1、1广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）参考公式：如果事件 A，B 相互独立，那么 )()(BPAP.线性回归方程 axby中系数计算公式 xbyaxybniiiii ,)(12，其中 yx,表示样本均值。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集 6,5432,1U，集合 ,31A， 4,2B，则A. BA B. CU)( C. )(CU D. )()(BCAU2.已知 biia1，其中 a,b 是实数，i 是虚数单位，则 a+bi=A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知
2、变量 x,y 满足约束条件 .01,2yx，则 yxz2的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.34.直线 03yx截圆 4)2(x所得劣弧所对的圆心角是A. 6 B. 3 C. 2 D. 325.某空间几何体的三视图及尺寸如图 1，则该几何体的体积是A.2 B.1 C. D. 16.函数 )cos)(incos(inxxy是A.奇函数且在 2,0上单调递增B.奇函数且在 上单调递增C.偶函数且在 ,上单调递增D.偶函数且在 2上单调递增7.已知 e 是自然对数的底数，函数 2)(xef的零点为 a，函数 2ln)(xg的2零点为 b，则下列不等式中成立的是A. )(1)(bfaf B. )
3、1()(fbafC. D. a8.如图 2，一条河的两岸平行，河的宽度 d=600m，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 kmAB1，水流速度为 2km/h，若客船行驶完航程所用最短时间为 6 分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/h B. h/26C. hk/342 D.10km/h二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.（一）必做题（9-13 题）9.不等式 x1的解集是_.10.10._cosd11.某工厂的某种型号机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6y 2.2 3
4、.8 5.5 6.5 7.0根据上表可得回归方程 axy.1，据此模型估计，该型号机器使用所限为 10 年维修费用约_万元（结果保留两位小数）. 12.已知 1,0a，函数 1,)(xaxf，若函数 )(xf在区间0,2上的最大值比最小值大 25，则 a 的值为_.13.已知经过同一点的 )3*,(nN个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这 n 个平面将空间分成 )f个部分，则 ._)(_,(nff（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点 )23,(A，点 B 在直线 0si3co上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的极坐标为
5、_.15.（几何证明选讲选做题）3如图 3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O交于点 D，若 BC=3， 516A，则 AB 的长为_.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函 )4sin()(xf（其中 0,ARx）的最大值为 2，最小正周期为8(1)求函数 )(f的解析式；(2)若函数 x图象上的两点 P，Q 的横坐标依次为 2，4，O 坐标原点，求 POQ的面积.17.（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ,21乙，丙做对的概率分别为m,n(mn)，且
6、三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0 1 2 3P 41a b 241(1)求至少有一位学生做对该题的概率；(2)求 m,n 的值；(3)求 的数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图 4，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， A是边长为 2 的等边三角形，1A平面 ABC，D，E 分别是 CC1，AB 的中点.(1)求证：CE/平面 A1BD；(2)若 H 为 A1B 上的动点，当 CH 为平面 A1AB 所成最大角的正切值为25时，求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分 14 分）已知数列 na的前 n 项
7、和为 Sn，且 naa321 *)(2)1(NnS.(1)求数列 的通项公式；(2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数，且 p,q,r 成等差数列，试判断 1,rqpa4是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分 14 分）已知椭圆 C1 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 )0,2(,(1F，点 A（2，3）在椭圆 C1 上，过点 A 的直线 L 与抛物线 yxC4:2交于 B， C 两点，抛物线 C2 在点 B，C 处的切线分别为 2,l，且 1与 2l交于点 P.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)是否存在满足 |2121AFPF的点 P？若存在，指出这样的点 P 有几个（不必求出点
8、 P 的坐标） ；若不存在，说明理由.21.（本小题满分 14 分）已知二次函数 1)(2maxf，关于 x 的不等式 21)2()mxxf的解集为 1,(m，其中 m 为非零常数.设 )(fg.(1)求 a 的值；(2) )(Rk如何取值时，函数 )1ln()(xkx存在极值点，并求出极值点；(3)若 m=1，且 x0，求证： *)(21 Ngn5参考答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后
9、继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C D A C A B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共 7 小题，每小题 5 分，满分 30分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题9 1,2 10 1sin 11 12.38 12 12或
10、 138，7n14 16, 15 4说明： 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分 第14题的正确答案可以是： 126k,(Z).三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解： ()fx的最大值为2，且 0A， 2. 1分 的最小正周期为 8， 8T，得 4. 2 分 ()sin()4fxx. 3 分（2）解法 1： 2i2cos4f， 4 分(4)sinin4f， 5 分6 (2,)
11、(4,2)PQ. 63,2OO. 8 分2222633cosPQ.10 分 21PQincos3. 11 分 O的面积为 1632SOPQin32.12 分解法 2： ()sin2cos4f， 4 分(4)iinf， 5 分 2,2)PQ. (4,O. 8 分 63coscs, 2OPQ. 10 分 21PQsincos3. 11 分 O的面积为 16632SOPQin32.12 分解法 3： (2)sin2cos4f， 4 分(4)iif， 5 分 2,(,2)PQ.直线 O的方程为 yx，即 20y. 7 分7点 Q到直线 OP的距离为423d. 9 分 6， 11 分 P的面积为 116
12、232Sd.12 分17 （本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件 A， “乙做对”为事件 B， “丙做对”为事件 C，由题意知，12PmPCn,. 1 分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ 0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是 1314.3 分（2）由题意知 02PABCmn ， 4 分 134， 5 分整理得 12mn， 712n.由 ，解得 3， 4. 7 分（3）由题意知 1aPABCPABC1122224mnnmn，
13、 9 分()1(0)()(3)bPP= ， 10 分 的数学期望为 ()(1)2()()EP=132. 12分8H FA BCA 1 C1B1 DE18 （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长 1AD交 C的延长线于点 F，连接 B. 1，且 21A， 为 F的中点. 2 分 E为 AB的中点， C . 3 分 平面 1D， CE平面 1ABD， 平面 . 4 分（2）解： 1A平面 B， 平面 ， CE. 5 分 是边长为 2的等边三角形
14、， E是 AB的中点， AB， 3. 平面 1， 1平面 1， 1A， CE平面 . 6 分 H为 与平面 1AB所成的角. 7 分 3，在 Rt CE中， tan3CEH，当 H最短时， t的值最大，则 H最大. 8 分当 1AB时， 最大. 此时， tan3CEH152. 25E. 9 分 C BF， 平面 1AB，9zyxHA BCA 1 C1B1DEF BF平面 1A. 10 分 平面 ， 1B平面 1A， ， . 11 分 1AB为平面 1D 与平面 C所成二面角（锐角） . 12 分在 Rt EH中， 22EBH5， cos1AB5HE.13 分平面 1AB 与平面 C所成二面角（
15、锐角）的余弦值为 . 14 分解法二：（1）证明：取 1的中点 F，连接 D、 EF. E为 的中点， 1A，且 12A. 1 分 CD 1，且 1， EF ， C. 2 分四边形 是平行四边形. . 3 分 平面 1AB， E平面 1ABD， CE平面 D. 4 分（2）解： 1平面 C， 平面 C， A. 5 分 B是边长为 2的等边三角形， E是 AB的中点， CE， 3. A平面 1， 1A平面 1， 1A， 平面 B. 6 分 EHC为 与平面 1所成的角. 7 分10 3CE，在 Rt H中， tan3CEH，当 最短时， t的值最大，则 最大. 8 分当 1EAB时， 最大. 此时， tan3CEH152. 25H. 9 分在 Rt EB中， 225EBH.Rt Rt 1A， 1EHBA，即 125. 4. 10 分以 为原点，与 C垂直的直线为 x轴， AC所在的直线为 y轴， 1A所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系 Ayz.则 ()0A,， 1()04,， B310,， D()2,. 1， -， A-.设平面 BD的法向量为 n=xyz,，由 n， ，A101得 342xyz.+-=令 1，则 3x,.平面 ABD的一个法向量为 n()1,. 12 分 1平面 C， 1A=04是平面 ABC的一个法向量.
