1、数列通项公式奇数项偶数项分段的类型例 76 数列 an的首项 a11，且对任意 nN ，a n 与 an1 恰为方程 x2b nx2 n0 的两个根.()求数列a n和数列b n的通项公式；()求数列b n的前 n 项和 Sn.解：() 由题意 nN *，a nan1 2 n 2(1 分)an 1an 2anan 1 an 2an 2n 12n又a 1a22a 11a 22a 1，a 3，a 2n1 是前项为 a11 公比为 2 的等比数列，a2，a 4，a 2n 是前项为 a22 公比为 2 的等比数列 a 2n1 2 n1 a2n2 n nN * 即 an 为 偶 数， 为 奇 数，又b
2、na na n1当 n 为奇数时，b n2 2 32n 12 n 12 n 12当 n 为偶数时，b n2 2 22n2 n2 n2b n 为 偶 数， 为 奇 数，213()S nb 1b 2b 3b n当 n 为偶数时，Sn(b 1b 3b n1 )( b2b 4b n) 72 7 (3 32n21 24 42n21 2 n2当 n 为奇数时，Snb 1b 2b n1 b nS n1 b n102 7 (n 12Sn 为 偶 数， 为 奇 数，702例 77 数列 na的通项 22(cosin)3n，其前 n 项和为 nS. (1) 求 S; (2) 3,4nb求数列 nb的前 n 项和
3、T.解: (1) 由于 22cosincos33n,故3124562312 22()()()(3)k kkSaaaak 8(9)2k,3134,2kkSa23213(9)(31)321,6kkkk故 ,6(1)3,14,6nnSkn( *kN)(2) 39,2nnb144nT13,n两式相减得 1 23191994493138,242nnnn nT 故 2318.nn例 78 数列 2222,(cos)sin,1,3.naaa满 足()求 34,并求数列 n的通项公式；()设 2112, .nnbSba 证明：当 62.nS时 ，.解:()因为 12,所以 22311(cos)i,aa422(
4、cos)in4.一般地，当 *21(N)nk时， 222121()cossink kaa 21ka，即 2.k所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 21.k当 *(N)nk时， 222(cos)sink kaaa所以数列 2k是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2.k故数列 na的通项公式为*21,(N),.nka()由( )知， 21,nb23,nnS 24112n n-得， 2311.n nS11().212nn所以 2.nnnS要证明当 6时， S成立，只需证明当 6n时， (2)1n成立.证法一(1)当 n = 6 时， 6(2)4831成立.(2)假设当 k时
5、不等式成立，即 (2)1.k则当 n=k+1 时， 1()33()31.2()2kk k A由(1)、(2)所述，当 n6 时， 2()1.即当 n6 时， .nS证法二令 2()6nc，则21121()3()30.2nnnc所以当 6n时， 1nc.因此当 6n时， 6831.4nc于是当 时， 2()综上所述，当 时， 2nS例 79 设 m个不全相等的正数 12,(7)ma 依次围成一个圆圈（）若 209，且 05 是公差为 d的等差数列，而1209816,a是公比为 q的等比数列；数列 12,ma 的前 n项和()nSm满足： 3209071,2SS，求通项 ()n； 解：因 1209
6、816,a是公比为 d 的等比数列，从而 22012081,da 由 2092091a得，故解得 3d或 4（舍去）。因此 3 又 15Sad。解得 12从而当 0n时，1()23()an当 69时，由 12098106,aa是公比为 d 的等比数列得20(1)201(6)nnnd因此 2093,59nna例 80 已知数列 n中， *11,(),)2nnaN（1）求证：数列 2与 *2都是等比数列；（2）求数列 na前 2的和2nT；（3）若数列 na前 的和为 2nT，不等式 22643(1)nnTak对 *N恒成立，求 k的最大值。解：（1） 1()2nn， 21na2 分数列 1321
7、,na是以 1 为首项， 2为公比的等比数列；数列 24是以 为首项， 为公比的等比数列。 4 分（2） 13212421()()2()()nnnnnTaa ()n9 分（3）22116464(1)643()3()22nnnn nTakkk当且仅当 时取等号，所以 64，即 8， 的最大值为48例 82.在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列，na12a121,nna成等比数列， 212,nna,3（1）分别计算 ， 和 ， 的值；3546（2）求数列 的通项公式（将 用 表示）；nna（3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， aS24n*N解：（1）由已知，得 ， ，312213a932
8、4a， 692345a89645（2） 成等差数列， ， ；1212,nn 1212nnaa,3 成等比数列， ， ,an2,又 ， ， ，； ， ， ，1324535749a61258a猜想 ， ， ， na12221na*N以下用数学归纳法证明之当 时， ， ，猜想成立；3122241219a假设 时，猜想成立，即 ， ，)1(kn kak212 221kak那么 221121213 kkkka442121 kakkkk，)(1)2(k 2212322324 kkkkk aaa 2222 kkk a221)(12kk 时，猜想也成立n由，根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想成立 *nN 3
9、215573112 n aaa，)(2543n 26842 nn aaa)1(5322当 为奇数时， ；n 8)3(121nnan当 为偶数时， n8)2(12nan即数列 的通项公式为 n为 偶 数为 奇 数nn,8)2(,3（3）由（2），得 为 偶 数为 奇 数nna,)2(8,31显然， ； 1431S当 为偶数时，n 2222 )(1)(81648 nn )2(18641 n 21816428 n； 21n当 为奇数（ ）时，n3 )3(182)(41 nnaSn.242)(142 综上所述， ， 2nS*N例 83 已知等比数列 的公比为 ，首项为 ，其前 项的和为 数列 的前na
10、q1annS2na项的和为 ， 数列 的前 项的和为 nnA1()nnB（1）若 ， ，求 的通项公式；252Ba（2）当 为奇数时，比较 与 的大小；nSnA当 为偶数时，若 ，问是否存在常数 （与 n 无关），使得等式n1q恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由()0nnBSA解: (1) ,25,1 或 1,aq12,aq1,. ，或 . 2()nn 1na(2) 常数， =常数，2112naq211()()nnaqa数列 ， 均为等比数列，首项分别为 ， ，公比分别为 ，n1()na21 2 q当 为奇数时， 当 时, ， ， , 11nSa21nA1nBa . 21nB当 时
11、, ， ， ,qnSa21n1na . 21nA当 时, 设 ，q1()kN， ，2112()kkaS22121211()()kkkkaqaqA ,212112()()kkkqBq 2121kkSA综上所述，当 为奇数时， . nnBSA当 为偶数时，存在常数 ，使得等式 恒成立 12aq()0nn ，q ， ， 1()nnaqS21()naqA1()naqB =()nnB2111()()()nnnqq222111()()()nnnaqa211()()nnqq= 11()na由题设， 对所有的偶数 n 恒成立，又 ，11()2)0nqa1()0naq 12a存在常数 ，使得等式 恒成立 1q()0nnBSA
