1、习题 911 设有一平面薄板(不计其厚度) 占有 xOy 面上的闭区域 D 薄板上分布有密度为 (x y)的电荷 且 (x y)在 D 上连续 试用二重积分表达该板上全部电荷 Q 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度 (x y)在该板所占闭区域 D 上的二重积分 Ddyx),(2 设 132)(DdyxI 其中 D1(x y)|1x1 2y2 又 2 其中 D2(x y)|0x1 0y2 试利用二重积分的几何意义说明 I1与 I2的关系 解 I1表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x1 y2 以及 z0 围成的立体 V 的体积 I2表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x0 x1 y0 y2 以
2、及 z0 围成的立体 V1的体积显然立体 V 关于 yOz 面、xOz 面对称 因此 V 1是 V 位于第一卦限中的部分 故V4V1 即 I14I23 利用二重积分的定义证明 (1)Dd (其中 为 D 的面积) 证明 由二重积分的定义可知 Dniiifdyxf10),(lm),(其中 i表示第 i 个小闭区域的面积 此处 f(x y)1 因而 f( )1 所以 010liliDnd(2)Dyxfkyxkf),(),( (其中 k 为常数) 证明 niiini ii ffdf 1010 ),(lm,l, Dniii dyxfkfk ),(),(lm10 (3)21),(DDyxdyxf 其中
3、DD1D2 D1、 D2为两个无公共内点的闭区域 证明 将 D1和 D2分别任意分为 n1和 n2个小闭区域 1i和2i n1n2n 作和22111 ),(),(),( ni iiniiii fff 令各 i和 2i的直径中最大值分别为 1和 2 又 max(12) 则有niiif10),(lm 2211100 ),(lim),(l niinii ff 即 21 ,(, DDD dyxfdyxdyx 4 根据二重积分的性质 比较下列积分大小 (1)Ddyx2)(与 Ddyx3)( 其中积分区域 D 是由 x 轴 y 轴与直线 xy1 所围成 解 区域 D 为 D( x y)|0x 0y xy1
4、 因此当(x y) D 时 有( xy)3(xy)2 从而 Dd3)(Dd2)(2)Dd2)(与 yx 其中积分区域 D 是由圆周(x 2)2(y1)22 所围成 解 区域 D 如图所示 由于 D 位于直线 xy1 的上方 所以当(x y)D 时 xy1 从而(xy) 3(xy)2 因而DDdd32(3)D)ln(与 3)( 其中 D 是三角形闭区域 三角顶点分别为(1 0) (1 1) (2 0) 解 区域 D 如图所示 显然当( x y)D 时 1xy 2 从而0ln(xy)1 故有ln(xy)2 ln(xy) 因而 DDdd)ln(ln(4) )与 3 其中 D(x y)|3x5 0y1
5、 解 区域 D 如图所示 显然 D 位于直线 xye 的上方 故当(x y)D 时 xye 从而ln(xy)1 因而 ln(xy)2ln(xy)故 DDdd2ln(ln( 5 利用二重积分的性质估计下列积分的值 (1) DyxI)( 其中 D(x y)| 0x1 0y1 解 因为在区域 D 上 0x1 0y1 所以0xy1 0xy2 进一步可得0xy(xy)2 于是 DDdd) 即 ( (2) DydxI2sin 其中 D(x y)| 0x 0y 解 因为 0sin2x1 0sin2y1 所以 0sin2xsin2y1 于是Ddsi 即 D22nsi(3) dyxI)1( 其中 D(x y)|
6、 0x1 0y2 解 因为在区域 D 上 0 x1 0y2 所以 1xy14 于是Ddyd4)( 即 x82 (4) DdyI)94(2 其中 D(x y)| x2y2 4 解 在 D 上 因为 0x2y24 所以9x24y294(x2y2)925 于是 DDdd5( 222)即 Ddyx1094(36习题 921 计算下列二重积分 (1)Ddyx)( 其中 D(x y)| |x|1 |y|1解 积分区域可表示为 D 1x1 1y1 于是)(2d2)( xd132xd13138 (2) Dy)2( 其中 D 是由两坐标轴及直线 xy2 所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 D 0x2 0y2x
7、 于是dx)3( d2)3( dx023204024 (3)Dyx)(23 其中 D(x y)| 0x1 0y1解 Ddyx)3(210323)(dxyx100134dyx10442 (4)yx)cos( 其中 D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为 D 0x 0yx 于是 Ddyx)cos(d)cos(00)sin(dxy0in20c21|)cos1(xx dx)os(3 2 画出积分区域 并计算下列二重积分 (1)Ddy 其中 D 是由两条抛物线 y 2所围成的闭区域 解 积分区域图如 并且 D(x y)| 0x1 x 于是yx102dx23d5
8、6)3(047d (2) Dd2 其中 D 是由圆周 x2y24 及 y 轴所围成的右半闭区域 解 积分区域图如 并且 D(x y)| 2y2 24yx 于是4040221ddyx563)1( 22y (3)Dyxde 其中 D(x y)| |x|y|1 解 积分区域图如 并且D(x y)| 1x0 x1yx1(x y)| 0x1 x1yx1 于是 10xxdedede10101yxy 1022)()(dxex1020121xxeeee1 (4)Ddy)( 其中 D 是由直线 y2 yx 及 y2x 轴所围成的闭区域 解 积分区域图如 并且 D(x y)| 0y2 于是 23202 1)()(
9、 dyxydxy613841903d 3 如果二重积分 Dxyf),(的被积函数 f(x y)是两个函数 f1(x)及 f2(y)的乘积 即 f(x y) f1(x)f2(y) 积分区域 D(x y)| axb c yd 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即)()(21fdfdf cbD证明 dxyfxyxxyf dbaca )()( 2121 而 ddcf)(21 故 dxyxyfxbacD)(21 由于 dcyf)(2的值是一常数 因而可提到积分号的外面 于是得)()()(2121 yfxfdxyf dcba4 化二重积分 DfI),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二
10、次积分) 其中积分区域 D 是 (1)由直线 yx 及抛物线 y24x 所围成的闭区域 解 积分区域如图所示 并且D(x y)| xy ,0 或 D(x y)| yx241 ,0所以 xdfI240),(或 ydfI402),( (2)由 x 轴及半圆周 x2y2r2(y0)所围成的闭区域 解 积分区域如图所示 并且D(x y)| 20 ,xryr或 D(x y)| 2y所以 20),(rdyxfdI 或 2),(0rydxfI(3)由直线 yx x2 及双曲线 x1(x0)所围成的闭区域 解 积分区域如图所示 并且D(x y)| xy1 ,2或 D(x y)| ,(x y)| 2 ,1x所以
11、 xdfI1),(2 或 2211 ),(),(y ydfdfI (4)环形闭区域 (x y)| 1x2y24 解 如图所示 用直线 x1 和 x1 可将积分区域 D 分成四部分 分别记做 D1 D2 D3 D4 于是 4321 ),(),(),(),(DDdyxfdyfdyfdyxfI 224412 ),(),(xxff2 2144,xxdyfdyfd用直线 y1 和 y1 可将积分区域 D 分成四部分 分别记做 D1 D2 D3 D 4 如图所示 于是 4321 ),(),(),(),( DDDD dyxfdyxfdyxfdyxfI 2 24141 ),(),(yydxfdxfd2 2),
12、(),(yyff5 设 f(x y)在 D 上连续 其中 D 是由直线 yx、ya 及 xb(ba)围成的闭区域 证明 byaab dxfd),(, 证明 积分区域如图所示 并且积分区域可表示为D(x y)|axb ayx 或 D(x y)|ayb yxb 于是 df),(df),( 或 df),(yadxf),( 因此 byaxab xff),(),(6 改换下列二次积分的积分次序 (1) ydxf01),( 解 由根据积分限可得积分区域 D(x y)|0y1 0xy 如图 因为积分区域还可以表示为 D(x y)|0x1 xy1 所以1001 ),(),(xydfxf (2) yd2 解 由
13、根据积分限可得积分区域 D(x y)|0y2 y2x2y 如图 因为积分区域还可以表示为 D(x y)|0x4 所以ydxf20),(402),(df (3) 21,y 解 由根据积分限可得积分区域 1 ,10|),( 22yxyyx 如图 因为积分区域还可以表示为 D 所以22 1010 ),(),(y dfdxfd(4) 12xy 解 由根据积分限可得积分区域 2 ,21|),( xyxyxD 如图 因为积分区域还可以表示为 10 所以212),(xdyfd102),(ydf (5) eln0 解 由根据积分限可得积分区域 D(x y)|1xe 0yln x 如图 因为积分区域还可以表示为
14、 D(x y)|0y1 eyx e 所以exdyf1ln0),(10),(eydf(6) si2(其中 a0) 解 由根据积分限可得积分区域 sin2i ,0|),( xyxy 如图 因为积分区域还可以表示为arcsin2 ,01|),(yxDarcsin 所以 yyx dxfdxfdfd arcsin10arcsin21sin20 ),(),(, 7 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 xy2 yx 和 x 轴所围成 它的面密度为 (x y)x2y2 求该薄片的质量 解 如图 该薄片的质量为DdM),(Ddyx)(2102)(yd103372y4 8 计算由四个平面 x0 y0 x1 y1 所围成的柱体被平面 z0 及 2x3yz6截得的立体的体积 解 四个平面所围成的立体如图 所求体积为DdV)326(0)326(d1010xy79x 9 求由平面 x0 y0 xy1 所围成的柱体被平面 z0 及抛物面 x2y26z 截得的立体的体积 解 立体在 xOy 面上的投影区域为 D(x y)|0x1 0y1x 所求立体的体积为以曲面 z6x2y2 为顶 以区域 D 为底的曲顶柱体的体积 即DdV)(102)6(xd67
