1、1怎样判断三角形的形状【摘 要】判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型：等腰三角形、等边三角形和直角三角形。文章从勾股定理逆定理的运用、三角法、韦达定理及判别式的运用以及利用平面几何知识四个方面进行判断。 【关键词】三角形；判断；边边；角角 三角形是由三条线段首尾顺次连结而形成的图形。它主要由元素“边” 、 “角”组成。因此，按其边分类可分为：不等边三角形、等边三角形、等腰三角形。按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 故一般判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。下面浅淡一下判断这几类三角形的方法：一、勾股定理逆定理的运用 根据勾股定
2、理逆定理，在三角形中，只要三边满足关系式 a2=b2+c2或 b2=c2+a2 或 c2=a2+b2 则此三角形定为直角三角形，因此当条件中有边边关系且有平方关系时，我们首先用勾股定理的逆定理进行考证： 例 1 已知三角形三边满足关系： a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 判断此三角形的形状。 分析：此题中只有边边关系，因此，我们用勾逆定理验证，但没有2直接的条件说明，故应制造条件，求出边长或边边关系，这里主要运用配方法： 解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c （a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0 （a-5）20， （b-12）20+（c-13）20
3、a=5，b=12，c=13 a2+b2= c2 三角形为直角三角形 二、三角法 首先将条件中的边角关系，由正余弦定理统一为“角角”关系或“边边”关系，再由三角变成代数，变形分解因式从而判别形状。 例 2 ABC 中，bcosB=ccosC，试判断三角形 ABC 的形状。 分析：已知条件中既有边，又有角。通常是把它统一为“角角”或“边边”关系。 解：方法 1 由余弦定理有： a2+c2-b2 a2+b2-c2 b=c 2ac 2ab 去分母得：b2（a2+c2-b2）=c2（a2+b2-c2） 即：a2b2-b4-a2c2+c4=0 a2（b2-c2）-（b2+c2） （b2-c2）=0 （b2
4、-c2） （a2-b2-c2）=0 3b2=c2 即 b=c 或 a2=b2+c2 ABC 为等腰三角形（b=c）或直角三角形（A=90） 方法 2：由正弦定理 b=2RsinB c=2RsinC 代入式中得： 2RsinBcosB=2RsinCcosC sin2B=sin2C B=C 或 2B=-2C 2B=-2C B+C= 2 ABC 为等腰三角形（B=C）或直角三角形（A =90） 三、韦达定理及判别式的运用 当题设中的条件与一元二次方程有联系，并且此一元二次方程的各项系数与三角形的边或角相关时，用韦达定理或判别式将其边或角转化为“边边”或“角角”关系，从而判别其形状。 例 3 已知关于
5、 x 的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为 1，其中 a、b、c 是ABC 的边长，判断ABC 的形状。 解：设此方程两根分别为 x1，x2 由韦达定理有： x1+x2= 2b a+c =-1 x1x2= c-a a+c x1-x2= x1- x2= =0， （a+c）0 a=c 4又-=-1 =1 a=b ABC 为等边三角形 四、利用平面几何知识 当题设中的条件与平面几何知识密切联系，此时，利用平面几何的有关知识找出所要判断的三角形的边角关系。 例 4 已知等腰梯形 ABCD 中，AB/CD（ABCD）且 AD=BC，AC 与 BD 相交于 O，AOB=60，E、F、G 分别为 OA、OD、BC 的中点，试判EFG 的形状。 （如图） 解：分别连结 BE、CF 四边形 ABCD 是等腰梯形 又AOB=60 AOB 与DOC 均为正三角形 E、F 分别是 OA、OD 的中点 BEOA，CFOD，EF=AD G 是 BC 的中点 EG =BC GF =BC 又BC=AD EF=FG=EG EFD 为正三角形 由以上几种方法可看出，判断三角形的形状，主要是运用代数或几何方面的知识，将题设中条件统一为“边边”或“角角”的关系，从而5判断其三角形的形状。
