1、分数布朗运动的一类具有违约风险的房产期权定价摘要：假定房产价格服从分数布朗运动，本文应用偏微分方程的方法求出具有违约风险的一类房产期权价格显示解，并与不具有违约风险的期权价格进行比较，最后分析 Hurst 参数、房产价格对期权价格的影响。 关键词：分数布朗运动；房产期权；PDE 中图分类号：O211.6；F830.9 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）09-0-02 一、引言 自 Black-Scholes-Merton 获得诺贝尔经济学奖以来，金融数学在理论和应用两方面的研究都得到了快速发展，尤其在当前经济、金融全球化的趋势下，每天都有各种新型金融衍生产品被开发并投放市
2、场。因此，开展金融衍生产品的定价研究是金融数学和金融工程领域中的核心内容，对推动市场发展与学科建设以及为我国经济建设，国际贸易等都是十分有意义的工作。由于经典 Black-Scholes 模型在描述变量方面存在不足，为了能更准确有效的对期权进行定价，有必要在更有效的市场分数Black-scholes 模型下研究金融衍生产品的定价。 近年来，房地产产业的繁荣对拉动世界经济的增长起到了举足轻重的作用。房地产是一项高投入的产业，销售对开发商而言是非常重要的，一般房地产开发商开发初期就开始进行推销，根据对客户要求的分析，设计量身定做式的产品，以最大限度地节约资源，获得客户。作为客户，希望买到的房子能符
3、合要求，又使自己的利益不被侵害。这样交易双方容易产生纠纷，而在现有政策法规下，还很难保证双方权益的非常合理公平，房产期权是一种平衡房地产开发商和客户双方的利益，能有效管理双方风险的期权合约，尤其是房价高位运行时规避风险的一种工具，其主要条款有： （1）房产开发商按客户要求对产品进行设计，并得到客户的认可。 （2）房产开发商在规定时间内将符合国家质量规定的房产交付给客户。 （3）双方约定房产单位面积的销售价格为。 （4）客户支付一定数量的定金（相当于期权金） 。 （5） 到期日，客户购买房产所付定金可作为房款的一部分.客户若放弃购买房产权利，房产商不退回客户所付定金。 （6）开发商如果不能按时履
4、行交房条款，开发商必须支付违约金. 违约金为支付定金的倍。 目前房产期权的研究刚刚开始，主要有姜礼尚（3）在经典 Black-Scholes 模型下讨论一类房产期权的定价，卢兴杰（4）等利用二叉树的方法讨论了实物期权的定价，王兴焕等（5）讨论跳扩散模型下一类房产期权的定价，梁朝晖（6）等通过矩匹配方法求得多标实物期权的定价解，段世霞（7）对实物期权进行了分类。本文主要在经典 Black-Scholes 模型下考虑一类具有违约风险的房产期权定价（3）基础上推广到分数布朗运动情形下，当时，完全涵盖文献3中的期权定价公式。 二、分数 Black-Scholes 模型 考虑一个无摩擦、无套利的房地产市
5、场. 是常利率，在风险中性世界下房产价格满足如下随机微分方程： （1） 其中表示初始时刻房产的价格，且为常数，分别表示价格的漂移系数和波动系数。为分数布朗运动，表示 Wick 积分。由文（2-3） ，根据Wick 积分，房产价格满足： （2） 称（1） （2）式为分数次 Black-Scholes 模型，且为无套利完全的市场。 在文献1-2证明了任意有界可测欧式未定权益在任意时刻的价格为：（3） 其中为测度下的拟条件期望， 。 期权价格满足的 Black-Scholes 方程为： （4） 三、主要结果 下面求解房产期权价格显示解。 定理 1 若房价满足模型（4） ，则到期日为，执行价格为，定金
6、为（为常数） ，收益函数为。 （1）不考虑违约风险的房产期权，在时刻的价格为： （5） 其中表示标准正态分布函数。 （2）考虑违约风险的房产期权，违约时间服从概率密度函数为的分布，如果在期权生存期内，发生违约情况，即，期权持有人向开发商索赔，并获得金额. 在时刻的房产期权价格为： （6） 其中同上。 证明：（1）不考虑违约风险的房产期权房产期权应满足的偏微分方程为： 经过如下变换（1）令和（2）令， ， ；则有： （7） 原方程转化为热传导方程，在上适合定解问题。 在上考虑问题，由偏微分方程的知识，上述问题的解可用公式求解。再按变换（1） （2）得， 则可以求出： 其中同式（5） ，证毕。 （
7、2）证明：如果在期权生存期内，发生违约情况，即，期权持有人向开发商索赔，并获得金额，则考虑违约风险的房产期权价格依赖于违约时间的合约价格的数学期望，即： 结合（5）式可证得。 当时， 完全涵盖了文献3中标准布朗运动下的定价公式。 四、结论 本文在分数 Black-Scholes 模型下应用偏微分方程的方法得到考虑违约风险房产期权价格显示解，本文基于为常数的分数 Black-Scholes模型下研究房产期权价格期权的定价，当为非常数时的情形有待进一步研究。 参考文献： 1HUY， KSENDAL， B.Fractional white noise calculus and application
8、 to FinanceJ.Infdim Anal Quantum proab Rel top， 2003，6（1）：1-32. 2ELLIOTT R J， VAN DER HOEK J. A general fractional white noise theory and applications to finance J.Mathematical Finance，2003，13（2）：301-330. 3姜礼尚.金融衍生产品定价的数学模型和案例分析M.北京：高等教育出版社，2008. 4卢兴杰，向文彬.实物期权二叉树方法在房地产投资决策中的应用J.财会月刊，2010（24）：55-57.
9、5王兴焕，林建伟.跳一扩散模型下一类房产期权模型及计算分析J.扬州大学学报（自然科学版） ，2011，14（03）：23-26. 6梁朝晖，王巍，李树生.基于矩匹配的多标的实物期权估计方法研究J.数学的实践与认识，2012，42（16）：70-18. 7段世霞.复合实物期权分类及其定价J.统计与决策，2012（9）：156-157. 8姜礼尚.期权定价的数学模型和方法M.北京：高等教育出版社，2003. 9陈松男.金融工程学M.上海：复旦大学出版社，2002. 作者简介：霍海峰（1982-） ，男，山西沁水人，广西科技大学鹿山学院讲师，硕士，研究方向：金融工程与计算。 基金项目：广西工学院鹿山学院自然科学基金项目（院科自1112101） 。
