1、奥数之表面积与体积（一）专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最
2、大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。例题 1：从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：按图 27-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。上27-1按图 27-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。上27-2按图 27-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。上27-3练习 1：1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一
3、个棱长 2 厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？例题 2：把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 27-4 所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。上274要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5 所示） 。上275上上上上上上
4、上上上上上上上上上而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）2 来计算。（339+338+3 310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。练习 2：1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。上2762、一堆积木（如图 27-7 所示） ，是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？3、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相等的小正方体。每个小正方体的
5、表面积是多少平方厘米？例题 3：把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个 97 的面。（99+9 4+74）2 2972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。练习 3：1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？2、将一个表
6、面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？3上上1上上2上上例题 4：一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积=长宽高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽高=4 02=20（平方厘米） ；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可知长高=903
7、=30（平方厘米） ；由高增加 4 厘米，体积增加 96 立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米） 。而长方体的表面积=（长宽 +长高+ 宽高）2=（ 20+30+24）2=148 （平方厘米） 。即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）答：原 长方体的表面积是 148 平方厘米。练习 4：1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加 5 厘米，则体积增加 65 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，
8、从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？上上上例题 5：如图 27-10 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
9、3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。练习 5：1、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图 27-11 所示）的上、下两个面上，各有一个直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位：厘米） ，需用铁皮多少平方厘米？3、如图 27-13 所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞口
10、是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（取 3.14） 。答案：练 11、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面 3 个 11 的正方形，新增加了左右下面三个 11 的正方形，所以表面积大小不变。2、 44622292 平方厘米3、 中心挖去的洞的体积是：1 2331 327 立方厘米，挖洞后木块的体积：33720 立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是 1241 23 平方厘米，挖洞后木块的表面积：（3 2+3）672 平方厘米。练 21、 从三个不同的方向看，得到图答 271：从上往下看 从前往后看 从左往右看（1112+118+1
11、17）254 平方厘米2、 （229+229+227）2200 平方厘米3、 因为 64444，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4 被，那么大正方体的表面积是小正方体的 4416 倍，小正方体的表面积是：3841624 平方厘米练 31、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30615 平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1 个 30615 平方厘米，所以大长方体的表面积是 30+30+635 平方厘米。2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答272 两种：表面积都是（33+342）266 平方厘米。3、设大长方体的
12、宽和高为 x 分米，长为 2x 分米，左面和右面的面积就是 x2 平方分米。其余的面积为 2x2 平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x 2+82x2600 x5大长方体的体积是：5525250 立方分米练 41、 （482+655+96 4）2122 平方厘米2、 减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用 120（2+3）24 厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是 2446 厘米。圆长方体的体积是：66（6+3+2）396 立方厘米3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长（宽+高） ，2091119，所
13、以长11，宽+高19，或长19，宽+高11，根据题意，宽和高只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11172374练 51、 4026+3.1441029651.2 平方厘米2、 用两个同样的工件可拼成图答 273 的圆柱体。3.1415（46+54）22355 平方厘米3、 立方体的表面积和是：610 24 2423.14（ ） 2510.88 平方厘米42打洞后增加的面积是：3.144（104）+4（104）42+4 223.14（ ） 22274.24 平方42厘米表面积是：510.88+274.24785.12 平方厘米体积是：10 34 2102+433.14（ ） 2（104）668.64 平方厘米42
