1、- 1 -习题 1.1 222222223.3,.3,.3,1.961,941.,9,., ,ppqqppkkkqpaapbpb证 明 为 无 理 数若 不 是 无 理 数 则 为 互 素 自 然 数 除 尽必 除 尽 否 则 或 除将 余 故 类 似 得 除 尽 与 互 素 矛 盾设 是 正 的 素 数 证 明 是 无 理 数设 为 互 素 自 然 数 则 素证 证 1. 22222 ,. .:(1)|3.;()|.0,1,1,(0);(0);,/,3.(1)( apkkxxxX数 除 尽 故 除 尽类 似 得 除 尽 此 与 为 互 素 自 然 数 矛 盾 .解 下 列 不 等 式若 则若
2、 则若 则3解 222.3,5,1|,|5,(1)(5,1).,);()|,|()|(|,.xxxabababab设 为 任 意 实 数 证 明 设 证 明证4.(1)|6|0.;(2)|.16015.96.1(,6.1)(5.9,).2,(,);0,;0.1,1.1nnxxalxXlXllalaba解 下 列 不 等 式 或 或若 若 若若 证 明 其 中 为 自 然 数若 显 然解证5: 120000 ()1)().(),)./.|.(,),|,1| /1()/()/ nnnn nnnn babbmAAABCxbCxaBmb Z设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 有 理
3、 数取 自 然 数 满 足 考 虑 有 理 数 集 合= 若 则中 有 最 小 数-=证7.(,),.1/. 2|.10n nnabmAZ此 与 的 选 取 矛 盾 设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 无 理 数取 自 然 数 满 足 考 虑 无 理 数 集 合 以 下 仿 8题8.证习题 1.2- 2 -6426426613.1(,)(1)1(1).2. (,).13| 3,|1, ,3,(,).yxxxxyxxx xy证 明 函 数 在 内 是 有 界 函 数 .研 究 函 数 在 内 是 否 有 界时 时证解习题 1.4 21.-()lim(0);lim;(3)li;
4、(4)limcos.|-|-|-,| , ,| .|,|li.(2)0xaxaxa xxae直 接 用 说 法 证 明 下 列 各 极 限 等 式 :要 使 由 于只 需 取 则 当 时 故证 222,|1| ,1|)|.min,1|,|2|,lim(3)0.|(1),0),xaxaxaxaaxxaxxee 不 妨 设 要 使 由 于只 需 取 则 当 时故设 要 使 即 ( 1,ln1,in,|2ill0,|cos|sii2sini|,2,coxaxaxxaxaa eeea 取 则 当 时故 类 似 证 故 要 使取 则 当 时 . .(4)20 |,lmco.2.lim(), (,)(,)
5、().10|-|1|()|()1.lili xaxaxxfla ufxflffllM故设 证 明 存 在 的 一 个 空 心 邻 域 使 得 函 数 在该 邻 域 内 使 有 界 函 数对 于 存 在 使 得 当 时 从 而求 下 列 极 限证 3.:200222000002120 i().snsin1co11()limlilm.3lili (0).()2(4).35li xxxxxxxaaaA- 3 -201033002 2311 12()()26)lim.(7lilim.()38)lili lim)()1)()mxx xx x xx x x 2444 2100(.3)(23)(9)lili
6、(128)(2li .6()()(10)limlilim.(xxx nnnxyyx xxny A222210 010 042 0.11)li ()./,(3)lim() ,.8(1)lilixmmmnnx nnx nxx xaxaabbbn A 42/1.3320 2 233333302 2033332 20333315()(11)lim5li(1) )5li .11(16),lxxxxxxxxxa AA220 00 1imlim()()lixaxaxa xax - 4 -00()1limli .()2xaxaxaxax 000222000sin14.lli(1)immcos.tasisn()
7、n()lilli133titasin()i5s5xxxxxxxxxeA利 用 及 求 下 列 极 限 :()1/0 21.54liml2.1cosicsnin(5)lli cos.2(6)limlilim1.(7)li5)xxxaxa kxxxkx xyy xxak e 51/()010li.8lilili.5.m()()li: 0,0|-|().(yxxxaxx effAxafxAf 给 出 及 的 严 格 定 义对 于 任 意 给 定 的 存 在 使 得 当 时) 对 于 任 意 给 定 的 存 在 使 得 当 时习题 1.5- 5 -2 2222 22 221.()0sin5.(1),|
8、10| . ,11,|,|0|,05()()0|sin5i|cos|sin.xxaxxx xxaxxa 试 用 说 法 证 明在 连 续在 任 意 一 点 连 续要 使 由 于 只 需取 则 当 时 有 故 在 连 续要 使由 于证00 0()|co|,|,|,2 5,|sin5i|,sin55()(),0|()0.,/2a axxaxxyff ffx 只 需取 则 当 时 有 故 在 任 意 一 点 连 续 .设 在 处 连 续 且 证 明 存 在 使 得 当 时由 于 在 处 连 续 对 于 存 在 存 在 使 得 当 时证 0000000 000|/2()/()/2.3.(),|, ?)
9、. |,|()|()|(),.fxfxfxfababf xf fff 于 是设 在 上 连 续 证 明 在 上 也 连 续 并 且 问 其 逆 命 题 是 否 成 立任 取 在 连 续 任 给 存 在 使 得 当 时此 时 故 在 连 续 其证 220001,() ,(|1,ln(1), ,(1)()arcos. ;lim()li1(),lim()xx xxf faf ff f逆 命 题是 有 理 数不 真 例 如 处 处 不 连 续 但 是 处 处 连 续是 无 理 数4.适 当 地 选 取 使 下 列 函 数 处 处 连 续 :解01 1122sinlim30.(2)n)l liarcos
10、(1)ln2,l.5. 3:()licocoslicos0.()lx xx xx f xafaxe 利 用 初 等 函 数 的 连 续 性 及 定 理 求 下 列 极 限sn234422.884iarctarctliarctn1.14x xe- 6 -0 0 000222222 22()()(ln)(5)lim1)|lim(1)|3| 33li li ./6.,i,li.lix xx xgxbxxgxfgxx xfabfae 设 证 明证 im(n)(ln227. ,(1)cos(),gni,1(3) 1,/.(4) eefxnf xxfZ指 出 下 列 函 数 的 间 断 点 及 其 类 型
11、 若 是 可 去 间 断 点 请 修 改 函 数 在 该 点 的 函 数 值 ,使 之 称 为 连 续 函 数 :间 断 点 第 一 类 间 断 点 .间 断 点 第 一 类 间 断 点间 断 点 第 一 类 间 断 点,0,sin2,1,2(5) ,1,3.xfxx间 断 点 第 二 类 间 断 点 .间 断 点 第 一 类 间 断 点 .0000 08.(),(),()() ()()(),().yf ygxhxgxfxf xgf fgxxDxRR设 在 上 是 连 续 函 数 而 在 上 有 定 义 但 在 一 点 处 间 断问 函 数 及 在 点 是 否 一 定 间 断 ?在 点 一 定
12、 间 断 因 为 如 果 它 在 点 连 续将 在 点 连 续 矛 盾 而 在 点未 必 间 断 .例 如解习题 1.6- 7 -001.:() lim(),lim,(),(),(.2.01, ,sin,.( xxP PABPBPAxxyyxf R证 明 任 一 奇 数 次 实 系 数 多 项 式 至 少 有 一 实 根 .设 是 一 奇 数 次 实 系 数 多 项 式 不 妨 设 首 项 系 数 是 正 数 则存 在 在 连 续 根 据 连 续 函 数的 中 间 值 定 理 存 在 使 得设 证 明 对 于 任 意 一 个 方 程 有 解 且 解 是 唯 一 的令证证 00000021212
13、1 21)sin,|)| ,|,|,(.()siin)|,.3.(,f yyfxyfxyxff xab在 连 续 由 中 间 值 定 理 存 在设 故 解 唯 一设 在 211211212212222),0,()()().,.(),()() ()()() ,abmabmfxfffxffxfmfxfx f连 续 又 设 证 明 存 在 使 得如 果 取 即 可 设 则在 上 利 用 连 续 函 数 的 中 间 值 定 理证 .4.()0,0(),0,0,1,(),1. ,1. , ,(,)(),()5.0,2,(0)2.yf fxtftgftgfgf ttgftyxf即 可设 在 上 连 续 且
14、 证 明 在 存 在 一 点 使 得 如 果 有 一 个 等 号 成 立 取 为或 如 果 等 号 都 不 成 立 则 由 连 续 函 数 的 中 间 值 定 理 存 在 使 得即 设 在 上 连 续 且 证 明证 1212112 0,|().(),1.,()()1().(0),0,.0,() xffxgfgffgf在 存 在 两 点 与 使 得且令 如 果 则取 如 果 则 异 号 由 连 续 函 数 的 中 间 值定 理 存 在 使 得证1201.fx取第一章总练习题- 8 -221.:582.3| 142.|6,586,.5(2),53,015.()|1| 1(),4,.2|,;,3xx
15、xxxxxyxxyyx求 解 下 列 不 等 式（ ） 或 或设 试 将 表 示 成 的 函 数当 时 当 时解解解 .解 2223123 12,4(2).3241(),.31. .1. ,4()4,0.1,.4. :() .,.21nn yxyxxx xn n求 出 满 足 不 等 式 的 全 部用 数 学 归 纳 法 证 明 下 列 等 式当 时 ,-等 式 成 立 设 等 式 对 于 成 立 ,则解证 31111212224()()3,. .()()13()(),()nnnnnnxxxn 即 等 式 对 于 也 成 立 故 等 式 对 于 任 意 正 整 数 皆 成 立当 时证 ,121
16、 2.113()()()nnn nxxxxx 等 式 成 立设 等 式 对 于 成 立 ,则- 9 -1221122121()()1()()1()()()(),n nnnnnnxxxxxxxx即 等 式 对 于 成 立 . .|5.()14,1),(2,);(2);304212242(1),(),(),()0./,(2)fxffxff fffxf由 归 纳 原 理 等 式 对 于 所 有 正 整 数 都 成 立设 求 的 值将 表 成 分 段 函 数当 时 是 否 有 极 限 :当 时 是 否 有 极 限 ?解 000222222;,.3.lim(),li()lim().(4)4/,lili(
17、),lim().6.1,()14(1)0,xxxxxxfffffff无 因 为有设 即 是 不 超 过 的 最 大 整 数 .求00223;2?()2391141,467.(2)12.(2).lim()li(0).3,lixyxfxff ff f的 值在 处 是 否 连 续在 处 是 否 连 续连 续 因 为不 连 续 因 为解 1 17., ,:()(1);().n nnabbab 设 两 常 数 满 足 对 一 切 自 然 数 证 明- 10 -1 111 1()(1),.8.,23,.:,.1,7,nnnnnnnnnnnnbababbabababn 类 似 有对 令证 明 序 列 单 调 上 升 而 序 列 单 调 下 降 并 且令 则 由 题 中 的 不 等 式证证 =1111 111(),()(),.(1)nnnnnnnnnnnn11111112()()1.1.nnnnnnnnn n我 们 证 明 221 11()1. .()() 1, .nnnnneee 最 后 不 等 式 显 然 成 立当 时 故9.求 极 限
