1、- 1 -高中数学必修 4 知识点总结第一章：三角函数1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角 终边相同的角的集合： .Zk,21.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、 .rl3、弧长公式： .Rnl1804、扇形面积公式： .lS21361.2.1、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么：yxP, xyytan,cos,sin2、 设点 为角 终边上任意一点，那么：（设 ）,Axy 2r， ， ，sinrcosxrtanyxcotxy3、 ， ， 在四个象限的符号和三角函数线的画法 .t正弦线：
2、MP; 余弦线：OM; 正切线：AT4、 特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值 .0 64323432sincota1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系： .1cossin222、 商数关系： .itaTMAOPxy- 2 -3、 倒数关系： tancot11.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限” ）Zk1、 诱导公式一： （其中： ）.tan2tan,coscosiik2、 诱导公式二： .tata,cscsii3、诱导公式三： .tanta,cossii4、诱导公式四： .tata,cscsii5、诱导公式五： .sin2co
3、s,oin6、诱导公式六： .sin2cos,coin1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx- 3 -在 上的五个关键点为： sinyx0,23010-1202（ ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） .1.4.3、正切函数的图
4、象与性质1、记住正切函数的图象： y=tanx 322-32 -2 oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义 ： 对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有xf x，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 .xfTf2图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 xysinxycosxytan图象定义域 RR,2|Zkx值域 -1,1 -1,1 R最值maxin2,1,xkZy时 ，时 ， maxin2,1kZy时 ， 时 ，无周期性 TTT奇偶性 奇 偶 奇单调性 Zk在 上
5、单调递增2,2k在 上单调递减3在 上单调递增2,k在 上单调递减在 上单调递增(,)2k对称性 Zk对称轴方程： 2xk对称中心 (,0)对称轴方程： xk对称中心 (,0)2无对称轴对称中心 ,0)(2k1.5、函数 的图象xAysin1、对于函数：有：振幅 A，周期 ，初相 ，相位 ，频率si0,yB2Tx.21Tf2、能够讲出函数 的图象与xysin的图象之间的平移伸缩变换关系.siyA 先平移后伸缩：平移 个单位 inx| sinyx（左加右减）横坐标不变 iA3纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变 sinyx横坐标变为原来的 倍1|平移 个单位 |BsiyAxB（上加下减） 先伸缩后
6、平移：横坐标不变 sinyxsinyx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变 i横坐标变为原来的 倍1|平移 个单位 sinyAx（左加右减）平移 个单位 |BiB（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 ，xR 及函数 ，xR(A, , 为常数，且 A0)的周期 ；sin()yxcos()yx2|T函数 ， (A, 为常数，且 A0)的周期 .ta,2kZ|T对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.si()yAxcs)yAx求函数 图像的对称轴与对称中心，只需令 与n ()2xkZ()xkZ解出 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用
7、图像特征： ， .maxin2yAmaxin2yB要根据周期来求, 要用图像的关键点来求.1.6、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：sincostan1242642643.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 sincosinsi 2、 3、 sicscos4、 no5、 .tan1tan6、 .t3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、 ，cosin2si变形： .12i2、 2cos.in变形如下：升幂公式：21cossi降幂公式：2()1sincos23、 .ta2ta4、 sin1cos2t
8、ci3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cossin2xbaxbay（其中辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).()tab第二章：平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.52.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量 的大小，也就是向量 的长度（或称模） ，记作 ；长度为零的向量叫做零向量；长度ABABAB等于 1 个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规
9、定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、 .ba2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与 长度相等方向相反的向量叫做 的相反向量.a2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作： ，它的长度和方向规a a定如下： ,a当 时, 的方向与 的方向相同；当 时, 的方向与 的方向相反.0a0a2、 平面向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实
10、数 ，使 .0bab2.3.1、平面向量基本定理61、 平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 ，21,e a有且只有一对实数 ，使 .,21ea2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .yxjia,2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设 ，则：21,b ，1yxa ，221, ，yx .121/ba2、 设 ，则：,yxBA.1212,2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设 ，则321, yxCyx线段 AB 中点坐标为 ，21,ABC 的重心坐标为 .32121yx2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .cosba2、 在 方向
11、上的投影为： .cosa3、 .24、 .a5、 .0b2.4.2、 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 、 模 、 夹 角1、 设 ，则：21,yxya 2b7 21yxa 1200bxy /2、 设 ，则：21,yxBA.2123、 两向量的夹角公式122cosxyab4、点的平移公式平移前的点为 （原坐标） ，平移后的对应点为 （新坐标） ，平移向量为 ，(,)Pxy(,)Pxy (,)Phk则 .xhyk函数 的图像按向量 平移后的图像的解析式为()f(,)ahk ().ykfxh2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的
12、许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量： 若 A、B 是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是lABlAB直线 的方向向量.l平面的法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量nn叫做平面 的法向量. 平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面 的法向量为 (,)nxyz求出平面内两个不共线向量的坐标 123123(,),(,)ab8根据法向量定义建立方程组 .0nab解方程组，取其中一组解，即得平面
13、的法向量. （如图）2、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .12,lab、 1l2ab()kR即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线.线面平行（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ，即lulau.0au即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 .uvuvv即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .12,lab、 12lab0即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直.线面垂直（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ，即lulau.au（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若la mn、 0,.la则即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.面面垂直
