1、平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线段表示相同（等）的向量。向量是用有向线段来表示的，可以认
2、为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母： AB；7.向量的模：向量 的大小（长度）称为向量的模，记作| AB|.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为 1 的向量称为单位向量。9.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行.即： 0 。说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义； （2）向量 、 、 平行，记作 . 10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.A(起点 )B（终点）a说明：（1）向量 与 相等，记作 ；（2）零向量与零向量相
3、等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例 1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（
4、1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量 （4）零向量（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例 2.下列命题正确的是（ ）A. 与 共线， 与 共线，则 与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶
5、点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选 C.B AOCD EF例 3.如右图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 相等的向量。CBA,解：按照向量相等的定义可知： DCBAEO ABEDFO向量的加法运算及其几何意义向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾” ）3.三角形法则
6、的来由如图，已知向量 a、.在平面内任取一点 A，作 Ba， C，则向量 A叫做 a 与的和，记作a，即 a CBA，规定：a + 0-= 0 + a4.向量加法的 字母公式：ABC5.平行四边形法则图 1如图 1,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角线 就是 aC与 b 的和 .我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。ABCa+ba+baabba ba+ba（2）三角形法则要
7、求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.一般结论当 a,b 不共线时,|a+b|b|且 a 与 b 同向，则 ab D.对于任意向量 a、 b,必有| a+b| a|+|b| 平面向量的加法运算1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出ba2、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若 a， b 满足| a|b|且 a 与 b 同向，则 ab D.对于任意向量 a、 b,必有| a+b| a|+|b| 3、已知正
8、方形的边长为 1， =a， =b， =c,则| a+b+c|等于( ) ABCAA.0 B.3 C. D.2224、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和 ，那么下列命题中错误的一个是abA、 与 为平行向量 B、 与 为模相等的向量 abC、 与 为共线向量 D、 与 为相等的向量5、在四边形 中，若 ，则四边形 的形状一定是 ( )ACDABC(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形6、已知正方形 的边长为 1， ， ， ， 则 等于 ( )BBabcabc(A) 0 (B) 3 (C) (D)227、如果 ， 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）ab(A) (B) (C) (D) 1=2ababbaba
