1、第 3 课时 等比数列的前 n 项和学习目标 重点难点1会推导等比数列的前 n 项和公式；2记住等比数列的前 n 项和公式，能够运用前 n 项和公式解决有关问题；3记住等比数列前 n 项和的性质，能运用这些性质解决问题.重点：等比数列的前 n 项和公式的推导与应用；难点：等比数列的前 n 项和公式的灵活运用；疑点：等比数列前 n 项和性质与等差数列前 n 项和性质的区别.等比数列a n前 n 项和公式为 Sn_或Sn_(其中 a1 为首项，q 为公比，a n为第 n 项) 预习交流 1课本中给出了等比数列前 n 项和公式的一种推导方法错位相减法，你能否从等比数列的定义出发，给出另外的推导方法？
2、预习交流 2在应用等比数列前 n 项和公式求和时，如果公比 q 未确定，应注意什么问题？预习交流 3对比等差数列前 n 项和的性质：S n，S 2nS n，S 3nS 2n，也成等差数列，在等比数列a n中是否也有 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，构成等比数列？预习交流 4如果a n是等比数列，前 n 项和为 Sn，那么当SnA qn B(q0，q 1)时，常数 A，B 应满足什么关系？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：Error! Error!预习交流 1：提示：解法一：由等比数列定义知： q，a2a1 a3a2 a4a
3、3 anan 1当 q1 时， q，a2 a3 a4 ana1 a2 a3 an 1即 q，S n .Sn a1Sn an a1(1 qn)1 q当 q1 时，S nna 1.S nError!解法二：S na 1a 1qa 1q2a 1qn1a 1q(a 1a 1qa 1qn2 )a 1qS n1 a 1q(S na n)，当 q1 时，S n ，当 q1 时，S nna 1.a1 anq1 qS nError!预习交流 2：提示：在应用公式 Sn 或 Sn 求a1(1 qn)1 q a1 anq1 q和时，应注意公式的使用条件为 q1，而当 q1 时，应按常数列求和，即 Snna 1.因此
4、，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q1 与 q1 这两种情况进行讨论预习交流 3：提示：在等比数列a n中，若 Sn表示其前 n 项和，那么 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，不一定能构成等比数列，但仍有关系(S2n Sn)2 Sn(S3nS 2n)成立这是因为，当公比 q1，n 为偶数时，有 SnS 2nS 3n0，所以 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，不能构成等比数列，除去这种情况，S n，S 2nS n，S 3nS 2n，仍然构成等比数列预习交流 4：提示：当 q1 时，S n qna1(1 qn)1 q a11 q，可以看出，式子是一个指数式与一个常数的和，并且指数式
5、a11 q的系数与这一常数恰好互为相反数，所以当 SnAq nB 时，必有AB0.一、等比数列前 n 项和公式的应用已知等比数列a n中，(1)a n32 n，求 S6；(2)a1256，a 51，求 S5.思路分析：(1)先由通项公式求出该数列的首项和公比，再套用前 n 项和公式计算 S6；(2)由 a1，a 5的值可求出公比，再套用前 n 项和公式计算 S5.1在等比数列a n中，a 15，S 555，则公比 q 等于( ) A4 B2 C2 D2 或 42(2012 重庆高考，文 11)首项为 1，公比为 2 的等比数列的前4 项和 S4_.设数列a n是等比数列，其前 n 项和为 Sn
6、，且 S33a 3，则公比q 的值为( ) A B C1 或 D1 或12 12 12 12思路分析：可根据前 n 项和公式与通项公式建立公比 q 的方程求解，但必须首先对 q 的值分 q1 和 q1 进行分类讨论设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3S 6S 9，则其公比等于_在利用等比数列的前 n 项和公式时，如果其公比不确定，则应对公比分 q1 和 q1 两种情况分别进行讨论二、等比数列前 n 项和性质及其应用(1)等比数列a n的前 3 项和为 13，前 6 项和为 52，求 S12.(2)若数列 an是等比数列，且其前 n 项和 Sn3 n1 2k，求实数 k 的值思路分析
7、：(1)由已知可得该等比数列中第 1 个 3 项之和为 13，第 2 个 3 项之和为 39，然后根据等比数列前 n 项和的性质，求出第3 个 3 项之和，第 4 个 3 项之和，从而得到 S12；(2)先利用 an与 Sn的关系求出 an，再根据等比数列的定义求出 k的值1已知等比数列a n中，a n23 n1 ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和为( )A3 n1 B3(3 n1)C (9n1) D (9n1)14 342等比数列前 n 项和为 54，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为( )A54 B64 C66 D6023 231若一个数列是等比数列，当其前 n 项和
8、为SnAq nB( q0，q 1)时，必有 AB0.2等比数列的片段和的性质在解决一些问题时显得非常简单，但应注意的是 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，成等比数列，而不是Sn，S 2n，S 3n，成等比数列1等比数列a n中，a 29，a 5243，则a n的前 4 项和为( )A81 B120C 168 D1922设等比数列a n的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则 ( S4a2)A2 B4C D152 1723若等比数列a n的前 n 项和 Sn2 nr，则 r( ) A2 B1C 0 D14在等比数列a n中，若 q ，S 511，则 a1_.125已知等比数列a n满足 a3
9、12，a 8 ，记其前 n 项和为 Sn.38(1)求数列 an的通项公式 an；(2)若 Sn93 ，求 n.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)由于 an32 n62 n1 ，所以等比数列的首项 a16，公比 q2，于是S6 378.6(1 26)1 2(2)设公比为 q，由 a1256，a 51 可知256q 41，q 4 ，因此 q .1256 14当 q 时，S 5 341；14 2561 (14)51 14当 q 时，S 5 205.14 2561 ( 14)51 ( 14)迁移与
10、应用：1C 解析：依题意可得 55，解得 q2.5(1 q5)1 q215 解析：由等比数列前 n 项和公式 Sn 得，S 4a1(1 qn)1 q15.1 241 2活动与探究 2：C 解析：当 q1 时，S 33a 13a 3，符合题意；当 q1 时， 3a 1q2，a1(1 q3)1 q因为 a10，所以 1q 33q 2(1q)，可解得 q .12综上 q1 或 q .12迁移与应用：1 解析：若 q1，则 S33a 1，S 66a 1， S99a 1，显然满足S3S 6S 9，所以 q1 符合题意；若 q1，则有 a1(1 q3)1 q ，解得 q1，所以所求公比等于1.a1(1 q
11、6)1 q a1(1 q9)1 q活动与探究 3：解：(1)由于a n是等比数列，由其前 n 项和的性质知：S 3，S 6S 3，S 9S 6，S 12S 9也构成等比数列，即13,39，S 9S 6，S 12S 9成等比数列，其公比显然为 q1 3，于是3913S9S 6117，S 12S 9351，因此S12S 3S 6S 3S 9S 6S 12S 91339117351520.(2)当 n1 时，a 1S 192k ，当 n2 时，a nS nS n1 (3 n1 2k) (3 n2k)23 n，显然当 n3 时， 3，anan 1 23n23n 1又因为a n是等比数列，所以 3，于是
12、 3，解得 k .a2a1 2329 2k 32迁移与应用：1D 解析：依题意，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6 为首项，公比为 9 的等比数列，所以其前 n 项和为 Sn 6(1 9n)1 9(9n 1)342D 解析：由于 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n也构成等比数列，所以(60 54) 254(S 3n 60)，解得 S3n60 .23当堂检测1B 解析：27q 3，q3，a 1 3，S 4 120.a5a2 a2q 3(1 34)1 32C 解析：因为 S4 15a 1，a1(1 24)1 2所以 .S4a2 15a12a1 1523D 解析：当 n1 时，a 1S 12r
13、，当 n2 时，anS nS n1 2 nr2 n1 r2 n1 ，显然，当 n3 时， anan 12，要使数列为等比数列，应有 2，即 2，得2n 12n 2 a2a1 22 rr 1.416 解析：依题意有 11 ，解得 a116.a11 ( 12)51 ( 12)5解：(1)设等比数列a n的公比为 q，则Error!解得Error!所以 ana 1qn1 48 n1 .(12)(2)Sn 96 ，a1(1 qn)1 q481 (12)n1 12 1 (12)n由 Sn93，得 96 93，解得 n5.1 (12)n高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
