1、施密特(Schmidt)正交化过程,定理 2,说明,定理中要求,2018年7月24日星期二,推论 1,定义 7,2018年7月24日星期二,上述分析表明:,标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,而由标准正交基和一个正交矩阵作为过渡矩阵所确定的基是标准正交基.,2018年7月24日星期二,2018年7月24日星期二,2018年7月24日星期二,3 同构(Isomorphism ),定义 8,称R上欧氏空间V与 V 为同构的，系指由 V 到 V 有一个1-1映上的映射 , 适合,1) ( +)= () + ();,2) (k) = k();,3) () , ()=( , ); , V, k
2、R则称 为 V到 V 的同构映射.,2018年7月24日星期二,说明,首先注意到定义中1),2), 首先是作为V 到 V 线性空间的同构(265页), 从而 dim V= dim V, 因而同构的欧氏空间维数相同.,最后我们还要说明, 维数相同也是欧氏空间同构的充分条件.,其次, 条件3) 是保持内积, 由此可知, 同构映射保持距离.,2018年7月24日星期二,令,2018年7月24日星期二,设, 满足定义中的条件1), 2).,2018年7月24日星期二,说明 满足定义中条件3).,2018年7月24日星期二,定理 3,两个有限维欧氏空间同构, 当且仅当它们维数相同.,从抽象的观点来看,
3、欧氏空间的结构完全由它的维数决定.,2018年7月24日星期二, 4 正交变换 ( Orthogonal Transformation ),基本想法,在解析几何中, 一个几何图形经过正交变换后保持不变.现在我们将正交变换的概念推广到一般的欧氏空间.,定义 9,欧氏空间 V 上的线性变换 A 称为正交变换, 系指它保持V的向量内积不变, 即 , V有(A, A)= (, ).(由欧氏空间同构的概念, 易知若 A 是1-1的, 则 A是V 到 AV的一个同构.),2018年7月24日星期二,定理 4,设 A 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 于是下面四个命题等价,1) A 是正交变换.,2) A保
4、持向量长度不变, 即 V, |A| =| |.,4) A 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,2018年7月24日星期二,说明,由该定理的4), 及正交矩阵的可逆性知, 正交变换是可逆的, 这说明正交变换是 1-1映上的, 同时它满足欧氏空间同构的条件 1), 2), 3), 说明正交变换是V 到AV 的一个同构.,由于欧氏空间的同构是等价关系, 我们有如下结论.,1) 正交变换的逆是正交变换(等价关系的对称性).,2) 正交变换的乘积是正交变换 (等价关系的传递性).,由此推出, 正交矩阵的乘积, 正交矩阵的逆也是正交矩阵.,2018年7月24日星期二,当det A = 1时, 正交矩阵通常称为旋转, 也称为第一类的. 当det A = 1时, 正交矩阵成为第二类的, (如反射).,则,2018年7月24日星期二,第十二次课作业 393页：4,5,7; 394页：8,10,12,2018年7月24日星期二,
