1、高中数学必修 2 知识点总结第一章 空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱EDCBA AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三
2、棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 EBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 DC几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直
3、角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物
4、体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。(2)画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（3）直观图：斜二测画法（4）斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， 为斜高，l 为母线）
5、hcS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(212正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 lr圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 22()()rR圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24R第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 表示，如平面 （通常
6、写在一个锐角内） ；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点 A 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作AA点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作：Al； 点 A 在直线 l 外，记作 A l；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内，记作 l ；直线 l 不在平面 内，记作 l 。（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： ,AlBlD CBA（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：
7、一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面 和 相交，交线是 a，记作 a。符号语言： ,PABlP公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，
8、没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂
9、直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。共面直线=ac 2符号表示：
10、A b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a B ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b
11、作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L P直线与直线的位置关系2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概
12、念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线
13、 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围： 0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2
14、-x1 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系2212 1Pxy3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们 互相垂直，即 )(00xky3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线
15、经过点 ，且斜率为 l),(0yxk2、 、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 lk),(bbxy3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点 其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-,),(221xP),(2121yx22、直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中l)0,(a),0(b0,ba3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0）yx, Cyx2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3
16、x+4 y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=23420xy所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点 到直线 的距离为：),(0yxP0:CByAxl 20BACyxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01CByAx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 2d第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程： 22()()xaybr圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点 与圆 的关系的判断
17、方法：0(,)My22()()（1） ，点在圆外 （2） = ，点在圆上20xabr2200()()xaybr（3） ，点在圆内20()()y4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程： 02FEyDx2、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线 ： ，圆
18、 ： ，圆的半径为 ，圆心 到直l0cbyaxC02FEyDxyx r)2,(ED线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：d（1）当 时，直线 与圆 相离；（2）当 时，直线 与圆 相切；rl rdlC（3）当 时，直线 与圆 相交；C4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：l（1）当 时，圆 与圆 相离；（2）当 时，圆 与圆 外切；21rl1C21rl1C2（3）当 时，圆 与圆 相交；| 2rl12C（4）当 时，圆 与圆 内切；（5）当 时，圆 与圆 内含；|21rl |21rl124.2.3 直线与圆的方
19、程的应用直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离为0:CByAxl 22:rbyaxbaC,，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与rd（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次:yxl 22:ryx方程之后，令其中的判别式为 ，则有； ；相 离与 C0相 切与 Cl0相 交与 Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示200,yx切点坐标，r 表示半径。1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适
20、当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 (课本命题) 20ryx圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4.3.1 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ， 、 、 分别是),(zyxzP、Q、R 在 、 、 轴上的坐标xyz2、有序实数组 ，对应着空间直角坐标系中的一点),(3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，),(zyx该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M ，O yxMMRP QO yzxMP1 P2NM1N2N1M2 H叫做点 M 的横坐标， 叫做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖坐标。xyz4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点 到点 之间的距离公式),(11zxP),(22yxP2212)(yxP
