1、1固体物理学习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vcnx（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1 ）a=2r， V= ，Vc=a 3，n=13r4 52.06r8ax33（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= x34ar3
2、n=2, Vc=a3 68.03)r4(2arx3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC= r2a,r42n=4，Vc=a 3 7.062)r(4ar4x33（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积： S=6 =260sinaSABO2a3晶胞的体积：V= 332r4a28a3CSn=12 =6个 21674.0r43x（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= n=8, Vc=a33r8ar24a3234.06r384ar8x331.2、试证：六方密排堆积结构中 63.1)8(ac2/证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B、O的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N位于球AB
3、O所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()ajkiaj由倒格子基矢的定义： 123()ba，31230,(),24,0aa223,0()4,ijkaaijk2134()()bijkijkaa同理可得： 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。23()ijbka所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()aijkaijk3由倒格子基矢的定
4、义： 123()ba，3123,(),2,aaa 223,(),2ijkaajk213()()bjkjkaa同理可得： 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。23()ibja所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijb1230hCA所以，倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123b123()h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为 的晶面系，面间距 满足： ，(,)hkld222()ahkl其中 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面
5、密度较大，容易解理。a解：简单立方晶格： ，123a123,aiajk由倒格子基矢的定义： ， ，1123b1223b123ab4倒格子基矢： 1232,bijbkaa倒格子矢量： ，Ghkl2Ghijlka晶面族 的面间距：()kld221()()kla22()adhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。第二章 固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（ ）和库仑相互作用能，设离子的总数为2ln。2N解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，
6、即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求i和后要乘 2，马德隆常数为 234(1).nx当 X=1 时，有 1.2n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurr试求：（1）平衡间距 ；0（2）结合能 （单个原子的） ；W（3）体弹性模量；（4）若取 ，计算 及 的值。02,1,3,4nrAeV解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu.2n5mnnmnmrr 1101.0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将
7、有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0 值，也可不代入）nmrrUW00)(（3）体弹性模量由体弹性模量公式： 0209rVk（4）m = 2，n = 10， ， w = 4eV，求 、Ar3818105r)5(4)( 802010.20 代 入rrrUeVW5)(20将 ， 代入Ar30Je196.12153849.27mN（1）平衡间距 r0 的计算晶体内能 ()2nU
8、r平衡条件 ， ，0rd10mn10()nmr（2）单个原子的结合能， ，01()Wur00()mnr1()nm()2nW6（3）体弹性模量 02()VUK晶体的体积 ，A 为常数，N 为原胞数目3Vr晶体内能 ()2mnUr123r212()mnNVrNA0220009nmnVrr由平衡条件 ，得01200()23nVUNA0mnr02 22009mnVNr022001nVU 2009mnVr0()mnNr0202()9VU体弹性模量 0nK（4）若取 02,1,3,4mrAWeV，10()nr()mn，102W201r，-9510.2eVm192.0eVm第三章 固格振动与晶体的热学性质7
9、3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 个格波解，当 = 时与一维单原子Mm链的结果一一对应。 解：质量为 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；质量为 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 Mm牛顿运动方程 22121()nnnMN 个原胞，有 2N 个独立的方程设方程的解 ，代回方程中得到(2)211itnaqnAeB22()(cos)0cosmAaqBaqMA、B 有非零解， ，则220cosaq12 2()41sin()maq两种不同的格波的色散关系12 222()i()41sinMaqm一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学
10、波.总的格波数目为 2N. 当 时 ，Mm4cos2inaq两种色散关系如图所示：长波极限情况下 ， ，0qsi()2aq与一维单原子晶格格波的色散关系一致.(2)m3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 和 ，两种原子质量相等，10且最近邻原子间距为 。试求在 处的 ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟2a0,qa()q如 这样的双原子分子晶体。2H8答：（1）浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程：2221211()nnnnm体系 N 个原胞，有 2N
11、 个独立的方程方程的解： ，令 ，将解代入上述方程得：1(2)2()1itnaqnitAeB221/,/m12222111()()0iaqiaqiaqiaqeBeA A、B 有非零的解，系数行列式满足： 1222211(),()0iaqiaqiaqiaqee11112222221()()()0iiaqiaqiaqee21212iaqiii因为 、 ，令 得到12020 0,1cm2 40()(cos)aq两种色散关系： 2011)当 时， ，0q20()02当 时， ，a20(18)029（2）色散关系图：3.7、设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证： ; .1/
12、20023/(),4VfA,f解 11222 20 0 0(),qf q时 ，依据 ，并带入上边结果有3(),()q qdsf 1/2 1/20 033 22 3/014()2qVdsVAVf A 3.8、有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与 。2T证明：在 到 间的独立振动模式对应于平面中半径 到 间圆环的面积 ，且kdnd2nd则253Lsnkdv即，23 32 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTskTskTsd dEEveveve ,()vsTC3时 ，第四章 能带理论4.1、根据 状态简并微扰结
13、果，求出与 及 相应的波函数 及 ?，并说明它们的特kaE性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 = )。2nV*解令 ， ，简并微扰波函数为ka00()(kkAxB0*()0nEAVB取nk E10带入上式，其中 0()nEkVV(x)0, ,从上式得到 B= -A,于是nV=00()nixixakkAAxeL 2sinAxaL取 ， E0()nEV,nB得 到=00ixixakkxeL2cosnxaL由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度 为零产生驻波因为电 ()k子波矢 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，nka2kn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2、写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 的 0 级波函数。2ka解21()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLLL 第一能带： *20,()2ixakma第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxeLii则 即 （ e=）第三能带：25* 22,()ixiixaakcmxeaL 即4.3、电子在周期场中的势能221(),bxnabxn当
