1、1强拟凸域上连续函数 Martinelli-Bochner 公式边界摄动的稳定性摘要在“强拟凸域上边界摄动的 B-M 型积分的稳定性” 【11】中，讨论了摄动函数 r 对全纯函数 B-M 公式边界摄动的影响。本文我们将视角扩大，介绍了含 1-形式的 BD 算子和含函数的 BD 算子、含有任意次数的微分形式的 BD 算子和 BD，并进一步讨论摄动函数 r 对连续函数 Martinelli-Bochner 公式积分边界摄动的影响，得到连续函数Martinelli-Bochner 公式的积分边界受到摄动以后，Martinelli-Bochner 公式是相对稳定的。 关键词强拟凸域 Martinell
2、i-Bochner 公式边界摄动稳定性算子 中图分类号O174文献标识码A文章编号2095-3437（2014）06-0141-03 一、预备知识 （一）复流形上的相关预备知识 定义 1 令 DCn 是一个开集， （1）D 中的一个连续多次调和函数是一个连续函数 ：DR1，使得下列条件满足：任意的 ，Cn，函数 （+）在 C1 上是次调和的。D 上连续多次调和函数的集合，记为 P0（D）. （2）一个 C2 函数 ：DR1 称为强多次调和的，如果对任意的z，Cn，0，函数 （z+）在 C1 上是强次调和的。 2定义 2 一个开集 D?奂 Cn 称为是拟凸的，如果函数-lndist（z，D）在
3、D 是多次调和的。Cn 称为是拟凸的。 命题 1：令 D?哿 Cn 是一个开集，如果在 D 的某个邻域 ，存在一个连续多次调和 ，使得 Dz:（z）0 ，则 D 是拟凸的。定义 3 令 D?奂?奂 Cn 是一个开集。D 称为是强拟凸的，如果在 D的边界的某个邻域 存在一个强多次调和 C2 函数 ，使得Dz:（z）0. 定义 4 设 X 是一 n 维复流形。如果 D?奂?奂 X 是强拟凸开集，D 的边界 D 称为逐块 C2 的，如果存在开集 V1，V2，VN 包含于 X，及 C2函数 k:VkR，k=1，2，N，使得下列条件满足： （1）D?哿 V1V2VN， （2）z（V1V2VN）且 zD?
4、圳1kN，zVk，k（z）0， （3）任意指标集 1k1k1N，有 ddd0， zVVV. 定义 5 设 D?奂?奂 Cn 是具有逐块 C2-边界的强拟凸开集。对 X 选择下列定向：如果 z1，z2，zn 是 X 中的局部全纯坐标，且 zj 是相应的实坐标，使得 zj=zj+izj+n，则形式 dxdx2dxn 定义了 X 的一个定向。 设 Sk:=zDVk:k（z）=0，k=1，2，N，其中 Vk 和 k3如逐块 C2-边界的定义中所示。对任意的整数集 K=（k1，k2，kl） ，1k1，klkN，当 k1，k2，kl 两两不同时，定义：SK：=SkSk，其它的则定义：SK：=?。我们选择
5、SK 的一个定向，使得DSK 及 SKS，其中 D 与 Sk 的定向分别由 D和 SK 的定向诱导 K=（k1，k2，kl） ，Kj:=（k1，k2，kl，j） 。 定义 6 设 为 D 的邻域，使得 ?奂?奂 X，记 P（）为 上的强多次调和 C2-函数类，如果 是 z 某邻域的强多次调和 C2-函数，可找到函数，rjC（Vj） ，rj=1，则定义： |（z）|）2：（z）+（z） |+|. 记：|2，：supz|（z）|2。对 的邻域赋予范数|?|2，所得的强多次调和 C2-函数赋范空间记为 m2（） 。 定义 7 令 D 是 Cn 上的一个开集。如果文献【14】中定理 1.1.5 中的等
6、价条件成立，那么 D 上的赋值函数称为是全纯的（或者解析的） 。 （二）B-M 型积分1415与边界摄动的 B-M 型积分 B-M 型积分： ?（?渍） （z）?渍（）K（，z） ，zD， 其中 K（，z）=为 B-M 核。?渍为 D 某邻域 的强多次调和函数。 （-）=?渍（-1）j-1（j-j）d1d1dn，（）=d1dn， dj表示除去第 j 项。r（z）为 D 某邻域 上的强多次调和4函数。D（zD）对边界加一个摄动 r（z） （把称为摄动函数） ，得边界 Dr， （z*=z+r（z）Dr，zD） ，于是，上述 B-M 型积分就相应地变为： ?r（?渍） （z）?渍（*）K（*，z）=
7、?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z） 其中 K（t+r（t） ，z） = （t-）=?渍（-1）j-1（t-j）d（td（td（t 二、历史结果11 全纯函数 B-M 公式及摄动函数 r（z）对它的影响11 引理 1（全纯函数 Bochner-Martinelli 公式）设函数?渍AC（D） ，其中 D 是 Cn 上的有界域，具有逐块光滑边界 D，那么下面的 Bochner-Martinelli 公式成立： ?渍（）K（，z）=?渍（z） ，zD?渍（）K（，z）=0，zD 其中 K（，z）=为 B-M 核。积分定向的选择是使形式（-i）ndd 是正的。 定理 111 设函数?渍AC（D
8、） ，其中 D 是 Cn 上的有界域 D，具有逐块光滑边界， 是 D 的一个邻域，r（t） ，是上的全纯 C2 函数，则 （1）当 rD 时，有?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）=0 5（2）当 rD 时，存在一常数 M，使得|?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）|M|?渍（z+r（z） ）|. 三、主要结果部分 （一）积分算子 BD 和 BD 等相关准备知识 1.Cn 的定向 如果 xj=xj（） ，j=1，2n，Cn 是的实坐标，使得j=xj（）+ixj+n（） ，则微分形式 dx1dx2n 定义了 Cn 的定向。对开集 D?哿 Cn，我们用相同的定向。如果 D?哿 Cn 是
9、一个开集，M是 C1 光滑边界 D 的相对开子集，则 M 的定向由 D 的定向诱导。 注：Cn 的定向也可定义为 dx1dx1+ndxndx2n=（-1）dx1dx2n，则我们得到积分公式里符号的相应地改变。 2.具有逐块 C1 边界的开集 令 D?奂?奂 Cn 是一个开集。D 的边界 D 称为是逐块 C1 的，如果存在 Cn 上有限多的实值 C1 函数 1，k，使得 D=DCn:j（z）0，j=1，k，且，对任意的指标，且对所有的 D 有 j（z）=j（z）=0. 注：对具有逐块 C1 边界的开集，容易找到一个具有 C边界的开集序列 Dm?奂?奂 D，使得下列两个条件满足： （1） 对任意的
10、紧集 K?奂?奂 D，存在一个数，使得 K?奂?奂 Dm，对任意的 mmk. （2） 如果 f 和 g 分别是 D 上的双次数 2n 和 2n-1 的连续微分形式，则f=limf 和g=limg. 6（二）主要结果 连续函数的 Martinelli-Bochner 公式及边界摄动对它的影响 引理 214（连续函数 Martinelli-Bochner 公式） 令 D?奂?奂 Cn 是具有逐块 C1 边界的开集，令 f 是 D 上的连续函数，使得 f 也是在 D 上的连续，则 D 在中有：f=BD f-BD f。 其中 BD 和 BD 是上面定义的连续算子。 定理 2 令 D?奂?奂 Cn 是具
11、有逐块 C2 边界的开集，令?渍是 D 上的连续函数，使得 ?渍也在上连续，r 是 D 的邻域 上的全纯函数，则存在常数 M，使得：?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）-?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）M?渍（z+r（z） ）. 证明： 对固定的 zD，令 K（t+r（t） ，z）= 由定理 1【11】的证明可知 K（t+r（t） ，z）是一闭形式，因此dK（t+r（t） ，z）=0 inDz . ?渍（t+r（t） ，z）（t+r（t） ） =（dt1+dtn）（d（t1+r（t1） ）d（tn+r（tn） ） （其中 Qi=ti+r（ti） ，1in） （dt1+dtn）d
12、t1+r（t1） dtn+r（tn） （dt1+dtn）1+r（t1） 7dt11+r（tn） dtn （dt1+dtn）1+r（t1） 1+r（tn） dt1dtn=0 d?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z =?渍（t+r（t） ）K（t+r（t） ，z+?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z =0+?渍（t+r（t） ）?K（t+r（t） ，z+?渍（t+r（t）?K（t+r（t） ，z ?渍（t+r（t） ）?K（t+r（t） ，z）+0，inD/z 于是，对任意充分小的 0，由 stokes 公式得： ?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z） d?渍（t+r（t）K（t+r（
13、t） ，z =d?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z =d?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z-d?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z ?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）-?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）(*) 其中 D:D:|-z|， 下面只要证不等式的左边，当 0 时，趋于 M?渍（z+r（z） ）： 事实上： ?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z） =?渍（z+r（z） ）K（t+r（t） ，z）+（?渍（t+r（t）-?渍8（z+r（z） ） ）K（t+r（t） ，z） |K（t+r（t） ，z）|M （?渍（t+r（t）-?渍（z+r（z） ） ）K
14、（t+r（t） ，z） sup|-z|=|?渍（t+r（t） ）-?渍（z+r（z） ）?K（t+r（t） ，z） 由定理 1【11】的证明可知，存在常数 M0，使得 M?sup|-z|=|?渍（t+r（t） ）-?渍（z+r（z） ）0，当（0） （*）式的右边即所要证的不等式的左边，于是当 0 时，有： ?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）-?渍（t+r（t） ）K（t+r（t） ，z）M?渍（z+r（z） ） 证毕。 推论 1 令 D?奂?奂 Cn 是一开集，fAD，r 是 D 某邻域上的全纯函数，则存在常数 M0 使得：?渍（t+r（t） ）K（t+r（t） ，z）M?渍（z+r
15、（z） ）. 证明：结合以上定理证明中的(*)式和定理 2 即可得证： ?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z） =?渍（t+r（t）K（t+r（t） ，z）-?渍（t+r（t） ）K（t+r（t） ，z）（z+r（z） ） 证毕。 这与定理 1 的（2）是一致的。 9参考文献 1Keldysh M V,Lavrendev M A.On the stability of solutions of Dirichlet problem J.IZV AN SSSR Ser Mat,1937,1:551-595. 2Keldysh M V.On the solvability and stabili
16、ty of the Dirichlet problemJ.Uspekhi Mat Nauk,1941,8:171-231. 3Hedberg L I.Approximation by harmonic functions and stability of the Dirichlet problem J.Exposition Math,1993,11:193-259. 4王小林，龚亚方.一类奇异积分和 Cauchy 型积分关于积分曲线的稳定性J.数学学报，1999,42（2）：343-350. 5王传荣.边界摄动的奇异积分方程与边值问题J.宁夏大学学报（自然科学版） ，2006,27（20）：169-173. 责任编辑：左芸
