1、第四章 电磁场和物质的共振相互作用习题2设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为 。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离 L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化 次。2/L证明：如右图所示，光源 S 发出频率为 的光，从 M 上反射的光为 ，I它被 反射并且透过 M，由图中的 I1所标记；透过 M 的光记为 ，它被I反射后又被 M 反射，此光记为 II。2由于 M 和 均为固定镜，所以 I 光的1频率不变，仍为 。将 看作光接收2器，由于它以速度 v 运动，故它感受到的光的频率为：因为 反射 光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为 v 时，发出的光的频率为2MI这样，I 光的频率为 ，II 光
2、的频率为 。在屏 P 上面，I 光和 II 光的广场可以(12/)vc分别表示为：因而光屏 P 上的总光场为光强正比于电场振幅的平方，所以 P 上面的光强为S1M2III(1)c2)(1)c0cos2(1)IIEtvtc02cos(2)cos()II vvEttt021cos2vIt它是 t 的周期函数，单位时间内的变化次数为由上式可得在 时间内屏上光强亮暗变化的次数为dt (2/)mdtcL因为 是镜 移动 长度所花费的时间，所以 也就是镜 移动 过程中屏上光t2MLt2MdL强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜 移动 L 距离时，屏上面光强周期性变2化的次数 S式中 和 分别为
3、镜 开始移动的时刻和停止移动的时刻； 和 为与 和 相对应的1t22M1L21t2镜的空间坐标，并且有 。2M1L得证。3在激光出现以前， 低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加86Kr宽，试估算在 77K 温度下它的 605.7nm 谱线的相干长度是多少，并与一个单色性的氦氖激光器比较。8/10解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为 112270 02ln.6DKTTmcM式中，M 为原子（分子）量， 。对 来说，M =86，相干长度为27.6(kg)86Kr12711027.6586 9.4cm.cDLT对于单色性 的氦氖激光器，其相干长度为8/10263.
4、28/ccL可见，氦氖激光器的相干长度要比 低气压放电灯的相干长度要大得多。86Kr4估算 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 和碰撞线宽系数 。并讨论在什么气2COD2vdLct221121()tLtmdcc压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。解： 气体在室温(300K) 下的多普勒线宽 为2COD1 182 2770 68 310.16.6.4 53HzDTM气体的碰撞线宽系数 为实验测得，其值为2CO49Kz/Pa气体的碰撞线宽与气压 p 的关系近似为2 Lp当 时，其气压为LD830.510.6Pa49Dp所以，当气压小于 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于 的时候，变108.6Pa
5、 108.6a为以均匀加宽为主。5氦氖激光器有下列三种跃迁，即 的 632.8nm， 的 和243S-P24S-.53m的 的跃迁。求 400K 时它们的多普勒线宽，分别用 、 、 为单位243S-P.9mGHz-1c表示。由所得结果你能得到什么启示？解：多普勒线宽的表达式为(单位为 GHz)1270.16DcTM(单位为 )12 270 0.cm12701.16DT所以，400K 时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：的 632.8nm 跃迁：243S-P1.52GHzD603m2115.07cmD的 跃迁：24S-P1.53m0.83GHzD691m21.70cD的 跃迁：243S-P.9m0
6、.28GHzD519m31.0cD由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。6考虑某二能级工作物质， 能级自发辐射寿命为 ，无辐射跃迁寿命为 。假定在2Esnrt=0 时刻能级 上的原子数密度为 ，工作物质的体积为 V，自发辐射光的频率为 ，求：2E(0)n (1)自发辐射光功率随时间 t 的变化规律；(2)能级 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；2(3)自发辐射光子数与初始时刻能级 上的粒子数之比 ， 称为量子产额。2E2解：(1) 在现在的情况下有可以解得： 1()2()0snrtnte可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒
7、子数密度为 ，这就2/sn是 t 时刻自发辐射的光子数密度，所以 t 时刻自发辐射的光功率为：(2) 在 时间内自发辐射的光子数为：td2()snrdnt1()22()(0)snrtsnhVPe所以(3) 量子产额为： 无辐射跃迁导致能级 2 的寿命偏短，可以由定义一个新的寿命 ，这样7根据 4.4 节所列红宝石的跃迁几率数据，估算 等于多少时红宝石对 的13W694.3nm光是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重 ，计算中可不计光的各种损耗。)24f解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为其中（II）式可以改写为因为 与 相比很大，这表示粒子在 能级上停留的时间很短，因此可以认为 能级
8、32S1A3E3E上的粒子数 ，因此有 。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求0n3/0dnt3132312 021232113() (I),() ldnWSAtfnvNnSnn210 (I)()(,) Vl llRdNft 2321221()() (V)dnSBnASt2sndVt1()22 200()()|1snrtss snr nrntVde 21(0)()snrnV1snr2s解。由(I)式可得：代入式(V)得：由于所以红宝石对波长为 694.3nm 的光透明，意思是在能量密度为 的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是 。而要使入射
9、光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有 为常数，即 ，这样式(VI)变为：12()n21/0dntdt该式应该对于任意大小的 均成立，所以只有 ，即 时才可以。这122()0Bn12n样由上式可得： 1321312()(/)WAS由于 ，所以210S这个时候红宝石对 的光是透明的。694.3nm11短波长(真空紫外、软 X 射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面。20/证明：峰值吸收截面为 2104HvA1332nWSA13221221()() ndBnStS21dtt1321212212()() (VI)nWdnSBnAStA 31 221()SASA53 3132132
10、70(/)0.().80s.1A 而 12HA0v所以代入可以得到： 20/得证。12已知红宝石的密度为 ，其中 所占比例为 0.05%(重量比) ，在波长为3.98g/cm23CrO694.3nm 附近的峰值吸收系数为 0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。解：设 的分子量为 M，阿伏加德罗常数用 NA 来表示，设单位体积内的 数为 ，23CrO 3rC0n考虑到 300K 的时候， ，则有210,nA1 23193.85%.6.01 cm2.58c所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以 来表示)m212 192102.4c58 .53cn13有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电
11、源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度 ，694.3nm 荧光线宽193./mn。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块13.0HzF图，写出实验程序及计算公式。解：实验方框图如下：光源 单色仪 红宝石棒 光电倍增管 微安表电源实验程序以及计算公式如下：(1) 测量小信号中心频率吸收系数 ：移开红宝石棒，微安表读数为 ，放入红宝石棒，m1A微安表的读数为 ，由此得到吸收系数为2A12lnmA减小入射光光强，使吸收系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长，使吸收系数最大，此最大吸收系数即为小信号中心频率吸收系数 。m(2)
12、 计算：由于 ，所以2120,nf发射截面和吸收截面为： 1212lnA荧光寿命为： 22022110 144ln(/)FFvAA17激光上、下能级的粒子数密度速率方程如式(4.4.28)所示。(1)试证明在稳态情况下，在均匀加宽介质中式中为小信号情况下的反转集居数密度。0n(2)写出饱和光强 的表达式。sI(3)证明 时 和 可由式(4.5.7)及式(4.5.8) 表示。12/nsI18已知某均匀加宽二能级( )饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率 =694.3nm 处21f0的吸收截面 ，其上能级寿命 ，试求此染料的饱和光强 。-168.0cm1220ssI解：若入射光频率为 ，光强为 I，则
13、(1)22210dnnIth由021(,)lnnN12f，12n21n可以得到 2()代入(1)式可得 01snI式中 ，所以有：0n348-20161926-21.0W/cm86.0 W/cmshI19若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下：(1)313132()0dnASt(2)220132(,)Nnnt(3)123(4)1由于 远小于 ，由(1)式可得：31A32S132nWS所以，由(1)(4)式可以得到： 21021133(,)() IdnAthWAS式中， 为波长为 694.3nm 的光强。由上式可得：I021013220(,) ()()HSnnIhASWI其中 013213()nWAS01321()ShI212A20推导图 4.2 所示能级系统 20 跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强 。假设该sI工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面 已知， ， 。10KTh21图 4.2解：设入射光频率为 跃迁的中心频率 ，光强为 I，可列出速率方程如下：20022021123 (1) (3)dnnthn式中2nf1nf0nf202110
