1、12014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学（一）集合与常用逻辑用语（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 U=R，集合 M=x|x2-x=0，N=x|x=2n+1 ，nZ ，则集合 MN 为（ ）A0 B1 C0，1 D 2下列命题中的假命题是（ ）A存在 x R，lg x =0 B存在 xR，tan x =1C任意 xR，x 3+10 D任意 x R，2x 03已知集合 A=yZ|y=log2 x， x8，B=x| 0，则 A（RB）等于（ ）121A0 ，1，2 B （-1，3
2、 C-1，0， 1，2 D-1，3）4已知命题 p：存在 x0 R，x 02-x0+10；命题 q：“x 0，a=1” 是“ x+ 2”的充分不必要a条件”则下列命题正确的是（ ）A命题“p 或 q”是假命题 B命题 “（p）且 q”是真命题C命题 “p 或（q） ”是真命题 D命题“（ p）且（q） ”是真命题5满足 M1，2，3，4 ，5，且 M1，2，3=1，3的集合 M 的个数是（ ）A1 B2 C3 D46已知函数 y= 的定义域为 M，集合y|y=e|x|，xR（e 为自然对数的底数）的补1ln()x集为 N，则下列说法正确的是（ ）A “xN”是“x M”的充分不必要条件 B “
3、xN” 是“ xM”的必要不充分条件C “xN”是“xM” 的充要条件 D “xN” 是“ xM”的既不充分也不必要条件7已知全集 U=R，集合 M=x|y ，N=y|y=2sin（2x + ）-2341，xR，且 M、N 都是全集 U 的子集，则右图 Venn 中阴影部分表示的集合为（ ）A-3，- ）3B （1 ， 3C-3，- ）（1， 33D-3，- （1， 328给出以下四个命题：在ABC 中，若 sinA ，则 A ；24若 1x2 ，则（x -1） （ x-2）0；若 x=y=0，则 x2+y2=0； 若 ab=ac（a0 ） ，则 b=c则以下判断正确的为（ ）A的逆否命题为真
4、 B 的否命题为真C 的否命题为假 D的逆命题为假9已知 f（x）是定义在实数集 R 上的增函数，且 f（1）=0，函数 g（x ）在（-，1上为增函数，在1，+）上为减函数，且 g（2）=g（0）=0，则集合x| 0等于（ ）()fAx|x0 或 1x2 Bx|0x2Cx|x2 Dx|0x 1 或 x210甲：函数 f（x）是奇函数；乙：函数 f（x）在定义域上是增函数对于函数f （x ）=tanx，f（x）= ，f（x）= x|x|，f（x ）= 12,01x能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是（ ）A B C D11已知集合 A=（x，y）| ，B=（x ，y）|ax-2y-20，若
5、AB，则实数102xy a 的取值范围是（ ）A-1，2 B-2，2 C （-1，2 D （-2 ，2）12已知函数 f（x）= 则方程 f（x）-a=0 有四个实根的充要条件为（ 21(0)4xx）Aa1 Ba 3 C1 a3 D1a33二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.13如果命题“ p 或q”是真命题，且 p 为真命题，则 q 一定是 命题 （填“真”或“ 假”）14设集合 P=a1，a 2，a 3，Q=b 1，b 2，定义集合 PQ=（a，b）|aP，bQ，则集合PQ 中的元素有 个15已知 p：-2x 10， q：x 2-2x+1-
6、a20（a0） ，若非 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为 。 16设非空集合 S=x|mxl，满足：当 xS 时，有 x2S，给出如下四个命题：若 m=1，则 S=1；若 l=1，则 m 的取值集合为-1 ，1；若 m= ，则 l 的取值集合为 ，1 ；1319若 l= ，则 m 的取值集合为- ，042其中所有真命题的序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17已知集合 A=x|（x-1） （x-2a-3）0，函数 y=lg 的定义域为集合 B2()xa（1）若 a=1，求集合 ARB（2）已知 a -1 且“ x
7、A”是“x B”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围18已知 aR，条件 p：函数 y=x2+（4a-3）x+ 的图象与 x 轴有两个不同的交点，条件1q：复数 在复平面上对应的点在第一象限如果 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，1i求实数 a 的范围419集合 A=x|x2-ax+a2-13=0，B= x|lg（x 2-5x+14）=1，C=x|x 2+2x-3=0，求当 a 取什么实数时，AB= 和 AC同时成立20对于点集 A=（x，y）| x=m，y=a（x 2-x+1） ， mN+，B=（x，y）|x=n，y=-2x2+x+1，nN+ ，问是否存在非零整数 a，使 AB
8、，若存在，求出 a 的值及 AB，若不存在，说明理由21已知椭圆方程 （ab0） ，A（m，0）为椭圆外一定点，过 A 作直线 l 交椭21xy圆于 P、Q 两点，且有 ，Q 关于 x 轴的对称点为 B，x 轴上一点 C，当 l 变化时，AP证明：点 C 在 BP 上的充要条件是 C 的坐标为（ ，0） 2a22已知集合 A=a1，a 2， ，a k（k2） ，其中 aiZ（i=1，2，k） ，由 A 中的元素构成两个相应的集合：S=（a ，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA ，a-b A 其中（ a，b）是有序数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m5和 n若对于任
9、意的 aA，总有-a A，则称集合 A 具有性质 P（）检验集合0，1，2 ，3 与-1，2，3是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T；（）对任何具有性质 P 的集合 A，证明：n ；(1)2k（）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论62014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学（一）集合与常用逻辑用语（理科）答案1、解：分析可得，M 为方程 x2-x=0 的解集，则 M=x|x2-x=0=0，1 ，N=x|x=2n+1，nZ ，是奇数的集合，故集合 MN=1， 故选 B2、解：对于 A，当 x=1 时， lg x=0，正确；对于 B，
10、当 x= 时，tan x=1 ，正确；4对于 C，当 x-1 时，x 3+10，错误；对于 D，任意 xR，2 x0，正确 故选： C3、解：对于 A，当 x=1 时， lg x=0，正确；对于 B，当 x= 时，tan x=1 ，正确；4对于 C，当 x-1 时，x 3+10，错误；对于 D，任意 xR，2 x0，正确 故选： C4、解：由题意可得 A=yZ|y=log 2x， x8=yZ|-1y3=0，1，2，3 ，1B=x| 0=（2，+）（-，-1，1x RB=（-1 ，2，则 A（ RB）=0，1，2 故选：A5、解：依题意集合 M 可能为1，3 ，1，3，4 ， 1，3，5，1 ，
11、3，4，5故选：D6、解：依题意 M=x|x1 且 x0，N=y|y1，MN，所以只有 B 选项正确 故选：B7、解：依题意 M=- ， ，N=-3 ，13阴影部分为（N UM） （M UN）=-3，- ）（1， 故选：C338、解：在ABC 中，0 A，sinA ，A ，逆否命题为真；24若 x2 或 x1，则（x-1）（x-2）0 为7假命题；若 x，y 不全为 0，则 x2+y20 为真命题；若 b=c，则 ab=ac 为真命题 故选：A9、解：由题意，结合函数性质可得 x1，f（x ）0，x 1，f （x）0，x0 或 x2 时 g（x）0，0x2 时 g（x）0，故 0 的解集为x|
12、x0 或 1x2故选：A ()fg10、解：函数是奇函数，但是在整个定义域上不是增函数，f（x）=x|x|= 是奇函数，又是增函数，2()0xf（x）= 满足 f（- x）=-f（x ），并且在定义域上为增函数正确1,2()x故选：C11、解：如图集合 A 表示的区域为阴影部分，直线 ax-2y-2=0 恒过定点（0，-1 ），当该直线过点（1，0）时，a 取最大值 2，当与直线 x+y-1=0 平行时，a 取最小值-2 故选：B12、解：当 x0 时，f（x）=x+ 2 =1，14x（当且仅当 x= ，即 x= 时，等号成立）；14当 x0 时，f（x）=-（x+2） 2+33；图象如右图所
13、示，要使方程 f（x）-a=0 有四个实根，a 需满足 1 a3 故选 D13、解：由题知p，q 中至少一个为真命题；p 为真命题，p 为假命题；q 为真命题；故 q 一定是假命题 故答案为：假14、解：根据定义集合 PQ=（a 1，b 1），8（a 1，b 2），（ a2，b 1），（ a2，b 2），（a 3，b 1），（ a3，b 2），有 6 个元素故答案为：615、解：非 p：x10 或 x-2，A=x|x 10 或 x -2，q：x 2-2x+1-a20，x1+a 或 x1-a，记 B=x|x1+a 或 x1-a，若非 p 是 q 的充分不必要条件，即 AB， 即 0a3120a故
14、答案为：（0，316、解：依题意，l 2l， 0l1，mm 2，m1 或 m0，又ml，m=1 或 m0，所以正确，错误；当 m=- 时，1lm 2=（- ） 2= ，正确；13139当 l= 时，m 2l= ， m0，正确44故答案为：17、解：（1）若 a=1，则 A=x|（x-1）（x-5）0=x|1x5，函数 y=lg =lg ，由 0，解得 2x3，即 B=（2，3），2()xa3x2则 RB=x|x2 或 x3，则 ARB=x|1x2 或 3x5，（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0 的根为 x=1 或 x=2a+3，若 a-1，则 2a+31，即 A=x|（x-1）（x-2a
15、-3）0=x|1 x2a+3由 g 0 得（x-2a）x- （a 2+2）0，2()x9a 2+2-2a=（a-1） 2+10 ，a 2+22a（x-2a）x- （a 2+2） 0 的解为 2axa 2+2，即 B=x|2axa 2+2若 xA”是“xB”的必要不充分条件则 BA，即 且等号不能同时取，213a 即 ，则 ，21a 0122a 即 a 1+ 18、解：p 或 q 为真命题，说明 p 和 q 中至少一个为真命题；p 且 q 为假命题，说明 p 和 q中至少一个为假命题；p 和 q 中有一个为假命题，另一个为真命题；复数 ；12aiai若 p 为真命题，q 为假命题，则：（1）p
16、为真命题时：（4a-3） 2-10，解得 a 1， 或 a ；2（2）q 为假命题时： 0， 或 0，解得 a-1，或 a1；1aa 的范围是：（ -，-1（1，+ ）若 p 为假命题，q 为真命题，则：（1）p 为假命题时：（4a-3） 2-10，解得 a 1；2（2）q 为真命题时： ，解得-1a1；02a 的范围是： ， 1)综上得 a 的范围是： a|a1， 或 a 且 a1219、解：lg（x 2-5x+14）=1，由此得 x2-5x+14=10，10B=1，4由 x2+2x-3=0，C=1，-3 ，又 AB=，1 和 4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-13=0 的解，而
17、 AC，-3 是关于 x 的方程 x2-ax+a2-13=0 的解，可得 a=1 或 a=-4当 a=1 时，得 A=-3，4，AB=4，这与 AB=不符合，故 a=1（舍去）；当 a=-4 时，可以求得 A=-3，-1，符合 AB=和 AC同时成立，a=-420、解析：是否存在非零整数 a 使 AB，取决于方程 a（x 2-x+1）=-2x 2+x+1 是否有正整数解，即关于（a+2）x 2-（a+1 ）x+a-1=0 至少有一个正整数根 .3 分由= （ a+1） 2-4（a+2）（a-1）0，解得 a 173173因为 a 为非零整数，所以 a 的可能取值为-2，-1， 1.7 分当 a=-2 时，解得 x=3 符合题意.8 分当 a=-1 时，解得 x= 2与 xN +不符，当 a=1 时，解得 x1=0，x 2= 这也与 xN +不符3综上可知，存在 a=-2，使 AB，此时 AB=（3，-14）.21、证明：连接 AB，B、 Q 关于 x 轴对称， ，又 =，依题意 与 同向， 与 同向，AAPCBAPQPCB = ， = P设 P（x 1，y 1），Q （x 2，y 2），C（x 0，0），则 B（x 2，-y 2），
