1、第 2 课时 等比数列的性质学习目标 重点难点1记住等比数列的性质，能够运用等比数列的性质解决有关问题；2能运用等比数列的通项公式和性质求解等比数列的有关计算问题；3会运用等比数列知识解决实际问题.重点：等比数列的性质及其应用；难点：等比数列的实际应用；疑点：等比数列性质与等差数列性质的区别.预习交流 1对照等差数列的性质，分析在等比数列中下列结论是否成立？(1)若a n是等比数列，则 a2n，a 2n1 ， kan(k 为非零常数)也是等比数列；(2)若a n，b n都是等比数列，则 anbn， ，a 也是等比数anbn 2n列；(3)在有穷等比数列a n中，与首末两项等距离的两项的积相等，
2、即 a1ana 2an1 a 3an2 a kank1 ；(4)在等比数列a n中，若 m，n，s ，tN *，则当 mnst 时，有 amana sat，特别地，当 mn2t 时，有 amana .2t预习交流 2解决等比数列问题时，通常可用哪两种方法？它们各自有什么优缺点？预习交流 3实际应用问题中，哪些常常会与等比数列模型有关？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习交流 1：提示：上述结论都是成立的，它们可以看作是等比数列的常用性质，证明方法可类比等差数列中相应性质的证明，运用等比数列的定义、通项公式进行证明预习交流 2：提
3、示：(1) 基本量法：利用等比数列的基本量 a1，q，先求公比，后求其他量这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐(2)等比数列性质法：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等在解题中经常被用到优点是：计算简捷、运算量少，快速准确预习交流 3：提示：产值增长率、银行利息、细胞分裂和细菌繁殖等实际问题，常与等比数列有关，可采用等比数列模型求解一、等比数列性质的应用(1)在等比数列a n中，若 a3 ，a 93，则 a15_.12(2)在等比数列a n中，若 a72，则该数列的前 13 项的乘积等于_思路分析：对于(1)，考虑到已知各项和欲求项
4、的下标之间有关系：31529，因此可利用等比数列的性质 amana 计算 a15的2t值；对于(2)，由于数列的前 13 项的乘积都可利用等比数列的性质转化为 a7的值，因此可代入求值1在等比数列a n中，a 1，a 99 是方程 x210x 160 的两个根，则 a50 的值为( ) A10 B16 C4 D42在各项均为正数的等比数列a n中，若 a5a6 ，则12log2a1log 2a2log 2a10 等于( )A5 B5 C D15 151等比数列的性质是等比数列定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题2应用等比数列
5、的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，然后充分利用若mnpq( m，n，p，qN *)，则 amana paq；若mn2t(m ，n，tN *)，则 amana 进行求解2t二、等比数列的实际应用一张报纸，其厚度为 a，面积为 b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7 次，这时报纸的厚度和面积分别为( )A8a， b B64a， b18 164C 128a， b D256a， b1128 1256思路分析：考察报纸每次对折后，厚度和面积是怎么变化的，其中厚度将要变为原来的 2 倍，而面积则变为原来的一半，所以每次对折后，报纸的厚度和面积都构成等比数列某种细胞每隔 20
6、分钟分裂一次，由 1 个分裂为 2 个，那么 1 个这样的细胞，经过 3 个小时后，可以得到的细胞的个数为( ) A256 B512 C1 024 D2 0481一般地，涉及产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解2建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式的问题，要注意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要三、等差数列与等比数列的综合问题若正项等比数列a n的公比为 q，且 q1，a 3，a 5，a 6 成等差数列，则 _.a3 a5a4 a6思路分析：将 a3，a 5，a 6都用
7、a1和 q 表示，由 a3，a 5，a 6成等差数列建立 a1和 q 的方程求得 a1和 q 的值，而 可化简为 ，a3 a5a4 a6 1q从而即可求出式子的值已知实数 a，b，c 成等差数列， a1，b1，c 4 成等比数列，且 abc 15，求 a，b，c .求解等差数列与等比数列的综合问题时，关键是熟记两种数列的通项公式以及有关性质，根据题意建立方程(组) 进行求解，同时还要注意整体思想的运用1(2012 安徽高考，文 5)公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a1116，则 a5( )A1 B2 C4 D82已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等
8、比数列，则 a2( )A4 B6 C8 D103已知数列a n是首项为 a14 的等比数列，且4a1，a 5，2a 3 成等差数列，则其公比 q 等于( ) A1 B1C 1 或1 D 24等比数列a n的各项均为正数，且 a5a6a 4a718，则log3a1log 3a2log 3a10( )A12 B10C 1 log35 D2log 355已知等差数列a n的前 4 项和为 10，且 a2，a 3，a 7 成等比数列，求数列a n的通项公式提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：(1)18 (2)
9、2 13 解析：(1)由等比数列的性质知a3a15a ，所以 a15 18.29a29a3 3212(2)因为 an是等比数列，所以a1a13a 2a12a 3a11a 4a10a 5a9a 6a8a ，于是该数列的前 13 项的27乘积 a1a2a13a (2) 132 13.137迁移与应用：1C 解析：依题意可得 a1a9916，而 a1a9916a ，所250以 a504.2B 解析：log 2a1log 2a2log 2a10log 2(a1a2a10)log 2(a5a6)5log 2 5 5.(12)活动与探究 2：C 解析：每次对折后，报纸的厚度构成公比为2 的等比数列，面积构
10、成公比为 的等比数列，因此对折 7 次后，报12纸的厚度为 a27128a，报纸的面积为 b 7 b.(12) 1128迁移与应用：B 解析：经过 3 个小时，该细胞要分裂 9 次，所以 1 个这样的细胞，经过 3 个小时后，可以得到的细胞的个数为 129512.活动与探究 3： 解析：依题意有 2a5a 3a 6，所以5 122a1q4a 1q2a 1q5，整理得 q32q10，因此(q1)(q 2q1)0，因为 q1，所以 q2q10，解得q 或 q .而数列为正项数列，所以 q0，因此舍去 1 52 1 52q ，故 q . 1 52 1 52于是 .a3 a5a4 a6 a1q2 a1
11、q4a1q3 a1q5 1q 1 1 52 5 12迁移与应用：解：依题意可得Error!解得 a2，b5，c8 或a11，b5，c1.当堂检测1A 解析：由题意可得，a 3a11a2716，a 74.a 5 1.a7q2 4222B 解析：依题意可知 a a 1a4，即(a 14) 2a 1(a16)，解23得 a18，于是 a2826.3C 解析：依题意有 2a54a 12a 3，即 2a1q44a 12a 1q2，整理得 q4q 220，解得 q21(q 22 舍去) ，所以 q1 或q1，选 C.4B 解析：由于a n是等比数列，所以 a5a6a 4a79，于是log3a1log 3a2log 3a10log 3(a1a2a10)log 3(a5a6)5log 39510.5解：设数列a n的首项为 a1，公差为 d，则a1a 2a 3a 410，则 2a13d5，由于 a2，a 3，a 7成等比数列，所以 a a 2a7，化简得 3a1d2d 20，所以Error!解得Error!或Error!23所以数列a n的通项公式为 an 或 an3n5.52高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
