1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公
2、示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 09003107 所属学校（请填写完整的全名）： 同济大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 贾启新 2. 王梦真 3. 王昕 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 陈雄达 日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由
3、赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1创意平板折叠桌最优设计方案探究摘要本文讲述的是创意折叠桌的最优设计问题。创意折叠桌在本文中是指折叠立起可以形成桌面边缘线，折下以平板形式呈现的新型个性化折叠桌。为探寻这一折叠桌的最优设计方案，我们主要需要解决的问题有：确定各桌脚与地面的最优夹角，确定最佳钢筋位置等。首先，我们在具体的实例中，采用了解析几何的方法，以最外围木条与地面的夹角为切入点，钢筋所在位置为桥梁，建立模型，表示折叠圆桌的动态变化过程并得到相应的设计加工参数。利用 MATLAB 对桌脚边缘线进行拟合过程中，我们采取了两种方法，一为两曲面的交线，另一采用参
4、数方程的形式，本文推崇第二种方法。实例模型进行推广，适用于任何规格的圆桌。自定义综合成本 P（P=木材单价*平板体积+开槽总长度折记成本.） ，从木条与地面的夹角、平板长度和开槽长度三方面入手，利用自锁、压杆稳定、综合成本最小依次得到各角度对应的最佳钢筋位置和最优角度，最终得到稳固性好、加工方便、用材最少的设计方案。整个模型实现过程借助 C/C+语言。针对拥有个性化桌面边缘线，自定义的桌高和桌脚边缘线的创意平板桌，本文创造性地定义深度 l，即一组折叠腿中最长与最短木条末端 y 坐标差来描绘桌脚边缘线。通过最外围木条与地面的夹角和深度 l 的合作，最终确定钢筋的固定位置，再进一步利用综合成本 P
5、 最低这一原则，选定出最优的最外围木条与地面的夹角，得到最优设计方案。此过程仍然借助 C/C+实现，在桌面边缘线方程不可知时，利用 matlab 进行拟合，并利用 3ds Max 对最终成果进行动态展示。【关键词】折叠桌，综合成本，最优角，钢筋固定位置，开槽长度，坐标21、问题重述随着人们生活水平的日益提高，人们对于生活的质量也有了更高的要求。人口的增长也使得人们更加追求对于空间的高效利用。折叠家具由于其使用方便，用途多样，可有效地利用或节省环境空间，正在越来越多的进入人们的视线。近年来，折叠家具的折叠方式不断增加，让用户在实现家具的使用价值的同时更能享受生活。 【1】但折叠家具不仅要考虑折叠
6、方式上的奇思妙想，更要考虑产品的稳固性、加工的难易程度以及需要的材料的多少等等与实际生产以及使用相关的问题。对于赛题中提到的折叠桌及折叠方式来说，正是如此。在生产中，对于不同的桌高、桌面边缘线的形状大小以及桌脚边缘线的大致形状，如何确定平板的尺寸、桌腿的数量、钢筋的位置及开槽的长度等，这些都是此种折叠桌所面临的问题。正是基于折叠家具越来越多地进入人们的生活，折叠方式日新月异，而在折叠家具的生产使用过程中还面临这样那样的问题这些背景，本文以此种折叠桌为例，对它的生产参数以及桌子折叠过程中的动态变化建立数学模型，以期找到此种折叠桌在任意设定的桌高、桌面边缘线的形状大小以及桌脚边缘线的大致形状下的最
7、优设计加工参数，并使得根据此参数设计可以制作出尽可能满足给定条件的折叠桌。2、基本假设假设 1、圆形桌面的直径等于长方形平板的宽度，假设 2、组成桌腿的木条宽中点为圆形桌面边缘线上一点。假设 3、木条宽度为长方形木板宽度的二十分之一。假设 4、桌腿与地面的滑动摩擦系数均采用木材与砌砖在干燥条件下的静摩擦系数0.6假设 5、忽略桌面与桌腿之间铰链对于桌子高度的影响。假设 6、假定在木条上每开槽 20cm 成本为 1 元，木材成本为 3000 元每立方米。假设 7、假定给定桌面边缘线均为关于 x 轴和 y 轴对称三、参数说明P：综合成本B：桌子平板宽度C：桌子平板长度M：桌子平板厚度H：桌子高度（
8、包含板的厚度）K：开槽总长度i：表示从外侧向内数第 i 根木条Xi：第 i 根木条末端 X 坐标Yi：第 i 根木条末端 Y 坐标Zi：第 i 根木条末端 Z 坐标xi：折叠后第 i 根木条上钢筋 X 坐标yi：折叠后第 i 根木条上钢筋 Y 坐标zi：折叠后第 i 根木条上钢筋 Z 坐标3X0i: 第 i 根木条与桌面连接端 X 坐标Y0i: 第 i 根木条与桌面连接端 Y 坐标Z0i: 第 i 根木条与桌面连接端 Z 坐标i：桌子立起时第 i 根木条与地面夹角Li：桌子第 i 根木条长度Di:第 i 根木条所需开槽长度d:平板折叠桌未进行折叠时钢筋距离木条末端的长度di:平板折叠桌折叠之后
9、第 i 根木条末端距离钢筋的长度b:木条横截面宽度c：木条横截面高度I:木条对形心主轴的惯性矩r:木条对形心主轴的惯性半径A：木条横截面面积。E:木条弹性模量：木条长细比：允许应力crl ：一组桌脚的深度四、问题分析本问题是一个关于日常家具的设计方案最优化的问题，目的是以最少的木材设计制作出符合稳定性要求和外形相关要求，并且加工方便的折叠平板桌子。关于木材用量方面，结合折叠桌子展开正好为矩形这一特点，尽可能用一整张木板进行制作，从而达到零损耗的目的。在稳定性方面，其实是一个关于结构稳定的问题，其中研究的重点应该是桌子腿的稳定。因为桌子腿部并不是达到直立的，着地的仅仅只是四根木条的一边，相对普通
10、桌子来说着地面积过小。其次，还应该对加工的难易程度加以考虑，而折叠桌子相对来说设计以简易为主，并无过多繁杂的处理过程，加工所指的主要就是开槽的问题。那么，问题就转化为寻找一个用料零损耗，桌脚稳定且开槽总长度短的折叠桌子设计方案。另一方面，桌面采用均为关于 X 轴和 Y 轴对称，只需考虑四分之一即可，本文全部只研究 X-Y 平面组成的第一象限。五、模型的构建5.1 具体实例的模型构建第一个问题中，长方形平板的尺寸，每根木条的宽度，折叠桌子的高度以及钢筋的所在位置都已经有了明确的要求，是一个信息详实的具体实例，我们的初步设想是以此问题为着手点构建模型，在和第二个问题相结合加以推广，从而得到一个广泛
11、适用的模型。首先，为了找到一个合适的数学模型来形象直观的反映该折叠桌子在从平板折叠成为圆桌的动态变化过程，需要寻求一个可以准确反映折叠桌子现处状态的变量。经多个变量的试验探索，最终选定以最外围（即最长的）木条与地面的夹角 1 作为反映桌子实时所处状态的一个特征变量，并以此变量作为自变量对桌子的动态变化过程加以描述。4平板折叠圆桌从平板折叠成为圆桌的过程中，处于不断变化的主要有两个方面，一是桌脚边缘线（图 1 中红色曲线）的不断变化，另一个即钢筋相对于木条的位置的变化。图一（摘自2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 B 题）5.1.1 数据的处理和计算为了能够准确的描述动态的变化过程，采
12、用了立体解析几何的方式，首先对折叠桌子建立空间直角坐标系，以桌面下方形心位置为原点，竖直向上为 z 轴，沿平板长边方向向左为 y 轴，沿平板短边向纸外为 x 轴Z图二坐标系建立之后，首要任务就是要对实例中所指定的各项参数进行处理，从而得到相应的设计加工参数。根据桌面的形状和桌子展开之后的形状，我们猜想桌面的直径与平板的宽是一致的。为了保证猜想的正确性，我们搜集各类资料，最终在平板折叠边桌一文中找到了这一折叠边桌的设计理念。文中写道：“设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余面积切割成了若干个长短不一的木梁，每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离，分别用两根金属棒贯穿两侧的木
13、条，使用者只需提起木条的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果。”【2】这段详细的描述有力地证明了我们关于直径和宽等长度和整块板制作设想的正确性。直径的确定使得我们轻松得到了桌面边缘圆周的方程式： 且220()BXiY，其中 B 代表平板的宽度，在第一个问题的实例中，B=50cm。假设木条宽的0Zi中点位于此圆周上，并以此和平板的长来计算每根木条的长度，从而得到每根木条与地面的夹角以及木条末端的坐标和钢筋在折叠桌子折叠之后的坐标。具体的计算过程如下：y x5根据折叠桌子的高度和平板长度，可以求得木条倾斜角和木条的长度：arctn()0ZiiY1sin()HL10LiYi得到上述两个量之后
14、，根据相关三角计算，得木条末端坐标为：Xi*co()0iiY*sin()Zi木条上钢筋所在位置的坐标为：xi1s12Lyi2zi同时，由于平板折叠桌在进行折叠之前，钢筋距离每根木条末端的长度都是相同的，可用 d 表示，折叠之后每根木条末端和钢筋之间的距离发生相应的改变，依据这一变化，便可轻松求出每根木条应有的最小开槽长度，计算方法为：12L222(0)()(0)dixiXyiYziZDidi通过分析得到上述计算式子之后，将第一问中得高度等相关数据代入计算，值得注意的一点事在录入高度时需要考虑到木板的厚度问题。木板本身的厚度对于折叠桌的影响是不可忽略的，此题中高度为 53cm 的折叠桌代入的时候
15、应该为 H=53-3=50cm,图 3 为计算结果的截图：图三（长度单位均为 cm）图 3 中所展现的计算结果中，我们可以的到两个方面的有用信息。一是图中的Di 表示的正是当折叠桌子的桌面直径为 50cm，高度为 53cm 时每根木条应有的开槽长度，这是设计制作折叠桌子的重要工业参数。另一方面，可以清楚的看到折叠桌组成桌腿的一组木条中一半的末端坐标，从而联想到利用这些已知点的坐标借助MATLAB 进行相应的拟合，找到桌脚边缘线的表达式，从而对其进行相应的描述。经过探讨分析，我们找到了两种方法。方法一：matlab 中的 toolboxes 可以对多种情况的散点进行简单的拟合，这样的操作简单方便
16、且常见。但通过一些常规操作之后，未能发现有绘制三维曲线的方法，只能对曲面进行拟合，因此我们大胆设想曲线为两个三维曲面的交线。在此思想的指导下，我们利用 toolboxes 中的 curve fitting tool 在自定义函数形式下进行了拟合，得到图 4 所示两个曲面。其中，曲面旁边的数据为该曲面所采用的方程模型以及各个参数的取值，参数取值后面括号内的数据为每个参数的置信区间。第一个曲面的拟合程度很好，修正 达到了 1，方差修正后为 0.02038;第二个拟合程度稍稍2R6逊色，修正 为 0.9284，方差修正后为 1.581.2R图四方法二：方法一未能达到我们想要求得三维曲线表达式的目的，
17、决定另辟新径，借用了参数方程的思想，分别求得 y 和 z 用 x 进行表达的方程式，利用二维曲线绘制三维曲线。此方法得到的两个二维曲线如下，曲线右侧数据为 y 和 z 分别关于 x 的表达式，括号内仍然为置信区间。其中，x-y 的曲线拟合度好，修正后 为 0.9889，修2R正后的方差为 0.3532图五得到上述两个二维的曲线模型之后，在 MATLAB 中利用 plot3()函数进行拟合，将两个曲线合并成为一条三维曲线，并与桌脚边缘线进行了拟合，拟合结果如下图，其中红色的三维曲线是我们得到的桌脚边缘线模型，蓝色的时桌脚边缘连线，直观上来看，拟合程度还是很高的。7图六5.1.2 折叠桌动态变化模
18、型的建立经过对于桌脚边缘线模型的确立和数据计算等过程的摸索，我们最终选定最外围即最长的那根木条与地面的夹角 1 作为自变量建立了一系列的动态变化模型，建立模型的具体思路和计算最终桌脚边缘线的思路一致。模型如下：根据折叠桌子平板长度，可以求得木条的长度：2*011CYL10LiYi木条上钢筋所在位置的坐标为：xiXcos()2yi12Zzi根据相关三角计算，得桌脚边缘线上点的坐标为： arctn()0ziiyY0Xi*os)YiLi*sin()ZiL5.2 模型的推广上述模型均是建立在桌子高为 53cm，平板规格为 120cm*50cm*3cm 的前提下的。第二个问题更加的符合实际，更加具有实用
19、性，它强调的是一种通用性，希望在任意给定折叠桌高度和圆形桌面直径的时候可以得到稳固性好、加工方便、用材最少的折叠桌制作设计方案。为了达到这一目的，我们要确定三个方面的问题，一方面是木板的保险厚度，另一方面是木板的长度，最后一方面是钢筋固定的位置。由于这三个方面的参数之间是相互关联相互影响的，寻求最优解的计算过程十分的繁琐，这一工作我们将利用 C 语言来完成，同时，我们假定木条宽度为长方形木板宽度的二十分之一。5.2.1 木板最优角度 1 范围初步确定木板的最优角度即指桌腿最外围最长的木条与地面的夹角 1 的最优解。所谓最优解就是可以综合考虑达到加工方便，用料最少且稳定性高的多方面要求。首先，折
20、叠桌子最重要的稳定性必须是要不打折扣的满足的。在桌面厚度确定的中选取最保险的厚度已经对桌子的稳定性有了一层保障，这层保障主要是针对桌面的承重能力而言的。桌腿的角度则更多的是影响到折叠桌子是否会滑倒，自动恢8复到平板状态。这就需要研究桌腿与地面之间的受力关系了。通常情况下，桌腿与地面的接触面积越大，桌子的稳定性就越好。但在这个问题中，我们无法加大桌脚与地面的接触面积，桌脚与地面只能是只有一条棱接触。如此看来，我们只能从其他方面考虑了。桌腿倾斜于地面，与物理实验中置于斜面上的物块有着些许的相似，这一相似点使得我们想到用自锁来解决稳定性的问题，对 1 给出一个可行域的同时，最保险的厚度也就确定了。图
21、七如图七所示，由静力学平衡公式:力平衡： ,xfyNF；力偶平衡：2111cossin0infiMFLAA继而得出：cosinf nFA，按照材料的摩擦系数表取值 .6【3】，从而 。15tan603通过上述计算我们可以得到 1 的可行域为【60，90】。5.2.2 木板保险厚度的确定木板的厚度对于桌子折叠后最终的高度以及桌子折叠好之后的稳定性都有较大的影响，所以要想得到其他相关的设计参数并且保证折叠桌子的稳定性，就必须得到木板的保险厚度。为了确定木板的厚度，我们采用了压杆稳定的原理进行相关计算，具体计算过程如下：cb图八根据材料力学中的压杆稳定问题，木材所受的实际压应力应该小于其允许应力。根据木结构设计规范，对于 TC17 的木材，其实际压应力的最大值 ，0=16MPa弹性模量 10EMPa【4】 。由上图可知，木条宽度为 b，厚度为 c，主惯性矩 ，从而惯性半径3*12bcI
