1、1习题 12. 设 都是事件,试通过对 中的一些事件的交及并的运算式表示下列事ABC,ABC件:1) 中仅有 发生.,2) 中至少有两个发生.,ABC3) 中至多两个发生.,4) 中恰有两个发生.,5) 中至多有一个发生.,ABC答案 1) ; 2) ; 3) (或 ); 4) ;ABCABCABC5) .3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:“三次都是红的”, “三次颜色全同”, “三次颜色全不同”, “三次ABCD颜色不全同”, “三次中无红”, “三次中无红或无黄”.EF解 每次抽球都可以抽到 4 个球中的任意一个，有 4 钟可能，
2、3 次抽球共有 种可能，346因此样本空间含有 64 个样本点。每次抽球都可以抽到 2 个红球中的任意一个，有 2 种可能，3 次抽球都抽到紅球共有种可能，因此事件 含有 8 个样本点。328A3 次抽球都抽到紅球共有 种可能，3 次抽球都抽到黄球共有 种可能，3 次抽21球都抽到白球共有 种可能，因此事件 含有 个样本点。31B8103 种颜色的排列有 种，对应于每一种排列，抽到的球有 种可能，!6A 21因此事件 含有 个样本点。C62因为事件 含有 个样本点，故事件 含有 个样本点。B10DB64105每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有 2 种可能，3 次抽球都抽不到紅球共有 种
3、可能，因此事件 含有 8 个样本点。328E23 次都抽不到红球有 8 种可能，3 次都抽不到黄球有 中可能，3 次都抽不到红球27和黄球有 中可能，因此事件 含有 个样本点。1F827134由上可得， ， ，()8/641PA()0/65/PB()12/643/PC， 。527/3D841E7F7. 某小学六个年级各年级学生人数相同,从中任意抽出 4名代表.求下列事件的概率.1) 从一年级到四年级每个年级恰好有一名代表.2) 每个年级的代表都至多有一名.3) 三年级恰好有两名代表.(设学生人数很多,抽出几个代表后各年级学生人数比例的变化可以忽略).解：1） 5416!)(AP2） 8)(4B
4、3） 2165)(4CP答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392（？）.10. 在 8 对夫妻中任意选出 5 人.求至少有一对夫妻被选中的概率.解 设 “没有一对选中”A，3916214680)( P 39/2)(AP答案 23/39.11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的 天和 天，则两人的出生时间XY相差不到半天当且仅当 （如右图） ，从图中看到,矩形面积为 2，阴影部分面积|1/2XY为 ，故两人的出生时间相差不到半天的概率为7/8。7/8
5、162313. 在一条线段上随意放两点把这条线段一分为三,求得到的三条线段能成为一个三角形的三条边的概率.解 ，10,:),(yxy2/1xA 2/1,/:),(yxyx4)(P答案 1/4.14. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有 65%订阅日报,有 55%订阅晚报,有 75%订阅杂志,有 30%既订阅日报又订阅晚报,有 50%既订阅日报又订阅杂志,有 40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?解 设 “订阅日报” ， “订阅晚报” ， “订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或ABC杂志的家庭所占的百分数为()()()()
6、()()PCAPABPBCPA。65%7530%4029517. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?解 掷五枚硬币，有 种结果，样本点总数是 32。则 “恰好出现 个正面” ，523iAi。在 5 枚硬币中选出 个，有 种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币0,1234,ii5iC出现反面，有 1种可能。故事件 含有 个样本点。设 “至少出现两个正面” ，则iAB的对立事件 “至多出现一个正面” 含有 个样本点，事件 含有B01A0156CB个样本点。因而326.()26/3/PB又 含有 个样本点，故3A510C。3()10/5/A从而所求的条件概率为。3
7、3()/2(|) /13()6PB19.投掷一个骰子两次.1) 已知第一次是 6点,求两次都是 6点的条件概率.2) 已知两次中至少有一次是 6点,求第二次是 6点的条件概率.3) 已知两次中至多有一次是 6点,求第二次是 6点的条件概率.4) 已知两次中恰好有一次是 6点,求第二次是 6点的条件概率.解 第一次得 6点， 第二次得 6点。AB41） .6/1)(/APB2) 36/1/61/)()( ABP/3/1)()3) , BACC7/1)65(/)6/1(5)6/(1)( BP4) ,2/1)6/(5)6/(1)( C答案 1/6 6/11 1/7 1/2.21. 已知某种病菌在全人
8、口的带菌率为 10%.在检测时,带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为 95%和 5%,而不带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为 20%和 80%.1) 随机地抽出一个人进行检测,求结果为阳性的概率.2) 已知某人检测的结果为阳性,求这个人是带菌者的条件概率.解 ,10)(BP9.0)(2,95.AA75.)(/1920/1.1BP答案 1) 0.275, 2) 19/55.22. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是 .求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.p解 设 ”李小姐没有收到电子邮件”, “张先生没有收到李小姐
9、的答复”.则AB， ， 。()PAp(|)(|)1PA。| 1(|)()(|()|()2BpP526. 设 都是事件.又 和 独立, 和 独立, 和 互不相容. , ,ABCABCA()1/2PA, .求概率 .()1/4PB()1/8()P解 )()()()PBC()。1/24/812/4/183/629. 设线路中有元件 如图 6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是,ABCDE0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.解 设 , , , , , “断 开 ”“断 开 ”C“断 开 ”D“断 开 ”E“断 开 ”.则 , , , , .T“线 路 断 开 ”()0.6
10、PA().5B()0.4P().3()02P()CDEAEABC()()()()()B E 0.64.305.430.65.403.260.43.252.72.1.7.8解 2 ,()()()0.56.0.PABPAB,.84.396CDCD()()()()()TEPEABCDPE.0.96.20.27635*. 同时投掷 4个骰子,求掷出的 4个面的点数之和是 12的概率.解 求 中 的系数，即 中462).(xx12 446452 )1()1( xxx的系数.8.41)(66xx .)165.0(82x故系数为 16540125 12965)(4AP6习题 24. 掷一枚非均匀的硬币,出现
11、正面的概率为 ,若以 表示直至掷到正、反面都(01)pX出现为止所需投掷的次数,求 的概率分布.解 对于 ,前 次出现正面,第 次出现反面的概率是 ,前 次出23k 1kk1()kp1k现反面,第 次出现正面的概率是 ,因而 有概率分布1()pX, .1()()kkPXp2,35. 一个小班有 8 位学生,其中有 5 人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第 1 个能正确回答的概率是 ,5/8第 1 个不能正确回答,第 2 个能正确回答的概率是 ,(3/8)571/6前 2 个不能正确回答,第
12、3 个能正确回答的概率是 ,/2(/)5前 3 个不能正确回答,第 4 个能正确回答的概率是 ,(3/8)71/6/6前 4 个都不能正确回答的概率是 .(3/8)271/605设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为 ,则 有分布XX0 1 2 3P5/8 15/56 5/56 1/566. 设某人有 100 位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是 0.04,问一天中他至少收到 4 位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到 位朋友的电子邮件,则 ,一天中他至少收到 4 位朋X(10.4)XB友的电子邮件
13、的概率是 .(4)P1) 用二项分布公式计算.31010()1().4(.)57kkXC2) 用泊松近似律计算7.3 310410 0(4)1(4).4(.) 56!kkkPXCe 8. 设 服从泊松分布,分布律为.(),01,2!kPXe问当 取何值时 最大？kk解 设 , ,则()/(1)aPX2k,1/!()keka数列 是一个递减的数列.ka若 ,则 最大.1(0)PX若 ,则当 且 时, 最大.a1kkaPXk由此得1) 若 ,则 最大.(0)PX2) 若 ,则 ./1/()1kkk最 大 且由上面的 1)和 2)知,无论 或 ,都有.1PXk不 是 整 数最 大 或 是 整 数12
14、. 设随机变量 的概率密度为 .求 的分布函数 ,并0,1)1,2()(pxIxIX()Fx作出 与 的图形.()pxF解 0(,0),1)0) (x xvdIdvIxdv 11,2) 2Ix0,)012()0dvvdv120,1)1,2) ,)0( ()x xIIxIxdvd.2,) 1,2),)(/(/(I811. 设随机变量 的概率密度为 .求常数 和 的分布函数,并求概率X0,1()()pxcIxcX.(16/0)PX解 , .10210()5cxpxd1/0c.2,10)10,)0,1)10,)()()(xvxFvIdIIIx26/ 68PXPXPX.828822()3/5501xp
15、d15. 设随机变量 的密度为 .求常数 .X2xcec解 .2 21/2(1/)/441/41 xtx tceddedce 由上式得 .1/4/15. 离散型随机向量 有如下的概率分布:(,)XY0 1 2 30 0.1 0.1 0.1 0.11 0 0.1 0.1 0.12 0 0 0.1 0.2求边缘分布.又问随机变量 是否独立？,XY解 有分布 Xkx0 1 2()PX0.4 0.3 0.3有分布 Yky0 1 2 39()kPYy0.1 0.2 0.3 0.4因为,0(2,0)(2)(0.31XPXY所以 , 不独立.XY18 设随机向量 服从矩形(,)XY上的均匀分布,求条件概(,
16、):12,0Dxyy率 .|PXY解 ,()(62)/63,1,/12.(,)/(|) 83PXYPX22. 随机向量 有联合密度(,)XY,2(,)()EcpxyIxy其中 .求系数 和 落在圆 内的概22(,):0ExyyRc(,)XY22(,):Dxyr率.解 2 cosin20201(,) xryRxyRcpxydddcrR 因而 .而2cR221(,)(,)DxyrPXYpxyddxyR10.cosin201/xryrdrRR27. 设 ,分别找出 ,使得 .其中 , 2()XNik()iiiPkXk123i, , .10.92.5309解 1 2()/()1()ikxiiiPk ed.2/1()ixttiiiked.()/ii代入 的值查得 , , .i1.6421.93258解 2 设 ,则 .(0)XZN(0,)Zi iiiikkXPkkP .()()2()1iiiiiZ.)1/2iik代入 的值查得 , , .i.64.9325828. 某商品的每包重量 .若要求 ,则需要把 控制在2(0,)XN19205.98PX什么范围内.解 设 ,则 .20(1)Z(,)Z.9520520195 (5/)(/)2(5/)1PXP1.9810.98X.5/(0.)23/2.328. 设 服从自由度为 的 分布,即 有密度Xk2X./21/(0,)/()()kxXkpxeI
