1、第 1 页（共 36 页）解直角三角形一、选择题1(2016 福州，9,3 分)如图，以圆 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是上一点（不与 A，B 重合），连接 OP，设 POB=，则点 P 的坐标是（ ）A（sin，sin） B（ cos，cos ） C（cos，sin） D（sin，cos ）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质【专题】计算题；三角形【分析】过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在直角三角形 OPQ 中，利用锐角三角函数定义表示出 OQ 与 PQ，即可确定出 P 的坐标【解答】解：过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在 RtOPQ 中，O
2、P=1 ，POQ=，sin= ，cos= ，即 PQ=sin，OQ=cos，则 P 的坐标为（cos，sin），故选 C【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键2( 2016云 南 )一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知 CA=4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（ ）第 2 页（共 36 页）A 米 2 B 米 2 C（4+ ）米 2 D（4+4tan）米 2【考点】解直角三角形的应用【分析】由三角函数表示出 BC，得出 AC+BC 的长度，由矩形的面积即可得
3、出结果【解答】解：在 RtABC 中， BC=ACtan=4tan（米），AC+BC=4+4tan（米），地毯的面积至少需要 1（4+4tan ）=4+tan （米 2）；故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出 BC 是解决问题的关键3 （2016四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A斜坡 AB 的坡度是 10 B斜坡 AB 的坡度是 tan10CAC=1.2tan10 米 DAB= 米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得
4、答案【解答】解：斜坡 AB 的坡度是 tan10= ，故 B 正确；故选：B4（2016 山东省聊城市，3 分）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点 O 是摩天轮的圆心，长为 110 米的 AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面 C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 33，测得圆心 O 的仰角为 21，则小莹所在 C 点到直径 AB 所在直线的距离约为（ tan330.65，tan210.38）（ ）第 3 页（共 36 页）A169 米 B204 米 C240 米 D407 米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析
5、】过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，求得 AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO 中，求得 OD=CDtanBCO=CDtan21，列方程即可得到结论【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，AD=CD tanACD=CDtan33，在 RtBCO 中，OD=CDtanBCO=CDtan21，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33CDtan21=55m，CD= = 204m，答：小莹所在 C 点到直径 AB 所在直线的距离约为 204m故选 B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合
6、理的运用这条公共边是解答此题的关键5 （2016.山东省泰安市，3 分）如图，轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68方向上，航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到 sin68=0.9272，sin46 =0.7193，sin22 =0.3746，sin44=0.6947） （ ）第 4 页（共 36 页）A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【分析】过点 P 作 PAMN 于点 A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为
7、PA 的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点 P 作 PAMN 于点 A，MN=302=60（海里） ，MNC=90， CPN=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，MN=PN=60（海里） ，CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68（海里）第 5 页（共 36 页）故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6 （2016江苏苏州）如 图 ， 长 4m 的 楼 梯 AB 的 倾 斜 角 ABD 为 60， 为
8、了改 善 楼 梯 的 安 全 性 能 ， 准 备 重 新 建 造 楼 梯 ， 使 其 倾 斜 角 ACD 为 45， 则 调 整后 的 楼 梯 AC 的 长 为 （ ）A 2 m B 2 m C （ 2 2） m D （ 2 2） m【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 -坡 度 坡 角 问 题 【 分 析 】 先 在 RtABD 中 利 用 正 弦 的 定 义 计 算 出 AD， 然 后 在 RtACD 中 利用 正 弦 的 定 义 计 算 AC 即 可 【 解 答 】 解 ： 在 RtABD 中 ， sinABD= ，AD=4sin60=2 （ m） ，在 RtACD 中 ，
9、 sinACD= ，AC= =2 （ m） 故 选 B7（2016 辽宁沈阳） 如图，在 RtABC 中，C=90，B=30，AB=8，则 BC 的长是（ ）A B4 C8 D4【考点】解直角三角形【分析】根据 cosB= 及特殊角的三角函数值解题即可第 6 页（共 36 页）【解答】解：在 RtABC 中，C=90 ，B=30，AB=8，cosB= ，即 cos30= ，BC=8 =4 ；故选：D【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握二、填空题1（2016黑龙江大庆）一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3
10、 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】设该船行驶的速度为 x 海里/时，由已知可得 BC=3x，AQBC，BAQ=60，CAQ=45，AB=80 海里，在直角三角形 ABQ 中求出 AQ、BQ，再在直角三角形 AQC 中求出CQ，得出 BC=40+40 =3x，解方程即可【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为 x 海里/时，3 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处，由题意得：AB=80 海里，BC=3x 海里，在直角三角形 ABQ 中，BAQ=60，B=9060=30，AQ= AB=40，BQ= AQ=40 ，
11、在直角三角形 AQC 中，CAQ=45，CQ=AQ=40，BC=40+40 =3x，第 7 页（共 36 页）解得：x= 即该船行驶的速度为 海里/时；故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键2（2016湖北十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EFMN，小聪在河岸 MN 上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然后沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30方向，此时，其他同学测得CD=10 米请根据这些
12、数据求出河的宽度为 （30+10 ） 米（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】如图作 BHEF，CKMN，垂足分别为 H、K，则四边形 BHCK 是矩形，设CK=HB=x，根据 tan30= 列出方程即可解决问题【解答】解：如图作 BHEF，CKMN，垂足分别为 H、K，则四边形 BHCK 是矩形，设 CK=HB=x，CKA=90，CAK=45，CAK=ACK=45，第 8 页（共 36 页）AK=CK=x，BK=HC=AKAB=x30，HD=x30+10=x20，在 RTBHD 中，BHD=30，HBD=30，tan30= ， = ，解得 x=30+10 河的宽度为（
13、30+10 ）米【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型3. （2016 年浙江省宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10m 的A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，测角仪高 AD 为 1m，则旗杆高 BC 为 10 +1 m（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】首先过点 A 作 AEDC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m，CE=AD=1m ，然后在RtBAE 中，BAE=60 ，然后由三角形函数的知识求得 BE 的长，继
14、而求得答案【解答】解：如图，过点 A 作 AEDC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m，CE=AD=1m ，在 RtBAE 中， BAE=60，BE=AEtan60=10 （m），BC=CE+BE=10 +1（m）旗杆高 BC 为 10 +1m故答案为：10 +1第 9 页（共 36 页）【点评】本题考查仰角的定义注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键4(2016 福州，18,4 分)如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角（O ）为 60，A ，B，C 都在格点上，则 tanABC 的值是 【考点】菱形的性质；解直角三角形【专
15、题】网格型【分析】如图，连接 EA、EB，先证明AEB=90，根据 tanABC= ，求出 AE、EB 即可解决问题【解答】解：如图，连接 EA，EC，设菱形的边长为 a，由题意得 AEF=30，BEF=60 ，AE= a，EB=2aAEB=90，tanABC= = = 故答案为 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型5 （2016上海）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑物的高度
16、BC 约为 208 米（精确到 1 米，参考数据： 1.73）第 10 页（共 36 页）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】分别利用锐角三角函数关系得出 BD，DC 的长，进而求出该建筑物的高度【解答】解：由题意可得：tan30= = = ，解得：BD=30 ，tan60= = = ，解得：DC=90 ，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120 208（m），故答案为：208【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6(2016 大连，15，3 分)如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55方向上的 B 处，此时渔船与灯塔 P 的距离约为 海里（结果取整数）（参考数据：sin55 0.8，cos55 0.6，tan551.4）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】作 PCAB 于 C，先解 RtPAC，得出 PC= PA=9，再解 RtPBC，得出 PB=11【解答】解：如图，作 PCAB 于 C，在 RtPAC 中，PA=18，A=30，
