1、1毕业论文开题报告数学与应用数学非初等原函数的几种类型一、选题的背景与意义学好微积分学是大学理工科学生学好专业课的一个前提条件，我们知道，不定积分DXXF初等性是指XF的原函数是初等函数；而不定积分DXXF的非初等性是指XF的原函数不是初等函数。学过数学分析和高等数学的人都知道，初等函数在其定义域内是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数。在实际求积分的过程中，能够通过不定积分的方法求得原函数的函数，它的原函数一定是初等函数，在很多时候让人伤脑筋的是，看起来很简单的不定积分试用各种不定积分的方法都不能求出其结果，很
2、令人费解。事实上，并不是每一个初等函数在其定义域内的原函数都是初等函数，而这些函数的原函数是不能用不定积分方法求得的，也就是说这些函数的不定积分“积不出来”。在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定积分是不能用初等函数来表达的，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不踏实，也容易使学生误以为不能用初等函数表示的不定积分很少，同时也可能会使学生在遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间。可见，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否是初等函数的法则是很有必要的。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容1、如何判断一个函
3、数的原函数不是初等函数；2、如何求原函数不是初等函数的原函数；3、归纳、总结原函数非初等性的几种类型。拟解决的主要问题1提出一些“积不出来”的积分类型；22对于非初等原函数的定积分利用不变限代换求解；3从理论上证明原函数的非初等性。三、研究的方法与技术路线首先通过查阅相关文献资料，熟悉本课题前人已经做的研究工作；同时进一步深入学习不变限代换的思想，其次在前人研究的基础上推导并证明一些“积不出来”的积分类型；最后着手进行本课题内容的写作。四、研究的总体安排与进度2010年11月中旬至2010年12月中旬，查阅相关的资料，完成开题报告。2010年12月中旬至2010年12月下旬，进一步完善开题报告
4、，文献综述,初期检查。2011年1月上旬至2011年3月中旬,继续设计，整理资料。2011年3月下旬至2011年4月上旬，完成非初等原函数类型的整理，设计证明，中期检查。2011年4月中旬，完成整体设计，答辩。五、主要参考文献1杨玉文“积不出来”函数的判定和积分J赤峰学院报，2006，22（3）3122王建华周丽萍某些不定积分的非初等性问题J呼伦贝尔学院报，2005，13（2）71733张建新不定积分的非初等性J沙洲职业工学院学报，2001，4（2）35384周民强数学分析（第一册）M上海科学技术出版社，20025张春苟不定积分中“积不出”问题J数学的实践与认识，2009，39（7）21222
5、436B吉米多维奇著，李荣冻译数学分析习题集M人民教育出版社，19587陈纪修，於崇华，金路数学分析M文小西第二版。北京高等教育出版社，20048王文非初等函数的判别法J大学数学，2008，24（3）1651689OLIVIERESPINOSA,VICTORHMOLLONSOMEINTEGRALSINVOLVINGTHEHURWITZZETAFUNCTIONPART2JTHERAMANUJANJOURNAL,6,449468,2002KLUWERACADEMICPUBLISHERSMANUFACTUREDINTHENETHERLANDS10MVLOMONOSOVMOSCOWSTATEUNIVE
6、RSITYTRANSLATEDFROMMATEMATICHESKIEZAMETKI,VOL9,NO3,PP311321,MARCH,1971ORIGINALARTICLESUBMITTEDDECEMBER16,19694毕业论文文献综述数学与应用数学非初等原函数的几种类型在高等数学中,初等函数是主要的研究对象。众所周知,初等函数在其定义区间上是连续的,而连续函数的概念在微积分、常微分方程、复变函数等教材中出现的频率最多，但是在不定积分中，一些看起来很简单的不定积分试用牛顿莱布尼兹公式却不能求出其结果，很令人费解。事实上，这就是关于不定积分非初等性的问题。我们知道，初等函数是由常数函数、幂函数、
7、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些基本初等函数进行有限次四则运算与复合运算所产生的函数。初等函数在其定义区间是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数。所谓不定积分的非初等性，实际上就是初等函数的原函数不是初等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个不定积分不能用初等函数表示的例子，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不踏实，也容易使学生误以为不能用初等函数表示的不定积分很少，同时也可能会使学生在遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间。可见，给出更多积
8、不出函数的例子和一些判断不定积分是否是初等函数的法则以及如何避开牛顿莱布尼兹公式计算非初等函数的不定积分是很有必要的。本文将在这些方面做一些探讨。研究不定积分非初等性问题的理论依据在文献18中给出，其基础是刘维尔（JLIOUVILLE）定理。文献1给出了原函数不是初等函数的判断定理设FX、XGT及XGT的反函数1TGX都是初等函数，则FXDX是非初等函数当且仅当FGTGTDT也是非初等函数。文献23给出了刘维尔（JLIOUVILLE）定理的特殊情况，即设FX是有理函数，5GX是多项式函数，若不定积分GXFXEDX是初等的，则它的形式为GXGXFXEDXRXEC，其中RX也是有理函数。以及定理的
9、等价叙述，即设FX是有理函数，GX是多项式函数，则不定积分GXFXEDX是初等的充要条件为存在互质多项式PX、QX，等式QXQXFXPXPXGXPXQX成立。并利用上述定理得到一结论，即设UX、VX都是实值函数，WXUXIVX，则不定积分WXDX是初等的充要条件为它的实部积分UXDX与虚部积分VXDX都是初等的。文献45给出了刘维尔（JLIOUVILLE）第三定理、第四定理、切彼晓夫定理以及推论。刘维尔第三定理设FX，GX为X的代数函数，且GX不为常数。若GXFXEDX是初等函数，则GXGXFXEDXRXEC，其中RX和C分别是有理数和常数。刘维尔第四定理设,1,2,KKFXGXKN为X的代数
10、函数，且IJGXGXIJ常数。若函数1NGXKKWXFXE的不定积分是初等函数，则KGXKFXEDX1,2,KN也是初等函数。刘维尔第四定理的推论设,1,2,KKFXGXKN为X的代数函数，且IJGXGXIJ常数。若1NGXKKWXFXE中有一项是积不出函数，则WX也是积不出函数。切彼晓夫定理不定积分QPRXABXDX（其中,0,ABPQR是有理数）是初等函数的充要条件是11,PPQQRR三个数中至少有一个是整数。通过这些定理，文献中已经得到20BXEDXB，0BXEDXBX，1LNDXX的非初等性，以及1XNEPDXX，2XNEPXDX，1LNNPXDXX，2SINNPXXDX，62COSN
11、PXXDX，1NPSINXDXX，1COSNPXDXX非初等性的判别法则。但是对于为数甚多的原函数非初等的不定积分来说，这些例子还不足以满足学生对非初等原函数的探究欲望，所以还是有必要寻找更多原函数非初等的不定积分的例子，如LNNPXXDX是非初等的，2XNEPXDX非初等性的判别法则等。另一方面，当遇到原函数是非初等的定积分时，试图通过经典的牛顿莱布尼兹公式求其原函数是求不出来的。因此，有必要寻找一种新的方法来解决这一类函数的原函数的求法。文献1指出可以利用复级数求定积分0SINXDXX。【参考文献】1杨玉文“积不出来”函数的判定和积分J赤峰学院报，2006，22（3）3122王建华周丽萍某
12、些不定积分的非初等性问题J呼伦贝尔学院报，2005，13（2）71733张建新不定积分的非初等性J沙洲职业工学院学报，2001，4（2）35384周民强数学分析（第一册）M上海科学技术出版社，20025张春苟不定积分中“积不出”问题J数学的实践与认识，2009，39（7）2122246B吉米多维奇著，李荣冻译数学分析习题集M人民教育出版社，19587陈纪修，於崇华，金路数学分析M文小西第二版。北京高等教育出版社，20048王文非初等函数的判别法J大学数学，2008，24（3）1651689OLIVIERESPINOSA,VICTORHMOLLONSOMEINTEGRALSINVOLVINGTH
13、EHURWITZZETAFUNCTIONPART2JTHERAMANUJANJOURNAL,6,449468,2002KLUWERACADEMICPUBLISHERSMANUFACTUREDINTHENETHERLANDS10MVLOMONOSOVMOSCOWSTATEUNIVERSITYTRANSLATEDFROMMATEMATICHESKIEZAMETKI,VOL9,NO3,PP311321,MARCH,1971ORIGINALARTICLESUBMITTEDDECEMBER16,196978本科毕业设计（20届）非初等原函数的几种类型9摘要【摘要】学过数学分析和高等数学的人都知道，在学到
14、不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定积分是不能用初等函数来表达的。其原因是刘维尔定理过于复杂，难以为一般教科书所采纳。本文利用刘维尔定理的特殊情况给出了如何证明某些不定积分的非初等性及运用变量代换和分部积分的方法得出一些判断法则。此外，还举出一些例题加深理解。【关键词】非初等原函数；变量代换；分部积分；不定积分ABSTRACT【ABSTRACT】THEPERSONWHOLEARNEDMATHSANALYSISANDTHEHIGHERMATHEMATICSALLKNOWTHATTHETEACHERUSUALLYCONCLUSIVETELLINGSTUDENTSSOMEUNCERTA
15、ININTEGRALWHICHCANNOTBEUSEDTHEELEMENTARYFUNCTIONTOEXPRESSWHENTEACHINGINDEFINITEINTEGRALINCONTENTS,THEREASONISTHATLIUWEIERTHEOREMISTOOCOMPLEXTOADOPTEDBYFORGENERALTEXTBOOKSTHISPAPERUSINGTHESPECIALCASEOFLIUWEIERTHEOREMPROVESSOMEELEMENTARYPROPERTIESOFINDEFINITEINTEGRALANDSOMEJUDGERULESBYUSEINGVARIABLESU
16、BSTITUTIONANDTHEINISIALMETHODINADDITION,ISTILLGIVESOMEEXAMPLESTOENHANCEUNDERSTANDING【KEYWORDS】THENONELEMENTARYANTIDERIVATIVESSUBSTITUTIONINTEGRATIONBYPARTSINDEFINITEINTEGRAL10目录摘要9ABSTRACT9目录101刘维尔（JLIOUVILLE）定理和切彼晓夫定理1311非初等函数的判定定理1312刘维尔（JLIOUVILLE）定理13121刘维尔第三定理13122刘维尔第四定理1413切彼晓夫定理152非初等原函数的判断法
17、则16211XNEPDXX类型的不定积分的判断法则16211当011NKKKA时，不定积分1XNEPDXX是非初等积分16212当1101KNKKABK时，不定积分1BXNEPDXX是非初等积分17213当22021102NKKKKKA时，不定积分2XNEPXDX是非初等积分18214当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等积分19215对任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等积分20216对任何非零多项式NPX，不定积分LNLNNPXXDX是非初等积分20217对任何非零多项式NPX，不定积分,LNLNNXPXXDX是非初等积分21223XN
18、EPXDX类型的不定积分的判别法则2111221DXXEKX233、331XKEXDX、33XKEXDX的非初等性21222不定积分DXENXK2,2,1NK的非初等性25223不定积分DXEBAXNXR,BA的非初等性26224当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SINNPXXDX、2COSNPXXDX为非初等积分26225当11111011KKNNKKKKAAIKK时，不定积分1SINNPXDXX、1COSNPXDXX为非初等积分28226不定积分,NRXPXDX的非初等性283非初等原函数的例题3031例1证明不定积分2XEDX的非初等性3031
19、1证明XEDXX的非初等性30312证明不定积分21NNXNXEDX的非初等性3132例2证明2,0BXEDXB的非初等性3133例3证明,0BXEDXBX的非初等性32331证明不定积分1DXLINX的非初等性32332令,1,2,NXTN3334例4证明不定积分SINXDXX与COSXDXX的非初等性33341对34的结论利用分部积分又能导出以下非初等性积分3435例5证明不定积分2SINXDX和2COSXDX的非初等性34351证明SINXDXX的非初等性3412352证明COSXDXX的非初等性3536例6证明21XDXX的非初等性35参考文献36致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签
20、。131刘维尔（JLIOUVILLE）定理和切彼晓夫定理引言不定积分FXDX初等是指FX的原函数是初等函数；而不定积分FXDX的非初等性是指FX的原函数不是初等函数，也就是说这些函数的不定积分“积不出来”。时至今日，研究原函数非初等性问题的理论基础是刘维尔JLIOUVILLE定理和切彼晓夫定理。11非初等函数的判定定理定理1设FX、XGT及XGT的反函数1TGX都是初等函数，则FXDX是非初等函数当且仅当,FGTGTDT也是非初等函数。证明设FXDXFXC,FGTGTDTGTC如果FXDXFXC是非初等函数，则FX是非初等函数。又因为1FXDXGGTC如果,FGTGTDT是初等函数，则GT也是
21、初等函数，且1TGX也是初等函数，所以1GGX是初等函数，这与假设FXDX是非初等函数矛盾。故如果FXDX是非初等函数，则,FGTGTDT也是非初等函数。同理可证，如果,FGTGTDT是非初等函数，则FXDX也是非初等函数。证毕。12刘维尔（JLIOUVILLE）定理刘维尔JLIOUVILLE定理总共有四个分定理，刘维尔第三定理和刘维尔第四定理与原函数非初等性问题有密切关系，因此，本文只叙述刘维尔第三定理和刘维尔第四定理。121刘维尔第三定理设,FXGX为X的代数函数，且GX不为常数，若GXFXEDX是初等函数，则14GXGXFXEDXRXEC，其中RX和C分别是有理函数和常数。特别地，有定理
22、设FX是有理函数，XG是多项式函数，若不定积分DXEXFXG是初等的，则一定存在某有理函数XR，使得CEXRDXEXFXGXG，其中C是常数。上述定理告诉我们，若不定积分DXEXFXG是初等的，则一定存在某有理函数XR，使得XGEXR为XGEXF的一个原函数，即XGXGEXFEXR，也即XFXGXRXR1由于XR是有理函数，故令XQXPXR，其中XP、XQ为互质多项式，代入1式，得XGXQXPXQXPXF，整理得XQXPXGXPXPXFXQXQ2这样由1、2知，上述定理的两个等价定理，叙述如下推论1设XF是有理函数，XG是多项式函数，则不定积分DXEXFXG是初等的充要条件是存在一个有理函数X
23、R，使得XFXGXRXR成立。推论2设XF是有理函数，XG是多项式函数，则不定积分DXEXFXG是初等的充要条件为存在互质多项式XP、XQ，使得XQXPXGXPXPXFXQXQ成立。122刘维尔第四定理设,KKFXGX1,2,KN为X的代数函数，且IJGXGXIJ常数若函数1KNGXKKWXFXE的不定积分是初等函数，则1,2,KGXKFXEDXKN也是初等函数。换句话说就得到下面的推论推论3设NKXGXFKK,2,1,为X的代数函数，且15JIXGXGJI常数。若NKXGKEXFXW1中有一项是积不出函数，则WX也是积不出函数。13切彼晓夫定理不定积分QPRXABXDX是有理数其中RQPBA
24、,0,是初等函数的充要条件QRPRP1,1,Q三个数中至少有一个是整数。特别地，取1A，1B，1R，则可得如下推论推论4设P，Q是有理数，则不定积分DXXXQP1是初等函数的充分必要条件是P，Q，QP三个数中至少有一个是整数。162非初等原函数的判断法则211XNEPDXX类型的不定积分的判断法则设N次多项式010NNNNPXAAXAXA211当011NKKKA时，不定积分1XNEPDXX是非初等积分证明当1K时，由分部积分可得11111111JXKXJKXKJEDXEXXEDXXKJKK则0101XXNXXNKKKEEEPDXADXAEADXXXX111111111JKXJKXKKJAEXX
25、EDXKJKK1110111111JKNXXJKXKKKJKAAEAEXXEDXKJKK由于不定积分1XXEDX是非初等函数，因此，当且仅当101NKKAK时，1XNEPDXX是非初等的。变量代换令LNXT，1DXDTT代入得LN11LNTNEPDTTT1LNNPDTT，由于1XNEPDXX是非初等的，所以1LNNPDTT是非初等的。由此得到推论5推论5当011NKKKA时，不定积分1LNNPDXX是非初等的。17分部积分,21111XXXXNNNNEEPDXPDEEPPDXXXXXX，所以得到推论6推论6当011NKKKA时，不定积分,21XNEPDXXX是非初等的。212当1101KNKK
26、ABK时，不定积分1BXNEPDXX是非初等积分证明当1K时，由分部积分可得DXEXKBXEKJKBDXXEBXKKJBXKJJJKBX111111111则DXXPENBX1NKKBXKDXXEA0DXXEAEBABXBX101111112111KJBXKXJBXJJNKKDXEXKBXEKJKBANKBXKKKJBXNKKJJJKBXDXEXKBAXEKJKBAEBA111211110111由211知DXXEBX是非初等的，因此，当且仅当1101KNKKABK时，1BXNEPDXX是非初等的。变量代换令LNXT，则1DXDTT代入得LN1111LNLNBTBNNEPDTTPDTTTT，由于1
27、BXNEPDXX为非初等的，所以11LNBNTPDTT也是非初等的。推论7当1101KNKKABK时，不定积分11LNBNTPDTT是非初等的。18分部积分,2111111BXBXBXBXNNNNEEEPDXPDEPPDXXBXBXBXX，得到推论8推论8当1101KNKKABK时，不定积分,21BXNEPDXXX是非初等的。213当22021102NKKKKKA时，不定积分2XNEPXDX是非初等积分证明当K为正整数时，不定积分221XKEXDX为初等的，而不定积分2222122123321211211222KXKKXKXXKKKEXDXXEXEXE22112KXKKEDX是非初等的（其中不
28、定积分2XEDX是非初等的在第3部分例题中有证明），不妨设2NM，则22202112MKXXNKKKKEPXDXPXAEDX这里PX是初等函数。因此，当且仅当22021102NKKKKKA时，2XNEPXDX是非初等的。通过适当的变量代换得到以下法则令2XT，则XT，12DXDTT，所以212TXNNEEPXDXPTDTT，因此，当且仅当221021102NKKKKKA时，TNEPTDTT是非初等的。推论9当且仅当221021102NKKKKKA时，不定积分TNEPTDTT是非初等的。由213得到214的判别法则19214当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等
29、积分证明当K为正整数时，不定积分221BXKEXDX为初等的，而不定积分22BXKEXDX22212123321211211222KKBXKBXBXKKKXEXEXEBBB22112KBXKKEDXB是非初等的（其中不定积分2BXEDX是非初等的在第3部分例题中有证明）。不妨设2NM，则22202112MKBXBXNKKKKEPXDXPXAEDXB这里PX是初等的。因此，我们有当且仅当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等的。同214运用变量代换令2,BXT则TXB，12BDXDTT，所以22TBXNNBETEPXDXPDTBT，因此，当且仅当021212021
30、12NKKKKKBKA时，不定积分TNETPDTBT是非初等的。推论10当且仅当02121202112NKKKKKBKA时，不定积分TNETPDTBT是非初等的。令2XT，则XT，12DXDTT代入得212BTBXNNEEPXDXPTDTT，由于202BXNEPXDX是非初等的，所以BXNEPXDXX是非初等的。推论11当且仅当02121202112NKKKKKBKA时，不定积分BXNEPXDXX是非初等的。215对任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等积分证明令LNXT，则TXE。101LNKTTNTNNKKEEPXDXPEDTADTXTT而11IJGTGTITJTIJTI
31、J常数这样由刘维尔第四定理知对于任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等的。因为1LNNPXDXX为非初等的，上式的变量代换得到的TTNEPEDTT是非初等的。推论12对任意的非零多项式TNPE，不定积分TTNEPEDTT是非初等的。利用分部积分得1LNLNLNLNLNLNLNNNNNPXDXXPXDXXPXXXDXPXX,LNLNLNLNLNLNNNNXPXXPXXDXXPXXDX于是，就有216、217的判断法则216对任何非零多项式NPX，不定积分LNLNNPXXDX是非初等积分证明令LNXT，则TXE。2110LNLNLNLNNKTTTNNKKPXXDXPEETDTAE
32、TDT因为1111LNLNLN111KTKTKTKTKKKKAAAEAETDTTDEETDTKKKT所以DXXXPNLNLNDTTEKATEKATKNKNKKTKK10011LN1NKNKTKKTKKDTTEKATEKA00111LN1而JITJITJTITGTGJI常数11，且当1K时，DTTET是非初等函数，因此LNLNNPXXDX恒为非初等的。推论13对任何非零多项式TNPE，不定积分LNTTNPEETDT是非初等的。217对任何非零多项式NPX，不定积分,LNLNNXPXXDX是非初等积分证明已知NPX为非零多项式，则,NXPX也为多项式，令,NXPXNGX则就与216判断法则相同。2
33、23XNEPXDX类型的不定积分的判别法则221DXXEKX233、331XKEXDX、33XKEXDX的非初等性332XKEXDX证明DXXEKX2333333333313333313131XKXKKXXKXKDEXKEXDXXEKEXDEXDXXEKKEXKEXKXXKXK4333333313312233333123133321131331XKXKXKXKEXKKEXKKEXKEX32111KXKKEXDX333331113133123133XKXKXKXKEKKEXKKEXKEX33031XJKKJJKJEXA因此DXXEKX233是可以积出来的，故为初等积分。DXXEKX133的非初等
34、性证明DXXEKX133DXXEKEXDEXKXXKXK2313133333133131334321331331XKXKDEXKEXDXXEKKEXKEXKXXKXK532432133333431331331333733432133431331331XKXKXKEXKKEXKEXDXXEKKEXKKXKKXKK333243131354313121DXXEKKEXJKKXKKXJKKJJJ333243131332313113101由于3XXEDX是非初等的，因此331XKEXDX是非初等的。变量代换3XT，则3XT，3213DXDTT代入得313133321133KXKTKTEXDXETTDTE
35、TDTT由于不定积分331XKEXDX是非初等的，所以13KXEXDX是非初等的。23推论14不定积分13KXEXDX是非初等积分。DXXEKX33的非初等性证明DXXEKX33DXXEKEXDEXKXXKXK3323233333233131335322332331XKXKDEXKEXDXXEKKEXKEXKXXKXK632532233333532332331333833532233532332331XKXKXKEXKKEXKEXDXEKKXEKKXKKXKK33315323134532311DXEKKEXJKKXKKXJKKJJJ333153231331323123101由于3XEDX是非初
36、等的，因此33XKEXDX是非初等的。变量代换令3,XT则3XT，3213DXDTT代入得3233321133KXKTKTEXDXETDTETDTT由于33XKEXDX是非初等的，所以不定积分23KXEXDX也是非初等的。推论15不定积分23KXEXDX是非初等的。于是，不定积分DXXPENX3有当32NK时，则3313103134213MXKXNKKKKKEPXDXPXAXEDXDXEKKAXMKKKK3033153231（其中1XP是初等函数）；24当31NK时，则DXXEKKAXPDXXPEXMKKKKNX3301323243131DXEKKAXMKKKK3033153231（其中2XP
37、是初等函数）；当3NK时，则DXXEKKAXPDXXPEXMKKKKNX33101333243131DXEKKAXMKKKK3033153231（其中3XP是初等函数）。因此，我们得到下面定理当32NK或31NK时，若03243131013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA，则不定积分DXXPENX3是非初等函数；当3NK时，若032431311013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA，则不定积分DXXPENX3是非初等函数。对于不定积分3XNEPXDX进行变量代换得令3,XT则3XT，3213DXDTT代入得33333221133TXTNNNEEPXD
38、XEPTDTPTDTTT于是得推论16当32NK或31NK时，若03243131013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA则不定积分332XNEPXDXX是非初等的。当3NK时，若032431311013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA25则不定积分332XNEPXDXX是非初等的。222不定积分DXEXNXK2,2,1NK的非初等性当2NK时，即DXEXNXN2的非初等性。证明假设不定积分DXEXNXN2是初等的，由推论2得，一定存在互质的多项式PX、XQ，使得XQXPXGXPXPXFXQXQ成立。其中2NXXF，NXXG，即有等式12XQXPXPNX
39、XPXQXXQNN成立。假设XQ是次数1的多项式，则在复数域中XQ必有零点，设某零点为AX，且重数为0R，由于PX、XQ互质，所以0PA，而XQ的重数为1R。这样AX即是上述等式左端的R重根，又是右端的1R重根，导致矛盾。故假设不正确，从而XQ只能是非零常数。假设CXQ常数，代入上述等式，有21NNCXXPNXXP。由于PX是多项式，所以若PX的次数1，则右端为2N次，左端的次数N，产生矛盾；若PX是非零常数，左右两边次数也不会相等，同样产生矛盾。因此不存在互质多项式PX、XQ满足要求，从而得到DXEXNXN2恒为非初等函数。故不定积分DXEXNXN2是非初等函数。当3,2,1NK时，可以得到
40、DXENX，DXXENX，DXEXNXN3均为非初等函数。变量代换令KXT，2KN则KXT，111KDXTDTK代入得11111NNNKKKXTTKKXEDXTETDTETDTKK于是得到推论17不定积分1NKXKEXDX1,2,2NN是非初等的。令,NXT则1NXT，111NDXTDTN代入得11111NKKNKXTTNNNXEDXTETDTTEDTNN于是得26推论18不定积分11,2,2KNXNXEDXNN是非初等的。223不定积分DXEBAXNXR,BA的非初等性证明同样类似于222的证明，此时用BAXXF，NXXG代入等式XPXFXQXQXQXPXGXP也会产生矛盾，因此，可以得到不
41、定积分DXEBAXNX是非初等函数。变量代换令NXT，则1NXT，111NDXTDTN代入得1111111NNXTTNNNNAXBEDXATBETDTATBETDTNN于是得到推论19不定积分11NXNNAXBEXDX是非初等的。分部积分212NNXXAXBEDXEDAXBX21122NNXNNXANAXBXEXBNXEDX于是有12NNNXANXBNXEDX是非初等的，可以对其继续进行分部积分得到其他不定积分也是初等的。有兴趣的同学可以继续探讨。推论20不定积分12NNNXANXBNXEDX是非初等的。224当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SIN
42、NPXXDX、2COSNPXXDX为非初等积分证明由欧拉公式得2221SIN2IXIXXEEI，则2221SIN2IXIXNNNPXXDXPXEPXEDXI27当K为正整数时，不定积分221KIXXEDX、221KIXXEDX是初等积分，因此不妨设2NM，则2220211SIN122MKIXNKKKKPXXDXPXAEDXII220211122MKIXKKKKAEDXII这里NPX是初等函数，既然222122GXGXIXIXIX常数，则由刘维尔第四定理知，当且仅当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SINNPXXDX是非初等函数。同理我们还能得出，当且仅当
