7510 6 J即循环中吸入的最小热量。而放出的最小热量为Q2=Q1
5、A=1.710 6J 6-5 一可逆卡诺热机低温热源的温度为 7.0，效率为 40%。若要将其效率提高到 50%，则高温热源的温度需提高几度？解： =1T 2/T1 则 T 1=T2/（1）提高后，=1T 2/T1 则 T 1=T 2/（1）代入数据则高温热源的温度提高T=T 1T 1=93K6-6 一制冰机低温部分的温度为10散热部分的温度为 35，所耗功率为 1500W，制冰机的制冷系数是逆向卡诺循环制冷机制冷系数的 1/3。今用此制冰机将 25的水制成18的冰，问制冰机每小时能制冰多少千克（冰熔解热为 80calg1 ，冰的比热为 0.50calg1 K1 ）解： 制冰机的制冷系数为=Q
6、 2/A=1/3 卡=1/3 T 2/（T 1T 2）3 制冰机每秒从低温部分吸收的热量为Q2= =2922 J26308153312TA而每小时可从低温部分吸收的热量为 3600Q2设每小时能制冰 m 克，则 m 克 25的水变成18的冰要放出的热量为25m+80m+0.518m=114m cal由热平衡方程得4.18114m=36002922 m=2.210 4 克=22 千克6-7 试证明：任意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源温度与最低热源温度之间的可逆卡诺循环的效率。（提示：先讨论任一可逆循环过程，并以一连串微小的可逆卡诺循环代替这循环过程。如以 Tm和 Tn分别代表
7、这任一可逆循环所经历的最高热源温度和最低热源温度。试分析每一微小卡诺循环效率与1T n/Tm的关系）证： （1）当任意循环可逆时，用图中封闭曲线 R 表示，而 R 可用图中一连串微小的可逆卡诺循环来代替，这是由于考虑到：任两相邻的微小可逆卡诺循有一总，环段绝热线是共同的，但进行方向相反从而效果相互抵消，因而这一连串微小可逆卡循环的总效果就和图中锯齿形路径所表示的循环相同；当每个微小卡诺循环无限小而趋于数总无限多时，其极限就趋于可逆循环 R。考虑任一微小可逆卡诺循环，如图中阴影部分所示，系统从高温热源 Ti吸热 Qi，向低温热源 Ti放热，对外作功 Ai，则效率 i=Ai/Qi Q i=Ai/
8、i 任意可逆循环 R 的效率为=A/Q iA 为循环 R 中对外作的总功。 A/= = (1)iQiA又， T m和 Tn是任意循环所经历的最高温热源和最低温热源的温度。 对任一微小可逆卡诺循环，必有：TiT m， T jT n或 T j/TiT n/Tm或 1T j/Ti1T n/Tm令 mn表示热源 Tm和 Tn之间的可逆卡诺循环的效率,上式为 i mn (2)4将(2)式代入(1)式：A/ mnimnii AA1或 1/1/ mn或 mn即任意循环可逆时，其效率不大于它所经历的最高温热源 T 和最低热源 T 之间的可逆卡诺循环的效率。（2）任意循环不可逆时，可用一连微小的不可逆卡诺循环来
9、代替，由卡诺定理知，任一微小的不可逆循环的效率必小于可逆的效率，即 i 不 i mn （3）对任一微小的不可逆卡诺循环，也有A 不 / 不 =A i 不 / i 不 （4）将（3）式代入（4）式可得： 不 mn即任意不可逆循环的效率必小于它所经历的最高温源 T 和最低温热源 T 之间的可逆卡诺循环的效率。综之，必 任意 mn即任意循环的效率不可能大于它所经历的最高温热源和最低温热源之间的可逆卡诺循环的效率。6-8 若准静态卡诺循环中的工作物质不是理想气体而服从状态方程 p(vb)=RT。试证明这卡诺循环的效率公式仍为 =1T 2/T1（参考第五章习题 13）。证： 此种物质的可逆卡诺循环如图。
10、等温膨胀过程中，该物质从高温热源 T1 吸热为Q1= = =2Vpdv21VdvbRTb12ln等温压缩过程中，该物质向低温热源放热为Q2= bvRT431ln由第五章习题 13 知，该物质的绝热过程方程为P(vb) r=常数利用 p(v-b)=RT 可得其绝热方程的另一表达式T(vb) r1 =常数由绝热线 23 及 14 得5T1(v2b) r1 =T2(v3b) r1T1（v 1b） r1 =T2(v4b) r1两式相比得(v2b)/(v 1b)=(v 3b)/(v 4b) 该物质卡诺循环的效率为=1Q 2/Q1=1T 2/T1可见，工作于热源 T1与 T2之间的可逆机循环的效率总为 1
11、T 2/T1，与工作物质无关，这正是卡诺定理所指出的。6-9 （1） 利用（6.7）式证明，对一摩尔范德瓦耳斯气体有=a/v 2Tvu)(（2） 由（1）证明：u=u0+ )1(0vadCTV（3）设 CV为常数，证明上式可写u =u 0+CVTa/v其中 u0=u 0C VT0+a/v0证： （1）对一摩尔物质，（6.7）式 为pvvT)()(一摩尔范氏气体的物态方程为p =RT/（vb）a/v 2代入上式即得pvabRTvuT)()(2= 2b（2） 视 u 为 T、v 的函数，由（1）得du= dvaTCdV2)()( 积分上式dvaduTVU000 2即得6u=u0+ )1(0vadT
12、CV（3）当 C 为常数00dVTV由（2）即得：u=u0+CVTC VT0+a/v0a/v=u 0+C VTa/v其中 u 0=u 0C VT0+a/v06-10 设有一摩尔范德瓦耳斯气体，证明其静态绝热过程方程为T（vb） R/CV=常数该气体的摩尔热容量 C 为常数（提示：利用习题 9 的结果）证： 上题给出 du =C VdT+a/v2d由（6.15）式及 p=RT/(vb)a/v 2得：TdS=du+pdv=CVdT+RT/(vb)dv由熵增原理知，可逆绝热过程中系统的熵不变，有0dvbRTCV或 V已知 R/CV为常数，积分上式即得T(vb) R/CV =常数6-11 接上题，证明
13、范德瓦耳斯气体准静态绝热过程方程又可写为。常 数VCRbvap)(2证明：由一摩尔范德瓦耳斯气体的状态方程得： )(12vRT（代入上题结果 常 数VCRbvap)()(12由于 R 是常量，所以上式可写作：7常 数VCRbvap)(26-12 证明：范德瓦耳斯气体进行准静态绝热过程时，气体对外作功为：设 Cv 为常数。)1()(221vaTCV解：习题 9 给出，对摩尔范氏气体有：u=u0+ )1(0vadTV当范氏气体由状态（T 1、v 1）变到状态（T 2、v 2） ，内能由 u1变到 u2，而 Cv 为常数时，上式为：)()(21212aCuV绝热过程中，Q=0，由热力学第一定律得气体
14、对外做的功：-A= )1()(22121 vaTCuV6-13 证明：对一摩尔服从范德瓦耳斯方程的气体有下列关系：32)(1RTvbaCvp（提示：要利用范德瓦耳斯 气体的如下关系：）3)(2)(vbavp证明：习题 9 已证明，一摩尔范氏气体有：=a/v 2Tvu)(dvaCudVT2)(视 v 为 T、p 的函数，有： dpvdT)()(8所以，1 摩尔范氏气体在无穷小等压（dp=0）过程中，热力学第一定律可写为： dTvbRdTCvaapuQpVp)(22或 p又由 可得：va)(23)()(vbRTv代入上式即得： 32)(1RTvbaCvp6-14 若用范德瓦耳斯气体模型，试求在焦耳
15、测定气体内能实验中气体温度的变化，设气体定容摩尔热容量 Cv 为常数，摩尔体积在气体膨胀前后分别为 v1、v 2。解：当 1 摩尔范氏气体由（T 1、v 1）变到（T 2、v 2） ， ，而 Cv 为常数时，由 9 题结果知其内能的变化为：（1）)()(21212 vaCuV焦耳自由膨胀实验中，A=0，且气体向真空的膨胀过程极短暂，可认为气体来不及与外界热交换，Q=0，由热力学第一定律得： 012u对于 1 摩尔范氏气体，由（1）式则得： )(122uvCaTV6-15 利用上题公式，求 CO2在焦耳实验中温度的变化。设气体的摩尔体积在膨胀前是 2.01mol-1，在膨胀后为 4. 0mol-1。已知 CO2的摩尔热容量为 3.38R，a=3.6atml2mol-2解：取 R=8.210-2 atml2mol-2，利用上题公式并代入已知数据得：负号表示范氏气体自由膨胀后温度降低。KuvCaTV5.3)1(212
