1、314第 11 章 动态电路的运算分析法 .2学习要点 .211.1 拉普拉斯变换的定义及性质 .211.1.1 拉氏变换的定义 .211.1.2 拉氏变换的条件 .311.1.3 拉氏变换的基本性质 .311.2 拉氏反变换 分解定理 .711.3 线性动态电路的复频域模型 .1111.3.1 KL 的运算形式 .1111.3.2 VCR 的运算形式 .1111.4 用复频域分析法计算线性电路 .1311.5 网络函数及其零点、极点 .2211.6 零、极点与冲激响应的关系 .2411.7 零、极点与频率响应的关系 .26习 题 十一 .30315第 11 章 动态电路的运算分析法学习要点(
2、1) 拉普拉斯变换定义及性质。(2) 拉普拉斯反变换-部分分式展开方法。(3) 动态电路的复频域模型-运算电路。(4) 动态电路的拉普拉斯变换法运算法。(5) 用运算法分析动态电路。本章的核心是如何用数学工具“拉普拉斯变换”解决电路的动态分析问题。因此，学习本章首先应掌握“拉普拉斯变换”的定义、性质和反变换问题，在此基础上掌握如何用“拉普拉斯变换”解决动态电路分析的问题，即运算法的有关问题。第 5 章用时域分析法分析一阶电路比较方便，但对于二阶和高阶或交流的动态电路，列写和求解方程很繁琐 (例题 5-12)。本章复频域分析法（运算法）对分析复杂的电路将更为有效。11.1 拉普拉斯 1变换的定义
3、及性质拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一种有效而重要的工具，它在其他技术领域中也同样得到了广泛的应用，尤其是在各种线性定常系统中，拉氏变换方法作为基本的数学工具受到了人们的普遍重视。为了说明拉氏变换在电路理论中的地位，我们首先简单的回顾以下，在一阶、二阶电路里，我们用微分方程求解动态电路时，虽然能较满意的结合电路中的物理过程分析一些简单的信号输入的时域响应特性，而且对于一阶、二阶电路而言，微分方程也不难求解。但是，若输入信号较为复杂，或是高阶电路，微分方程的求解就会很麻烦，甚至在有些情况下，人工解答已很难实现。在分析正弦稳态电路时，我们采用的是相量法，将求解微分方程的过程，变换为相量的代数方
4、程，从而简化了数学运算，从本质上讲，相量分析也是一种数学变换，它只适用于正弦稳态电路的分析。利用傅立叶分析方法，能够有效地揭示出一些较为复杂的非正弦周期信号的频率特性，而且傅立叶变换作为一种数学变换方法也可以应用于线性电路的分析。然而傅立叶变换方法有着明显的局限性：其一，因为周期信号的傅立叶级数是无穷级数，因此对于周期信号输入的电路，利用傅立叶级数，不易求得封闭形式的解，只能取有限项的近似解；其二，工程上很多有用的信号，不满足绝对可积的条件，傅立叶变换就不能直接应用。特别是对于具有初始条件的电路，利用傅立叶变换法求全响应是比较麻烦的。由以上事实可以看出，探索分析任意信号输入时线性电路的响应问题
5、，是非常必要的。拉氏变换方法是解决此类问题的工具之一。11.1.1 拉氏变换的定义一个定义在 区间上的函数 的拉氏变换记作),0)(tf（11-1）0()stLFsfed上式是单边拉普拉斯变换的数学定义。 称为 的拉氏变换或象函数， 是 的原函数。)( )(tfsF如果把上式中的积分下限取 ，则称为双边拉氏变换，本书只讨论单边拉氏变换。应当指出，为了顾及函数 在 处可能存在冲激的情况，上式中的积分下限取 。在电路原理中，把式（11-1）称)(tf0 01 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,17491827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。316为拉氏变换
6、的 系统，把积分下限取为 的拉氏变换，称为 系统。在 系统中，函数的初始值为000，在 系统中，函数的初始值为 。若 ，两者并无区别，若 )(f )(f )(ff )0(f，对电路的求解，两者会得到不同的结果。如果 已知，要求出与之对应的原函数，由 到 的变换称为拉氏反变换，它定义为 sF)(sFt（11-2）11()()2cjstLsfted式(11-1) 与(11-2)称为拉普拉斯变换对。理论上可以证明，单值函数的拉式变换具有唯一性。11.1.2 拉氏变换的条件拉氏变换是一个积分变换，此变换要想存在， 必须满足以下三个条件：)(tf（1） 时 。一般假设电路的过渡过程从 时刻开始，因此这个
7、条件总能满足。0t)(tf 0（2） 和它的一阶导数在 时是分段连续的。f 0t（3） 是指数阶的，即： ， 。其中 称为收敛因子。在拉氏变换时，)(limttefte将 乘以收敛因子，只要 足够大，总能使 较快的衰减。)(tf Rs)(tf大多数函数均满足以上条件，其拉氏变换积分是收敛的。例 11-1 求以下函数的象函数 单位阶跃函数 单位冲激函数 指数函数解 单位阶跃函数的象函数： )(tf0001()stststFsede单位冲激函数的象函数： )(tf00()st stsd指数函数的象函数： atef)() ()00011() (tssat satFde11.1.3 拉氏变换的基本性质
8、1. 线性性质设 和 是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为 和 ， 和 是两个任意)(tf2tf )(1sF21A2的实常数，则有： )()()()( 2121 sAsFtfAtfL证明 120tfed120()()st stff2例 11-2 设下面两个函数的定义域为 ，求其象函数。, )sin()ttf)sinh()(ttf解 2)12121 stjstjejLj 2()()sih( sttt3172. 时域微分性质设 的象函数为 ，其导数 则 )(tf)(sFdtff)( )0()(fsFtfL证明 0stLfe利用分部积分，设 ， ， ， ，tutfdv)( tseu)(tfv由于
9、 ，所以vd00()()() ()0stst sttfeffdeFf例 11-3 利用微分的性质求下列函数的象函数 )cos()ttf)(tf解 由于 1sin()dft所以 221in() i(0)dsFsLt 由于 tf)(所以 10)(s3. 时域积分性质设 的象函数为 ，则)(tf)(F0()()t FsLfd证明 设 ，则 0tgfdtgsG由于 ，且 ，所以 )(tgt)( )(0()(sGgs故 sFG(例 11-4 利用积分性质求 和 的象函数tf)(ntf1)(解 由于 ， 所以 0()tftd 2sL同理 则 20t322st依次类推 1!nstL4. 时域延迟性质设 的象
10、函数为 ， 是 的延迟函数，则)(tf)(F)0tf(tf 00()()stLfteF证明 由于 时 。令 则0t000()()() ststttsLftfedfedF 318例 11-5 求如图 11-1 中波形的象函数解 )()(attp由延迟性质可得： 11)ssaeesG5. 频域微分性质设 的象函数为 ，则)(tf)(sF)()(sFdtfL证明 ，两边对 s 求导得：0tsfed0()()()()st stdtfeLtf所以： ，多次使用此性质，可得：FdtfL )()1(sFdnn例 11-6 利用频域微分性质求 的象函数)sin(bt解 由于 2)(sinbt所以 2)()(b
11、ssdtL6 . 频域积分性质设 的象函数为 ，则)(tf)(FsftLFud证明 000()()()stut utss s eftudfefefdL 例 11-8 求 的象函数t)in(解 由于 所以 1)si(2L2sin()1stLdu设 ， 则 uv11220sduvarctgs7. 频域延迟性质设 的象函数为 ，则)(tf)(F)()sFtfeLa证明 00 ()at tsatLeffdeds例 11-9 利用频域延迟性质求 的象函数)in()(at解 由于 2sin)(st所以 2)()( aFeLat8. 尺度变换性质设 的象函数为 ，则)(tf)(s1sFtfL证明 0stLa
12、tfed1atO)(tp图 11-1 例 11-5 图319设 ， 则 at0011()()()sst asfaedfedF例 11-10 已知 的象函数是 ，求 的象函数2t 324s2)(atg解 )()()2ftg所以 32232)(41saasasFG9. 卷积定理设有两个定义在 区间的函数 和 ，它们的卷积定义为：),01tf(2tf2121 )()(*dftftf卷积定理：如设 和 的象函数分别为 和 ，则1()Fs22121sFtfL证明 20()()stftfed由于 t故 121200()()()ftfdfttfd * stL e设 tx则 ()12210 00()()()s
13、t xsfttfdeffd 0012 Fsxs由于 ，所以 )()(121FsF )(*)(*12tftf根据以上介绍的拉氏变换的定义和它的一些性质，可以很方便地求出一些常用的时间函数的象函数，表 11-1 为常用函数的拉氏变换表。表 11-1 一些常用函数的拉氏变换原函数 象函数 原函数 象函数)(tAA)sin(teat 2)(asscotateaate2)(1ast1)(st)sin(t2ate)1( 2)(ascos2t31320)sin(t 2cossinnt!11nscot isate)(a)sinh(2)sin(t2scotscot )(11.2 拉氏反变换分解定理用拉氏变换求解
14、线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的象函数反变换为时域函数。拉氏反变换可以直接用定义积分求得，但涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。如果象函数比较简单，往往能够从拉氏变换表中查出其原函数。对于不能从表中查出原函数的情况，如果能设法把象函数分解成若干个简单的能从表中查到的项，就可以查出各个项所对应的原函数，而它们的代数和即是所求的原函数。这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。另外，也可以用工程数学上的围线积分和留数定理来求拉氏反变换。下面重点介绍拉氏反变换的部分分式展开法。对于有理函数 可以表示为以下形式)(sF（11-3）01)( bsbaasDNnnmm其中 ， 为实数，
15、和 为正整数，且 。iajb用部分分式展开有理分式 时，要求 为真分式，即 ，如果 ，可先将 化为)(Fnm)(sF真分式，再进行分解，当 ，则 。在电路分析中，通常不会出现 mn n)(0sDNAs的情况。上式中 A 是一个常数，其对应的时间函数为 ，余数项 即是真分式。)(t)(0s由数理理论知，在式（11-3）中，使 为零的 值，称为 的零点，使 为无穷大的 值，(sFF)(sFs称为 的极点。显然，多项式 的根就是 的零点，而多项式 的根就是 的)(sF0)N)(s0)(极点。一般来说，多项式 的根可以分为四种类型。(sD1. 具有 个单根0n的分母 的根，是不相等的实数根，此时，极点
16、分别为 ， ，于是 可以)(s)( 1pn,2)(sF展开为（11-4a）12() nKKFspss其中 ， 为待定系数。1Kn 2将上式两边同乘以 ，得)(1ps)(21npsps321令 ，则等式除了第一项外都为零，这样求可求得 ，1ps 1K1)(1psFs同理可求得 ，所以确定各待定系数的公式为nK 2（11-4b）ipsiiFs)( ni3 ,2的另一种求法，利用分解定理iK ()lim()(liii ispspNskD上式为 的不定式，可以应用求极限的方法（洛比塔法则）确定 ，即0 iK()()liispNssK因此确定 的另一公式 （11-4c ）iK()iispkD n3 ,2
17、1确定了（11-4）式中的系数后，对应的原函数为 nitpieKFLtf11)()(例 11-11 已知 ，求其原函数23)(2ssF解 2)(1)( 12 s2111sssK3)(22ssF所以 tteLtf 21)(2. 具有非重共轭复根0)(sD设 ， ，则jp1 jp2 )()( 121 sFjsKjsF其中 ， ， 为不包含该共轭复根的其余各项。1)(11pssK2)(22pK当然， 可能还包含其他共轭复根，对它们的处理与下面的处理方法相同。为了简单起见，设)F。由于 是实系数多项式之比，故 ， 为共轭复数。0(1s 1设 11je则 12则有 tjjtjjtjtj eKKetf )
18、(1)()()(1) (11ttje（11-5）)cos(1t例 11-12 求 的原函数。523)(sF322解 的根为 ， ，为共轭复根。则052)(ssD21jp21jp112123)( 0.545sj sjKjF2.2( 21212 jjjs jsjs代入式（11-5）得： )45cos()45co()( teteKtf tt3. 具有实数重根0)(sD则应含有 的因式，设 含有 的因式，则 是 的 3 重根，则 可qp1)(sD31)p1p0)(sD)(sF以分解为（11-6）)()(132113 FsKsF为不包含该重根的其余各项。当然， 可能包含单根或非重共轭复根，甚至其他的重根
19、，)(1sFF对于单根或非重共轭复根处理方法如前，对于其它重根的处理与下面的处理方法相同。为了简单起见，设 。为了确定 ， 和 ，可以将式（11-6 ）两边都乘以 ，则 被单独分离01K213 31)(ps1K出来，即 （11-7）21132)()()(Kpsps 则 311F再对式（11-7）两边对 求导一次， 被分离出来，即2，123131)()(pspsd所以 1312sFK用同样的方法可得 1)(31213 pssd从以上的分析过程可以推导出当 在 处具有 阶重根的情况，此时 可以分解为0)Dpq)(sFqq psKsKsF)()( 1211其中 1)1ps1)()!(1 psqii
20、Fd q 3,2 i则 tptqtpqtpq eKqeKeeKtf 1111 )(12)(1)( )!()( 例 11-13 已知 ，求其原函数。)2(32ssF解 此 有一个 2 重根和一个单根，由以上分析可知， 可以分解为)( )(sF3232)1()(12sKsF其中 3311 ssK2)( 121212 ssdFsd)(3)( 222 ssK故 ttteetf 23)(4. 有多重复根0)(sD如设 为 3 重复根， 为 3 重复根。则根据重根的处理方法得jp1 jp2 321223111 )()()()()( psKspKssKsF 可以用求重根系数的方法来求 ， ， ， ， ， 。
21、3221其中 ， ，*23*可设 ， ， ，31je212je11je这样原函数为33 2211()()()()3 221() jtjt jtjtt tjtjttftKKee)cos()cos()cos(2 12122313 tettft从以上的分析过程可以推导出当 具有 阶共轭重根的情况， 可以分解为0Dq)Fqqqq psKpspspssF ()()()()( 2221211 其中 （11-8）FK（11-9）1)()!(111 psqii Fsd 3 ,i（11-10）222psqs（11-11）2)()!1( psqiiK q ,i其中 与 互为共轭，设 ，则iK1i2 iie（11-12）1 1()(1)2() (2)(1)1()cosco s! c1t tqqqqtqtft Keeq
