1、 中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 二次函数一、基础知识1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （ ；2axy)0 ；(k ( 顶点式)；2hxy ；（ka0a .它们的图像都是对称轴平行于（或重合） 轴的抛物线.cbxy2 y4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0x（0,0）k（ 轴）y(0, )
2、k2hxyhx( ,0)hka ( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，1.抛物线 中的系数cxay2 cba,（1） 决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、a开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0a时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.0a（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置：当 时，对称轴为 轴；当 、 同号时，对称轴b byb在 轴左侧；当 、 异号时，对称轴在 轴右侧.yay（3） 决定抛物线与 轴交点位置：当 时，抛物线经过原点； 当 时,相交于 轴的正
3、cyc 0cy半轴；当 时,则相交于 轴的负半轴.2.求抛物线的顶点、对称轴的方法中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 （1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线abcxacbaxy4222 ），（ abc422.bx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线 的解析式化为 的形式，得cbxay2 khxay2到顶点为( , )，对称轴是直线 .其中 .hkhxak42，（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.3用待定系数
4、法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. kh（3）两点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay4.抛物线与 轴的交点x设二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbay2 1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来02cba x判定：（1） 抛物线与 轴有两个交点；24a（2） 抛物线与 轴有一个交点（顶点在 轴上） ；0bcxx（3） 抛物线与 轴没有交点.25.二次函数
5、的应用一、 的性质cbxay21已知二次函数 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 。72ky解：2二次函数 的图象如图，则直线 的图象不经过第 象限。cbxay2 bcaxy理由：中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 3.二次函数 的图象如图，试判断 a、b、c 和 的符号。cbxay2 解：4.二次函数 的图象如图，下列结论（1）c0；（2）b0；（3）xay24a+2b+c0；（4） （a+c） 20，其中正确的是：（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个理由：5 二次函数 的图象如图，
6、那么 abc、2a+b、a+b+c、a-b+c 这四个代数式中，cbxay2值为正数的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个理由：6 已知直线 的图象经过第一、二、三象限，那么 的图象为（ ）baxy 12bxayA B C D7已知函数 ，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )421xyAx1 Bx 1 Cx 2 D2x48二次函数 ya( xk )2k，当 k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )Ayx Bx 轴 Cy x Dy 轴9已知二次函数 yax 2bxc 的图象如右图所示，则( )Aa0，c0，b 24ac0 Ba0，c 0，b 24ac0C
7、a0，c 0，b 24ac0 Da0，c 0，b 24ac010已知二次函数 yax 2bxc 的图象如下图所示，则( )中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 Ab0，c0， 0 Bb0，c0，0Cb0，c 0， 0 Db0，c0，011二次函数 ymx 22mx (3 m )的图象如下图所示，那么 m 的取值范围是( )Am0 Bm3Cm0 D0m 312在同一坐标系内，函数 ykx 2 和 ykx2(k0)的图象大致如图( )13函数 (ab0) 的图象在下列四个示意图中，可能正确的是 ( )x
8、abyxy21,14图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )Ahm Bk nCk n Dh0，k015已知二次函数 yax 2bxc(a0) 的图象如图所示，有下列结论：abc0；abc 2； ；b1其中正确的结论是( )中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 A BC D16下列命题中，正确的是( )若 abc0，则 b24ac0；若 b2a3c，则一元二次方程 ax2bx c0 有两个不相等的实数根；若 b24ac0，则二次函数 yax 2bxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2
9、或 3；若 bac，则一元二次方程 ax2bx c0，有两个不相等的实数根A B C D二、 的最值xy21 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x（单位：分）之间大体满足函数关系式：（0x30） 。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：436.02（1） 若提出概念用 10 分钟，学生的接受能力是多少？（2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？2 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，抛
10、物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系是。请回答下列问题：45xy（1） 柱子 OA 的高度是多少米？（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？3 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 的一部分，根21xy据关系式回答：中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 （1） 该同学的出手最大高度是多少？（2） 铅球在运行过程中离地面的最大
11、高度是多少？（3） 该同学的成绩是多少？4 如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上，若 AE=x，正方形 EFGH 的面积为 y。（1） 求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2） 正方形 EFGH 有没有最大面积？若有，试确定 E 点位置；若没有，说明理由。三、函数解析式的求法（1）1 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2） 若菜农身高为 1.60 米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到 0.01 米）2 根据下列条件求抛物线的解析式：（1） 图象过点（-1，-6） 、 （1
12、，-2）和（2，3） ；（2） 图象的顶点坐标为（-1，-1） ，且与 y 轴交点的纵坐标为-3；（3） 图象过点（1，-5） ，对称轴是直线 x=1，且图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4。3 在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为 6 米时，球到达最高点，此时球高 3 米，已知球门高为 2.44 米，问能否射中球门？中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2
13、。（1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积。5 如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。6 已知抛物线经过 A（-3，0） 、B（0，3） 、C（2，0）三点。（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 如果点 D（1，m）在这条抛物线上，求 m 值和点 D 关于这条抛物线对称轴的对称点 E 的坐标，并求出tanADE 的值。四、函数解析式的求法（2）1 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的 30 天内，大蒜每 10 千克的批发价 y（元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的
14、行情可知如下信息：x（天） 5 15 25y（元） 15 10 15（1） 求 y 与 x 的函数关系式；（2） 大蒜每 10 千克的批发价为 10.8 元时，问此时是在上市的多少天？2 如图，某建筑物从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 离地面 m，求水流落点 B 离墙的距离 OB 的长。3403 一男生推铅球，成绩为 10 米，已知该男生的出手高度为 米，且当铅球运行的水平距离为 4 米时达到最大高
15、35度，试求铅球运行的抛物线的解析式。4 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 3 米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为 6 米，试求厂门的高度。5 抛物线经过 A、B、C 三点，顶点为 D，且与 x 轴的另一个交点为 E。（1） 求该抛物线的解析式；（2） 求四边形 ABDE 的面积；（3） 求证：AOBBDE 。6已知二次函数 yax 2bxc(a0) 的图象经过一次函数 的图象与 x 轴、y 轴的交点，并也经过32xy(1，1)点求这个二次函数解析式，并求 x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?7已知抛物线 yx 2bx c 与 x 轴的
16、两个交点分别为 A(m，0) ，B(n，0)，且 ，4nm31中小学 1 对 1 课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145 山东路校区电话：39639143 大纺校区电话 39638142 (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与 y 轴的交点为 C，过 C 作一条平行 x 轴的直线交抛物线于另一点 P，求ACP 的面积8已知抛物线 yax 2bx c 经过点 A(1，0) ，且经过直线 yx3 与 x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点 M 在第四象限内的抛物线上，且 OMBC，垂足为 D，求点 M 的坐标9某商业公司为
17、指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价 M(元) 与时间 t(月)的关系可用一条线段上的点来表示 (如图甲)，一件商品的成本 Q(元) 与时间 t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中 6 月份成本最高( 如图乙)根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在 3 月份出售时的利润是多少元?(利润售价成本)(2)求出图(乙) 中表示的一件商品的成本 Q(元)与时间 t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润 W(元)与时间 t(月) 之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品 30000 件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?
