1、- 1 -三角函数知识点正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，x则称 为第几象限角第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为36,kk4、已知 是第几象限角，确定
2、所在象限的方法：先把各象限均分 等*nn份，再从 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来x 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度16、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值r l是 l7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 2360181057.38、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，为 弧 度 制 rlCS则 ， ， lr2Crl21Slr9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点,xy- 2 -PvxyAOMT 的距离是 ，则 ， ， 20rxy
3、sinyrcosxrtan0yx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线： ， ， sincostA12、同角三角函数的基本关系： 221incs1；22sin1cos,sitaniita,tan 13、三角函数的诱导公式：， ， 1sin2sikcos2cosktan2tankk， ， n， ， 3sisicsstata， ， 4noconn口诀：函数名称不变，符号看象限， 5sics2si2， 6inoin口诀：奇变偶不变，符号看象限14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数siyx 的图象；再将
4、函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩insinyx短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；再将函数1sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不siyx A变） ，得到函数 的图象sinyxA函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，sinx 1得到函数的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位siysinyx- 3 -长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点sinyxsinyx的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数A的图象sinyxA函数 的性质：0,振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；
5、初相：212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得sinyxA1xminy2最大值为 ，则 ， ， mamain2yaxi221xx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosytany图象定义域RR,2xk值域 1,1,R最值当时，2xk；当ma1y2xk时， min1y当 时， 2xk；当may时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性2奇偶性奇函数 偶函数 奇函数函 数性质- 4 -单调性在 2,2k上是增函数；在 32,2k上是减函数在 上,2kk是增函数；在 ,上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴
6、 x对称中心 ,02k无对称轴半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(
7、A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 辅助角公式，其中 2sincossinAAtanA降幂公式（sin2）x=1-cos2x/2 （cos2）x=i=cos2x/2万能公式 令 tan(a/2)=t sina=2
8、t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) tana=2t/(1-t2)公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sin cos（2k）costan（2k）tan cot（2k）cot公式二：设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos- 5 -tan（）tan cot（）cot公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）costan（）tan cot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）costan（）t
9、an cot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin（2）sin cos（2）costan（2）tan cot（2）cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tansin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tan(以上 kZ) 注意：在做题时，将 a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan cot1sin csc1cos sec1商的
10、关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec两角和差公式 两角和与差的三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
11、二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）tan2A=2tanA/(1-tan2A) sin2a=2sinacosa cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式- 6 -半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2(/2)(1cos)2cos2(/2)(1cos)2tan2(/2)(1cos)(1cos)另也有 tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos)万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)万能公式推导附推
12、导：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因为 cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin22tan/(1tan2()然后用 /2 代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。和差化积公式三角函数的和差化积公式sinsin2sin()/2cos()/2sinsin2cos()/2sin()/2coscos2cos()/2cos()/2 coscos2sin()/2sin()/2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin cos0.5sin()sin()cos sin0.5sin()sin()
13、cos cos0.5cos()cos()sin sin0.5cos()cos()和差化积公式推导附推导：首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
14、所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2- 7 -sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以
15、得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 0 度 sina=0,cosa=1,tana=030 度 sina=1/2,cosa=3/2,tana=3/345 度 sina=2/
16、2,cosa=2/2,tana=160 度 sina=3/2,cosa=1/2,tana=390 度 sina=1,cosa=0,tana 不存在120 度 sina=3/2,cosa=-1/2,tana=-3150 度 sina=1/2,cosa=-3/2,tana=-3/3180 度 sina=0,cosa=-1,tana=0270 度 sina=-1,cosa=0,tana 不存在360 度 sina=0,cosa=1,tana=0 1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外接CAabcACRCA圆的半径，则有 2sinisinR2、正弦定理的变形公式： ， ， ；sin2sinc ， ， ；siaRi2bic ；:n:sbcCA siiinsiina3、三角形面积公式： 11ssin22CSbcabCcA4、余弦定理：在 中，有 ， ，2oA2cosa22coscab5、 余弦定理的推论： ， ， 22bcaA22oscba22osbcCa6、设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：若 ，则 ；abcC22c90若 ，则 ；若 ，则 229022abc90
