1、1概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设 为三个事件，试写出下列事件的表达式：,ABC(1) 都不发生；(2) 不都发生；,(3) 至少有一个发生；ABC(4) 至多有一个发生；,(5) 不同时发生且 发生。解：(1) ABC(2)(3)(4) ABCBC(5) ABC2. 设 为两相互独立的随机事件, , ,求 。4.0)(P6.)(),(),(|)PABPAB解： ；()() )0.76PBAB。(.16,(|)(.4A3. 设 互斥， ， ，求 。,B()0.5)09P,)PA解： 。()(.4,()0.5PAB4. 设 ，求 。.,().6,|)5A,)B解： (|0.3,()(
2、0.8,BPAP。)().2PAB5. 设 独立且 求 。,AC.9,()8,()07,C()BC解： 。()1 (0.94BPPAP26. 袋中有 个黄球， 个白球，在袋中任取两球，求46(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) ；(2) 。24105CP1462085CP7. 从 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为 的概率。9 5解： 。215308. 从 中任取两数，求两数之和小于 的概率。(,) 0.8解： 。1.82.32P9. 某人射击时中靶的概率为 ，如果射击直到中靶为止，求射击次数为 的概率。4 3解： 。2134610.
3、 从 中任取一数，记为 ，再从 中任取一数，记为 ，求 。, X1,2X Y2P解：41 132|(0).448iPYiPYi11. 甲袋中装有 只红球， 只白球，乙袋中装有 只红球， 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，5 5再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 “从甲袋中取出的是红球”， “从乙袋中取出的是红球”，则：AB1312(),(),(|),(|),42PPA由全概率公式得：。7()(|)(|)40B12. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10% ，而三厂产品的合格率分别为95%、85% 、80% ，求(1) 买到的一台微波炉
4、是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， 表示买到合格品，则321,AB23123()0.5().4,()0.,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,PPABPAPBA由全概率公式得 ；1|.8iiiB3(2) 。17958.04)(|)()|( 1111 APBBAP二一维随机变量及其数字特征1. 已知 的概率密度函数 ，求 与 。X,2()kxxfelsk12PX解： 20 1()12,fxdd。2196Px2. 设 的概率密度函数 ，已知 ，求 。X,01()abxfels23EX,ab
5、解： 。1 10 0(),(),023abaxbdxd3. 设 ，求 。.,3BPX解： 。2 33(.1)9.27,11.9271PXCPX4. 设三次独立随机试验中事件 出现的概率相同，已知事件 至少出现一次的概率为 ，求 在一次AA64A试验中出现的概率 。p解：三次试验中 出现的次数 ，由题意：),3(pBX。41637)1()(101 30 pCP5. 某种灯管的寿命 （单位：小时）的概率密度函数为 ，20,0()xfxels(1) 求 ；150PX(2) 任取 只灯管，求其中至少有 只寿命大于 的概率。2150解：(1) ；1503dx(2) 设 只灯管中寿命大于 的个数为 ，则
6、，故5Y2,3B。541132210PYP6. 设 求 。(,).6,1.28,XBnpEDXnp4解： 。1.6,(1).28,0.2EXnpDnpnp7. 设 ，求 。)(32(X解：原式 。22 22333EDEX8. 设 ，求 。6,1UX4P解： ， 。,6()70xfxels 7310)(22144 dxdxf9. 设 服从 上的均匀分布，求方程X)5,1(210tX有 实 根 的 概 率 。解： ， 。,5()60xfxels 522146Pdx10. 设 ，求 。1,3XU1,DXE解： 。2 31,3(),(), ln3220xfxEdxXels11. 设某机器生产的螺丝长度
7、 。规定长度在范围 内为合格，求螺丝不(1.5,6)XN1.05合格的概率。解：螺丝合格的概率为 954.01)2()2 06.2.6.12.1.05 XPP故螺丝不合格的概率为 。6.94.12. 设 ， ，求 、 。)4,0(NX30XYEYD解： 。2,1EX13. 设 与 独立，且 求 。)1(),(N(2),()XY解： 。(),47XYEDYD14. 设 求 。4,0.6,2XYB(32)5解： 。(32)941225.6XYDXYDD15. 设 ，求 的概率密度函数。,1U解： )(yPyFY(1) 当 时， ；0y0)(Y(2) 当 时， ；1ydxyy321(3) 当 时，
8、；2y 1)(1FY(4) 当 时， ；故 ， 。0,0213(),21YyFyy 2,013(),Y yfFyels三二维随机变量及其数字特征1. 已知二维随机变量 的联合分布律为),(YX2 3 54 0.1 0.3 0.155 0.2 k0.05(1) 求 ；k(2) 求 ；3,4,8,3|4PXYPXYY(3) 求 的边缘分布律；,(4) 判断 与 是否相互独立。解：(1) 由分布律性质 得：1ijip105.3.02. k解得 ；2.0k(2) ，4.2.,5,4,3YXPYXPYXP ,3248 Y，6.02.106；3,40.363|451PXYPXY(3)2 3 5 jp.4
9、0.1 0.3 0.15 0.555 0.2 0.2 0.05 0.45.ip0.3 0.5 0.2 1(4) 因 ，故 不相互独立。2.031YX,2. 已知 的联合分布律为：),(YY11250.0.402a.(1) 求 ；a(2) 求 ，并判断 是否相关；XY,(3) 判断 是否独立。,解：(1) ;0.1a(2) ，不相关；0:3,52:.,05.6,0,()cov(,),XYYEXYEX(3) ，不独立。.4013. 已知 的联合分布律为：),(YXXY1020a19619b3且 与 相互独立，求：XY(1) 的值；ba,Y7(2) ；0XYP(3) 的边缘分布律；,(4) ；,ED
10、(5) 的分布律。ZXY解：(1) ;11296,893aabb(2) ；4500PXYPXY(3) ；12:,;:,6(4) ；22222533(),()639EDEXEYDYE (5) 。511,0,99PZZP4. 已知 的概率密度函数为 ，求：),(YX(),02,1(,)cxyxyfels(1) 常数 ；c(2) 关于变量 的边缘概率密度函数 ；)(xfX(3) 。)(YXE解：(1) ；3121)(,( 20201 ccdxcdyxcdxyf(2) ；10(),()(,)33,Xfxf els(3) 。916)(1)()( 022 dyxdxyfyxYE5. 设 的概率密度函数为：
11、 ，求：,X,Af els(1) ；A(2) ；0.5P(3) 。cov(,)XY8解：(1) ；12021(,)()33fxydxAydA(2) ；120.55.36yPX(3) 。410cov(,)()()8962YEXY6. 设 的概率密度函数为： ，,X,1,Axyxfxyels(1) 求 ；A(2) 求 ；(),XYfxy(3) 判断 是否独立；(4) 求 ；12P(5) 求 ；(),cov(,)EXY(6) 求 的概率密度函数。2Z解：(1) ；10(,)12xAfxyddy(2) ，02,()(,),xXff els；1(),01()(,)0,yY dxyfyfxels(3) 不
12、独立；(,)()XYfxf,(4) ；124xPdy(5) ；11,(),cov(,)()()3 36EYEXYEXY(6) 。20,0,0(),()1Z ZzzzFzPz fzelsxd 四中心极限定理1. 某种电器元件的寿命服从指数分布 （单位：小时） ，现随机抽取 只，求其寿命之和大于(.1)E69小时的概率。1920解：设第 只电器元件的寿命为 则 。令 ，i (1,26),iX ()10,()10i iEXD16iiX则 。由中心极限定理得160,0EXD。169216092.81(0.)2194P2. 生产灯泡的合格率为 ，记 个灯泡中合格灯泡数为 ，求8.0X(1) 与 ；)(X
13、E)D(2) 合格灯泡数在 之间的概率。4796解：(1) ；(10,8)(10.80,()10.82160BEXD(2) 由中心极限定理得 )(4447964796 pP。82.01)(23. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 的长度不小于 ，现从这批木柱中随机地取 根，问至少有0%m310根短于 的概率是多少？30m解：设这 根木柱中短于 的个数为 ，则3X；(1,.2)1.2,10.2816XBEXD由中心极限定理得 。30.5(2.)06EP4. 某单位设置一电话总机，共有 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时2刻每个分机有 的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外
14、线才能以不低于 的概率保证每.5 9.个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要 条外线。使用外线的分机数 ，k(20,.5)XB。20.51,20.59.EXDX由中心极限定理得： 10.9.59.5EkkPk。10.2813.4295五抽样分布1. 从一批零件中抽取 个样本，测得其直径为 ，求 。61.5,3.7,251.82,xs10解： 。662211.97,()0.1475i iixsx2. 设 是来自正态总体 的简单随机样本，已知 服从 分布，求 。21,X),0N21)(XaYa解： 。211212(,8)(,)88XX3. 总体 ，7,0(1) 对容量 的样本，求样本均值 大于
15、 的概率；5n70(2) 为使 大于 的概率不小于 ，样本容量至少应为多少？X0.95解：(1) ；272,(7)11(2)()0.92NPX(2) 1007,() .55/nXnn 。.6457.64. 设 取自正态总体 ，求 。1210,X (0,.9)N102.4iiPX解：由于 ，故 。)()(221nnii1022.()160.ii n 5. 设 来自总体 ， 为样本方差，求 。12,nX 2,)XNS2,ESD解： 。2 2442 2(1),(1,(1)(1)()SESnDnn 六参数估计1. 设随机变量 ，其中 已知。 为样本均值, 求 的矩估计量。),(pBXXp解： 。Enn2. 设总体 的概率密度函数为： ，其中 是未知参数，求 的矩估计量。X1,1()0xfxels
