1、 圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出 的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中 ；双曲线中 .ca、 21abce21abce所以只要求出 值即可求离心率.ab例 1.（2010 年全国卷 2）己知斜率为 1 的直线 与双曲线 ： 210xyabb ， 相交于lC两点，且 的中点为 ，求曲线 的离心率 .DB、 B)3,(M解析：如图，设 ，则),(),(21yxD、121byax2-整理得 0)()(211211 b
2、yyaxx又因为 为 的中点，则 ，且 ，代入得)3,(MBD6,211 21x，解得 ，所以 .1321abxykBD 32ab2312abe方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与 的关系，解得 的值，从而整体代入求出2离心率 .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得 ，e ),(21bax或者 ， 从而解出 的值，最后求得离心率.2),(ba),(21bay6),(2ab【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，x 032yx则双曲线的离心率为（ ）.31.A213.B315.C21.D2.（衡水中学模拟）已知中心在原
3、点，焦点在 轴上的一椭圆与圆 交于x 2)()(ryx两点， 恰是该圆的直径，且直线 的斜率 ，求椭圆的离心率.B、 AB21k3.（母题）已知双曲线 ，双曲线上一动点 到两条渐近线的距离乘积为)0(1:2myxCP，求曲线 的离心率.21【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在 上，则渐近线方程 ，又题设条件中的渐近线方程为x0aybx，比较可得 ，则 .032yx32ab319412e2.答案：设椭圆方程为 ， ，则)0(2byx ),(),(21yxBA 121byax 2yax-整理得 0)()(21121byaxx因为 恰是该圆的直径，故 的中点为圆心 ，且ABAB,(21x则 ，代
4、入式整理得2,4121yx 221abxyk直线 的斜率 ，所以 ，解得ABk2abk42所以离心率 .234112bace3.答案：曲线 的渐近线方程分别为 和 ，设 ，则C0:1ymxl 0:2yxl ),(0yxP点 到直线 的距离 ，),(0yxP1ld001点 到直线 的距离 ，),(02lmyx002myxyxd 11200021因为 在曲线 上，所以 ，故 ，解得),(0PCx20 2121md1所以 .2e策略二：构造 的关系式求离心率ca,根据题设条件，借助 之间的关系，沟通 的关系（特别是齐次式） ，进而得到cb, ca、关于 的一元方程，从而解方程得出离心率 .e e例
5、2.已知 是双曲线 的两焦点，以线段 为边作正三角形21,F)0,(12bayx 21F，若边 的中点 在双曲线上，求双曲线的离心率 .21M1P解析：如图 1， 的中点为 ，则点 的横坐标为 .2c由 ，cFP21焦半径公式 aexp有 ，ac)2(即 02c有 e解得 ，或 （舍去）.3131e方法点拨：此题根据条件构造关于 的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义 整理成ca, ace关于 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的e结果： .),1(),0(双 曲 线椭 圆 e【同类题型强化训练】1.（2011 新课标）已知直线 过双曲线 的一个焦点，且与
6、 的对称轴垂直， 与 交于 、lCClCA两点， 为 的实轴长的 2 倍，则 的离心率为（ ）B|AC2 3.2.B3.D2.（2008 浙江）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的12byax离心率是（ ）3 5 .A.B.C3.D5【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意 ，解得 .acAB222e2.答案：依据题意 ，整理得 ，所以 .:3)(:)(2ca3ac3ace策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适e用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即 .dMF例 3.（2010 年
7、辽宁卷）设椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线与椭圆2:1(0)xyCabF相交于 两点，直线 的倾斜角为 , ,求椭圆 的离心率.CBA,l602AFBC解法一：作椭圆的左准线 ,过 作 的垂线，垂足为 ；过 作 的垂线，垂足为BAAB.过 作 的垂线，垂足为 .如图 2.M由图，由椭圆的第二定义，则，eAFeAFeBeBF12:B且 ,所以 是 的中点MA又因为直线 的倾斜角为 ，即 ，l6060AFxBM所以在 中， ,故 .BRt232Be解法二：设 ，由题意知 ， .12(,)(,)Axy10y2直线 的方程为 ，其中 .l3()yxc2ab联立 得2(),1yxcab2224()30a
8、byc解得22123()(),3cayb因为 ，所以 .AFB12y即 223()()3bcacab得离心率 .e方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】1.（2010 全国卷二）已知椭圆2:1(0)xyCab 的离心率为 32，过右焦点 F且斜率为(0)k的直线与 相交于 AB、 两点若 3FB，则 （ ）k1 2 2.A.D2.已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线
9、交 于点 ，且FCFCD，则 的离心率为 .DB2【强化训练答案】1. 答案：设直线 为椭圆的右准线， 为离心率，过 分别作 , 垂直于 ，leBA、 Bl为垂足，过 作 垂直于 与 ，如图 3 所示，A、 BEAM由椭圆第二定义，则, ，由 ,得eAFeB FBA3eFA3所以 ，214coseE，所以 .故选 .cs1tan2BA2kB2.答案：方法一：如图 4， ,2|Fbca作 轴于点 ,则由 ，得 ,所以 ,1DyD|23OFB 3|2DOFc即 ,由椭圆的第二定义得32Dcx223|()acFDea又由 ,得 ,整理得 .|BF23ca20两边都除以 ,得 ,解得 .2a0e1()
10、e舍 去 ， 或 23e方法二：设椭圆方程为：第一标准形式， 分线段 所成的比为 2，FBD，带入2 203 0;12cc ccybxbybx ， .294bae课时 2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆 中， ；在双曲线中210xyaba（ ） ax中， 或 .210,xyabab（ ） 例 1.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 ，20xy（ ） F12、 P使 ，求离心率 的取值范围.1290FPe解析：设 ，又知 ，则),(yx12
11、0(0)FcFc(， )， ，,1cPF,2yxP因为 ，则 ，即1290F210)(221 ycxP所以 cyx联立方程 ，消 ，解得221cyxbay22acbx又因为 ，故 ， 1290FP2220ab 即解不等式，结合椭圆的离心率范围为 ，可得 .)1,(e12e， ）方法点拨：由题知 ，根据限制条件用 表示 ，即 ，然后代入不axcba,x),(cba等式 ，结合 整理得关于 的齐次不等式，从而求出离心率的取cba),(22cb值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.【同类题型强化训练】1.（2007 湖南）设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点
12、，若在其右准线12F，21xyab0a上存在点 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）,P1F2F.A20， .B30， .C1， .D31，2.(2008 福建)双曲线 的两个焦点为 ,若 为其上一点，且21xyab)0,(b21F、 P,则双曲线离心率的取值范围为（ ）21PF(1,3) (3,+ ) .A.B1,3.C.D3,3.（2010 四川）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 A，在椭圆2()xyabFx上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心 率的取值范围是( )5*u.c o*m.A20,.B10,2.C21, .D1,2【强化训练答案
13、】1. 答案：如图, ,caAF2因为线段 的中垂线过点 ，则1P2F212AF,即 ，解得cF212ca),3e又椭圆的离心率 ，综上 .)1,0(e1，2.答案： 分别为左右焦点，设 在双曲线的右支上，则21F、 ),(0yxP，aexPaex001,由 ，则 解得21PF)(200aexeax30因为 在双曲线的右支上，则 ，即 ，解得 .),(0yx31e3.答案：由题意，椭圆上存在点 ，使得线段 的垂直平分线过点 ，PAPF即 点到 点与 点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*mFPA而 w_w_w.k* 22abc,caF于是 即2, w*又 ，故 .22cac12ca或 )1,0(e)1,2e策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用例 1.已知 为椭圆 的焦点， 为椭圆上一点， 则椭21F、 )0(12byaxM,6021MF圆的离心率的范围为 .解析：如图, 为椭圆上一点，设 ，则M),(0yx0201,exaMFexa在 中，由余弦定理，则2 2160cos21F aMF21联立解得 因为在椭圆中 ，则,34220eacx20ax
