1、比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题 1）用二分法求方程 在1,2内的近似根，要求误差013x不超过 10-3.【解】 由二分法的误差估计式 ，得到31* 02| kkab.两端取自然对数得 ，因此取 ，即至少102k 96.812ln03k9需二分 9 次.求解过程见下表。 kakbkx符号)(kxf0 1 2 1.5 +1234567892、 （p.11，题 2） 证明方程 在区间0,1内有唯一个实根；使210)(xexf用二分法求这一实根，要求误差不超过 。【解】 由于 ，则 在区间0,1上连续，且210)(exf )(f， ，即 ，10)(ef 08210ee
2、0)1(f由连续函数的介值定理知， 在区间0,1上至少有一个零点.)(xf又 ，即 在区间0,1上是单调的，故 在区间0,1内xf )(xf有唯一实根.由二分法的误差估计式 ，得到 .两21* 02| kkabx 10k端取自然对数得 ，因此取 ，即至少需二分6438.19.32ln0k 77 次.求解过程见下表。 kakbkx符号)(kxf0 0 1 0.512345670.2误差1 （p.12，题 8）已知 e=2.71828，试问其近似值 ， ， x2=2.71，7.21x1.各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。7.23x【解】有效数字：因为 ，所以 有两位有效数字；11 025.
3、082.| xe 7.21x因为 ，所以 亦有两位有效数字；2|因为 ，所以 有四位有效数字；33.| xe 8.3x；%85.1720|1r；.|22xer。0184.7.5|33r评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2 （p.12，题 9）设 ， ， 均为经过四舍五入得出的近2.1x7182.x0718.3x似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】 ， ；05.1 314.05xr， ；.2 62108.7.r， ；05.3 439.01.5xr评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单
4、位.3 （p.12，题 10）已知 ， ， 的绝对误差限均为42.18.4310x，问它们各有几位有效数字？2105.【解】 由绝对误差限均为 知有效数字应从小数点后两位算起，故 ，2105. 42.1x有三位； 有一位；而 ，也是有一位。84.2x 0184.843x1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、 （p.54，习题 1）求作 在节点 的 5 次泰勒插值多项式 ，并计xfsin)(0 )(5xp算 和估计插值误差，最后将 有效数值与精确解进行比较。)367.0(5p ).(5p【解】由 ，求得 ； ； ；xfsinxfcos)(1 xfsin2(xfcos)(3； ； ，所以xf)(4fs)
5、(5 i65p 500)5(200)(010 )!)!( ff5(2)(!xfxff53!xx插值误差： ，若 ，则)(5R 6060)6( !1)(!|)sin|)| xxf 5.0，而37.0p 37428.5.!37. ，精度到小数点后 5 位，5665 1.2.!).( 故取 ，与精确值 相比.6 307419.)6.0sin()0(f较，在插值误差的精度内完全吻合！2、 （p.55，题 12）给定节点 ，试分别对下列函数导出拉格朗4,3,120xx日余项：（1） ；234)(xxf（2）【解】依题意， ，拉格朗日余项公式为 3n 30)4(3 )(!iixfxR（1） ；0)(4xf
6、 0)(3xR（2）因为 ，所以 !)()4(3)1()4(3)1(!4)()(3 xxxxfxR3、 （p.55，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算 的67.0sin近似值并估计误差。 i0 1 2ix0.32 0.34 0.36)sn(i0.314567 0.333487 0.352274【解】依题意， ，拉格朗日余项公式为 330)4(3 )(!iixfxR（1） 线性插值因为 在节点 和 之间，先估计误差67.0x0x1 2)(max)(2)sin()(!2)()( 1010101 xxfR ；须保留到小数点后 4 为，计算过程多余两位。4.x0x1( x1-
7、x0)2/ 4y = ( x - x0) ( x - x1)xy0)(1xP )sin()sin()sin()sin( 0100101010 xxx 1 32.i)67.34.i32.67.2sin()4sn(0. 34（2） 抛物线插值插值误差： )(2xR )()(6cos)()(!3 210210 xxxxf 6321.06ma x0x1M a x = 3 ( x1- x0)3/ 8y = ( x - x0) ( x - x1) ( x - x2)xy0x2抛物线插值公式为： )(2xP)sin()()sin()()sin()( 202121210102010 xxxxx )i(i()i
8、(. 212002x)3670(2P )36.0sin(75.2)34.0sin(91.38)2.0sin(845.125 ).i(.).i(.).i(.30.25 03749.经四舍五入后得： ，与 精确值相3074.6.02P 31.0)67.sin比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、 （p.56，习题 33）设分段多项式 2120)(23 xcxbxS是以 0,1,2 为节点的三次样条函数，试确定系数 b，c 的值.【解】依题意，要求 S(x)在 x=1 节点函数值连续： ，)1(121)(233 ScbS即： 1cb一阶导数连续： ，6即： )(2解方程组（1）
9、和（2） ，得 ，即3,2cb2130)(23 xxxS由于 ，所以 S(x) 在 x=1 节点的二)(61 S阶导数亦连续。2、 已知函数 的一组数据， 和 ，2xy2,10xx 2.0,5.,10yy（1）求其分段线性插值函数；（2）计算 的近似值，并根据余项表达式估计误差。)5.(f【解】 （1）依题意，将 x 分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为 ，利用)(21xS和拉格朗日线性插值公式，求得；5.0.10)( 1011 xyxyxS 8.3.2.5.2)(12122 x（2） ，而93076.5.1f，实际误差为：830)5(S。.42.|.|2f由 ,可42)3(32)2(2)
10、1( )1(,)1(,) xfxfxf 知 ，则余项表达式5.0()2fM 5.062.5.0.!2|)(1|!|) 42)( MxxR1.4 曲线拟合1、 （p.57，习题 35）用最小二乘法解下列超定方程组：7263514yx【解】 构造残差平方和函数如下： 2222 )7()6()35()14(), yxyxyxyxQ，分别就 Q 对 x 和 y 求偏导数，并令其为零： ，0),()1(76： ，y 2483解方程组（1）和（2） ，得 4176.736,029.7486 yx2、 （p.57，习题 37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。2bxa【解】令 ，则 为线性
11、拟合，根据公式(p.39,公式 43)，取2xXbXaym=2，a1=0，N=5，求得； )2()1(555125114121251 2iiiiiiiiii iiii yxXxbaXba y依据上式中的求和项，列出下表xi yi Xi (=xi2) Xi2(=xi4) Xi yi (=xi2yi)19 19 361 130321 685925 32.3 625 390625 20187.531 49 961 923521 4708938 73.3 1444 2085136 105845.244 97.8 1936 3748096 189340.8 157 271.4 5327 7277699
12、369321.5将所求得的系数代入方程组（1）和（2） ，得)2(5.3692172534.0ba；97258.0816774. ；054.816749532772695.31b即： 。0.8.xy2.1 机械求积和插值求积1、 （p.94，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：； h hfAfhfAdxf )()0()()( 210；10 4342。0)()()(3xffxf【解】 （1）令 时等式精确成立，可列出如下方程组：2,1)3(3220100hA解得： ，即： ，可以4,120 h hfhfdxf )(04)(验证，对 公式亦成
13、立，而对 不成立，故公式（1）具有 3 次代数精度。3)(xf 4)(（2）令 时等式精确成立，可列出如下方程组：2,f)3(16713220A解得： ，即： ，可以,20A )43(2140fffdxf验证，对 公式亦成立，而对 不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。3)(xf 4)(（3）令 时等式精确成立，可解得：f,1)(3240xA即： ，可以验证，对 公式亦成立，而对10 )32(4)0()(ffdxf )(f不成立，故公式（3）具有 2 次代数精度。)(xf2、 （p.95，习题 6）给定求积节点 试构造计算积分 的插值,4,10x10)(dxfI型求积公式，并指明该求积公式
14、的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：；21)4321(4310010 xdxdxA；)(1021010 xxx插值求积公式： 100 )43(21)()()( ffxfAdxfnkk当 ，左边= ；右边= ；左=右；f1df 1当 ，左边= ；右边= ；左=右；xf)(10102)(xf 2432当 ，左边= ；右边= ；左2)(f10103)(df 165916右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 Simpson公式1、 （p.95，习题 9）设已给出 的数据表，xexf4sin1)(x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00f(x) 1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 66 0.721 59分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分 的近似值。dxfI10)(【解】 （1）用复化梯形法：2835.1 72159.0)6.152.634.1(20. )()0()(. )225.4,5,055 1110 T fffff bxahxhTnbba nkkknk（2）用复化辛普生法：
