1、1课堂追问 学生先行教育家陶行知曾说过：“行是知之路，学非问不明.” 追问的艺术就是课堂教学的艺术，就是引导者的艺术. 有效追问能开启学生思维的闸门，展开学生思想的翅膀，促进学生思维能力的提高；能够架起预设和生成的桥梁，促进学生自主建构知识和课堂动态生成. 有效追问是建立在数学教师的学识魅力基础上的一种教学技巧，适时恰当的追问是学生探究学习的动力，是引导学生进一步探索的“钥匙” ，也是学生理性思维深入的标志，是提升学生思维高度的“云梯” ，情到浓时方为真，它是数学课堂教学最真实的表现，也是数学回归“本真”理念的体现. 笔者在对 2012 年安徽省数学高考 20 题的点评课中，从课堂的教学实际出
2、发，不断地探索发问，取得了意想不到的效果. 题目：如图 1，F1（-c，0） ，F2（c，0）分别是椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P，过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x=于点 Q； （I）若点 Q 的坐标为（4，4） ；求椭圆 C 的方程； （II）证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 一、追问于粗浅时水到渠成 师：本题内涵丰富，易做易错，解法多样，应牢牢抓住直线 PQ 为椭圆的切线这一关键点处理问题，常规解法是什么，哪位同学要尝试一下2呢？ 生 1：我的解法是写出直线的方程与椭圆方程联立，用判别式证明方程只有一解.
3、因为 PF1x 轴，所以 PF1=，即 P（-c， ）. 设 Q（，y2） ；则 PF2QF2？圳=-1？圳 y2=2a. 故直线 PQ 的方程为：=，即 y=x+a， 将上式代入椭圆+=1 得，x2+2cx+c2=0，解得 x=-c，y=. 所以直线 PQ和椭圆 C 只有一个交点. 学生在学习数学时，由于受知识、经验的局限或思维惯性的影响，对数学概念、数学思想、数学方法等的认识常表现出孤立、肤浅的思维特征. 教师若能够恰当地追问，引导学生作进一步的探索，能激发学生的思维和想象，将学生的思维一步一步、循序渐进地发展深入下去，逐渐领悟数学的本质，使知识的掌握水到渠成. 二、追问于错误时巧妙纠正
4、师：椭圆的切线类问题除了生 1 的解法外，还可以用导数的方法，不知有没有同学用此法解题呢？ 生 2：我就是这么做的，下面是我的过程（该生表现得很兴奋，因为他猜到了我心中所想，觉得和我志同道合）. 设 Q（，y2） ，则 PF2QF2？圳=-1？圳 y2=2a，得： kPQ=，+=1？圯 y=，y=. 过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k=yx=-c=kPQ，则直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点. 师：生 2 的解法很简洁，但是这中间还有一个小的瑕疵，在对椭圆3方程进行求导的过程中，该生得到了两个导函数，我们应该如何处理呢？生 3：生 2 忽略了题目中点 P 在椭圆 C 的上半部分这个条件，
5、在解题中+=1？圯 y= ，求出两个导函数是画蛇添足. 对于这两个学生的回答让我发现只要我们教师放得开，其实在课堂上学生可以走得更远. 而教师应善待学生的错误，以“错”为媒，挖掘教育价值，让课堂生成更有价值. 在教学中，妙用学生的“错” ，将错就错，因势利导地进行有效追问，引导学生进行查错、思错、纠错活动，使其暴露出错的过程，并在分析讨论中生成正误知识的辨析点，达到引导学生“自我反省、自行纠错”的目的，进而更加深刻地认识其本质. 三、追问于疑难时画龙点睛 师：解析几何的核心思想是用代数方法解决几何问题，但是并不代表我们就要摒弃几何法，几何图形的性质往往更形象直观，巧用几何法往往会有事半功倍之效
6、. 有位同学对 20 题给出了如下的解法，但是并不完备，我们来帮他一下如何？ 生 4：因为 PF1x 轴，所以 PF1=，PF2=2a-，由条件 PtPF1F2RtF2HQ（其中 H 为直线 x=与 x 轴的交点） ，得=，即=，化简得F2Q=c+. 于是 F2Q=F1H 师：该生的过程可以让我们得到什么直接的结论呢？ 生 5：直线 PQ 为F1PF2 的外角平分线. 师：由直线 PQ 为F1PF2 的外角平分线和要证明的结论，我们可以4采用椭圆的光学性质（直线 PQ 为F1PF2 的外角平分线，则 PQ 为椭圆的切线） ，从而使问题得以解决. 这一解法开阔了学生的眼界，也使这道高考题的考查背
7、景更开阔，内容更丰富，极大地调动了学生学习的积极性，现也将该光学性质简证如下： 设 F1 关于直线 PQ 的对称点为 F1，如图 2，连结 F1P，易得F1，P，F2 共线，从而 F1F2=2a，设 P是直线 PQ 上异于 P 的任意一点，则 PF1+PF2=F1P+F2PF1F2=2a，因此点 P不可能在椭圆C 上，点 P 为直线 PQ 与椭圆的唯一公共点，即为椭圆 PQ 的切线. 师：本题中的点 P 为通径的一个端点，从上面证法中不难看出，过程并未用到 PF1x 这一条件. 事实上，对椭圆上的任意一点 P，第二问的结论均成立，且其逆命题也成立，这是一个很有价值的结论，我们不妨加以研究利用.
8、 结论：设 F 为椭圆的一个焦点，其相应的准线为 l，点 P，Q 分别在椭圆及其准线 l 上，则 PFFQ 的充要条件是直线 PQ 为椭圆的切线. 证明如下：设椭圆方程为 C：+=1（ab0） ，其右焦点为 F，l 为右准线.（充分性）设 P（x0，y0） ，则切线 PQ 的方程为+=1（从而 Q（， ） ，于是 kPF=，kFQ=，即 kPF?kFQ=-1，故 PFFQ. （必要性）已知 PFFQ，因为 kPF=，所以 kFQ=，直线 FQ 的方程为 y=（x-c）. 令 x=，得 Q（， ）. 直线 PQ 方程为 y-y0 =（x-x0） ，化简得+=1. （1） 式（1）为椭圆在点 P
9、处的切线方程，即直线 PQ 为椭圆的切线. 追问是突破教学难点、促进学生思考的催化剂. 教师通过精彩的课5堂追问，或降低难度或改变角度，可以化繁为简、变难为易，引发学生自主探究，建构新知. 因此，在教学疑难点处，如果教师善于利用追问，就能起到画龙点睛的效果. 四、追问于关键时点石成金 师：通过上面的探索我们不难发现这道高考题有着它存在的普遍性，它应该是一类问题的代表，同学们可以试着对上述结论加以推广. 生 6：推广 1：设 F（t，0）是椭圆 C：+=1（ab0）内异于原点的一点，直线 l 的方程为 x=，点 P，Q 分别在椭圆及直线 l 上，则kPF?kFQ=的充要条件是直线 PQ 为椭圆的
10、切线. 师：推广 1 的证明方法和结论类似，这里略. 显然当 t=c 时，推广1 即为结论，可见结论为推广 1 的特例，该生为我们前行迈进了一步. 如果我们往广义范畴考虑，椭圆只是圆锥曲线的一种，其他曲线是否也有类似性质呢？我们本节课可以加以推广. 生 7：推广 2：设 F 为双曲线的一个焦点，其相应的准线为 l，点P，Q 分别在双曲线及其准线上，则 PFFQ 的充要条件是 PQ 为双曲线的切线. 生 8：推广 3：设 F 为抛物线的一个焦点，其相应的准线为 l，点P，Q 分别在抛物线及其准线上，则 PFFQ 的充要条件是 PQ 为抛物线的切线. 师：猜想必须经过严格的理论证明才有可信度，也才
11、具有实用价值，具有可操作性，推广 2 的证明与结论的证法相似，这里就不再重复了，我们一起给出推广 3 的证明. 6证明：设抛物线方程为 y2=2px（p0） ，P（x0，y0）. （充分性）切线 PQ 的方程为 yy0=P（x+x0） ， 令 x=-，得 Q（-， （x0-） ） ，kPF=，kFQ=-，因此，kPF?kFQ=-1，即PFFQ. （必要性）现已知 PFFQ，因为 kPF=，所以 kFQ=-，故直线 FQ 的方程为 y=-（x-）.令 x=-，得 Q（-， ） ，因此直线 PQ 的方程为 y-y0=（x=x0） ，化简得 yy0=p（x+x0）. （2） 式（2）即为抛物线在点
12、P 处的切线方程，即直线 PQ 为抛物线的切线. 师：上述推广可以统一归纳成为我们一个耳熟能详的性质吗？ 生 9：设圆锥曲线的一个焦点为 F，其相应的准线为 l，点 P，Q 分别在圆锥曲线及其准线 l 上，则 PFFQ 的充要条件是 PQ 为圆锥曲线的切线. 所谓数学的关键处就是教学过程中师生、生生之间容易产生思想碰撞的地方，即有可能达到教学高潮的地方. 教师要在关键处设置追问，引发学生向更深层次处思考，拓展思路，迸发灵感，使学生的思维由表及里地走向深入，进而使学生加深对新知的理解和建构. 在这节课点评的过程中，我努力让学生成为课堂的主角，在经历方法的探究和问题的解决过程中，真正理解并掌握方法、提炼技能，在学生的发言中适当的做些点评和总结，作好“引导者”. 让学生先行，教师断后，有助于构建有效课堂. 笔者认为：高三复习课应该充分发挥学生的主体地位，要求学生多思、多想、多做、多练、7多交流；而例题的选择要少而精，具有代表性，一题多解、一题多练、一题足矣；让学生先做后讲，给他们留有充足的时间思考、动笔，教师应学会放手；但教师也要发挥主导作用，比如对学生出现的各种错误要及时纠正、学生自主探究后的结论要加以总结、提炼，规范解题过程笔者一直在思考和摸索，上面的课例是笔者的一个初步尝试，教师应适时地调整自己的教学策略，将课堂预设和课堂生成有机地结合起来. 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
