1、1毕业论文开题报告数学与应用数学特殊质量的射影性质一、选题的背景与意义FINSLER几何就是没有二次型限制的黎曼几何，是现代数学中一门比较重要的学科。BRIEMANN早在1854年的著名就职演说中引入了利用空间中的内积定义的黎曼度量并且引入其曲率的定义,现在称之为黎曼几何。FINSLER几何研究已经经历了一个多世纪，而现在它又有了新的发展。而现在它又有了新的发展。所以它是一门既古老又新兴的学科，自八十年代起，在FINSLER几何中发展起来的几何方法对生物学，物理学以及心理学等领域的一些问题的研究起到了很大的作用，展现了FINSLER几何的独特魅力。DOUGLAS曲率是FINSLER几何中一类非
2、常重要的非黎曼曲率，FINSLER几何学家长期以来一直对DOUGLAS曲率性质的研究很关注。DOUGLAS曲率恒为零的FINSLER度量称为DOUGLAS度量。DOUGLAS度量构成的集合包含了所有的BERWALD度量，也包含了射影平坦FINSLER度量。所以对DOUGLAS度量的研究是很重要的。现在，FINSER度量的具体实例还非常少，因此寻找一些有研究价值的FINSLER度量对整个FINSLER几何的发展将有一定的推动作用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1）研究FINSLER几何中的测地线既测地系数的含义。2）研究DOUGLAS型的FINSLER度量的性质与等价方程的含义。3）讨论特
3、殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER度量。4）得到关于此种特殊形式度量作为DOUGLAS度量的等价方程。5）讨论等价方程的含义，得到主要结果。三、研究的方法与技术路线由导师指导，通过学习和查阅文献，以当前研究的成果入手，研究特殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER度量。21、准备知识；211、介绍FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量；2212、FINSLER空间中的一些重要几何量的定义；213、介绍本文中使用的一些记号；22、主要定理的证明；23、拓展研究。四、研究的总体安排与进度（1）2010年12月1日12月31日收集资料，查阅文献，学习基础相关
4、知识。（2）2011年1月1日2月28日研究具有DOUGLAS型的特殊FINSLER度量，进行具体计算，分析。（3）2011年3月1日3月31日完成主要定理证明，得到相关结果，完成初稿。（4）2011年4月1日5月1日基本定稿，完成论文，准备答辩。五、主要参考文献1白正国沈一兵黎曼几何初步北京高等教育出版社，20032苏步青微分几何学北京高等教育出版社，19883方德植陈奕培射影几何北京高等教育出版社，198314徐森林薛春华胡自胜金亚东合肥中国科学技术大学出版社，200965沈一兵整体微分几何初步北京高等教育出版社，200976卡尔莫曲线和曲面的微分几何学上海上海科学技术出版社,19887S
5、OCSAB,MATSUMOTOMONFINSLERSPACESOFDOUGLASTYPEAGENERALIZATIONOFTHENOTIONOFBERWALDSPACEJPUBLMATHDEBRECEN,1997,513854068SOCSAB,MATSUMOTOMREDUCTIONTHEOREMSOFCERTAINLANDSBERGSPACESTOBERWALDSPACESJPUBLMATHDEBRECEN，1996，4835736611CHENGX，SHENZONDOUGLASMETRICSJPUBLMATHDEBRECEN,2005,6650351210ZSHEN,LANDSBERGCU
6、RVATURE,SCURVATUREANDRIEMANNCURVATURE,INASAMPLEOFRIEMANNFINSLERGEOMETRY,MSRISERIES,VOL50,CAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS,2004311SSCHERNANDZSHENRIEMANNFINSLERGEOMETRY,WORLDSCIENTIFIC,20054毕业论文文献综述数学及应用数学特殊质量的射影性质什么是FINSLER几何所谓FINSLER几何就是没有二次型限制的黎曼几何。BRIEMANN早在1854年的著名就职演说就提出了后来所谓的FINSLER几何的概念。设NNYYYXXXFYX21
7、21,FF是N2个变量的光滑函数，其中记NNYYYXXX,11。若F满足下列条件（1）、0,YXF；（2）、仅当Y0时，00,XF；3、R,FYXFYX,则称F为FINSLER函数。FINSLER几何研究已经经历了一个多世纪，而现在它又有了新的发展。而现在它又有了新的发展。所以它是一门既古老又新兴的学科，自八十年代起，在FINSLER几何中发展起来的几何方法对生物学，物理学以及心理学等领域的一些问题的研究起到了很大的作用，展现了FINSLER几何的独特魅力。几个重要的数学家对FINSLER几何的贡献LUDWIGBERWALD可以说是对FINSLER几何真正作出重要贡献的第一位数学家，他是第一个
8、在芬斯勒空间中引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家，开创了芬斯勒几何中的一个重要研究领域。在20世纪50年代至60年代初，HERBERTBUSEMANN，对FINSLER空间的体积形式惊醒了研究，为人们研究FINSLER空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基础；还有一位南非数学家HANNORUND也对FINSLER空间的研究做出了重大的贡献，他们的研究工作对后来FINSLER几何的发展产生了深刻影响。沈忠民，华裔数学家，国际FINSLER几何领域中的一位重要代表人物。他对5RIEMANNFINSLER几何的发展做出了重要的贡献，提出了在被称为S曲率的重要不变
9、量，而这个不变量在现在FINSLER几何研究中扮演了重要角色。PINTMANNWONG,华裔数学家，国际著名的复分析专家。他对复MOMGEAMPERE方程的几何解释，对复FINSLER研究作出了重要贡献。最近OCSABS和MATSUMOTO从FINSLER方程的测地线的空间角度概括BERWALD空间介绍了道格拉斯空间的新概念。陈省身教授引入了旗曲率的概念，他起着黎曼几何中截面曲率的类似作用，并发现弧长第二变分公式中MINKOWSKI曲率不出现，并由此推测黎曼几何中的一些定理可以推广到FINSLER空间去，从而避免了传统处理FINSLER几何的繁杂的张量运算。E嘉当，法国大数学家，曾利用活动标架
10、法做工具构成了在他意义下的一般联络理论，他以较高的观点融合了黎曼和F克莱茵的两种思想，对现代微分几何产生了深刻的影响。而近十几年来RBRYNT，沈忠民，GASONOV，DBAO，沈一兵、莫小欢、程新跃等数学家经过各种方法所得到的特殊度量对FINSLER几何的发展也起着重要作用。FINSLER几何的应用在物理学中，爱因斯坦为了创立他的相对论跳出了经典的欧氏几何，而用黎曼几何取而代之。最近，一批物理学家通过研究时空问题发现一类由M次根号特殊表达的FINSLER度量可以被看作是时空的一个合适的模型。此外，CARTAN联络与BERWALD联络及其相应的各类曲率张量对后来的FINSLER几何研究产生了重
11、要影响，并促进了FINSLER几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究。在导航问题中，如果一个物体在黎曼空间中运动的同时又受到外力的作用，那么它的最短路径就是某种FINSLER度量的测地线。DOUGLAS曲率是FINSLER几何中一类非常重要的非黎曼曲率，FINSLER几何学家长期以来一直对DOUGLAS曲率性质的研究很关注。DOUGLAS曲率恒为零的FINSLER度量称为DOUGLAS度量。DOUGLAS度量构成的集合包含了所有的BERWALD度量，也包含了射影平坦FINSLER度量。所以对DOUGLAS度量的研究是很重要的。如设IIIIYYGXY2G是M上的一个散射对于任何向量60MT
12、YX，BERWALD曲率MTMTMTMTXXXXYB是一个三线形式的XILKJJKLIYXWVUYBWVUB|,定义为YYYYGYLKJJKLI22B这意味着BRWALD曲率REMTMTXXY是一种双线性形式的KJYVUYVUIJE,E定义为YBYEIJMMIJ21基于BERWALD曲率，JDOUGLASDGL引进了一种新的数量MTMTMTMTXXXXYD这是一个三线形式XILKJJKLIYXWVUYWVU|D,D定义为ILJKJIKLKIKLKIJKJKLIJKLIYYEEEENB12D我们称0DTMYYD为你DOUGLAS曲率。而在FINSLER几何的发展过程中，数学家们一直关注和研究具有
13、特殊性质的特殊FINSLER度量这一重要的问题。目前人们对芬斯勒度量整体性质的研究仍远远不够，对芬斯勒度量整体性质的认识还不够丰富，由于芬斯勒几何中相对复杂的计算，被人们所熟知的FINSLER几何中的度量还是很少，学科的发展急需更多更有意义的特殊度量来支撑。并且在寻找特殊度量的过程中也促进了相关问题的发展。比如对具有常旗曲率FINSLER度量的研究、射影平坦FINSLER度量的研究等等。陈省身先生有一个观点就是“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展。我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼芬斯勒几何。”因此寻找一些有研究价值的FINSLER度量对整个FINSLER几何的发展将有
14、一定的推动作用。本毕业设计的主要内容将是研究特殊形式FA4B的DOUGLAS型的FINSLER度量。参考文献71SOCSAB,MATSUMOTOMONFINSLERSPACESOFDOUGLASTYPEAGENERALIZATIONOFTHENOTIONOFBERWALDSPACEJPUBLMATHDEBRECEN,1997,513854062SOCSAB,MATSUMOTOMREDUCTIONTHEOREMSOFCERTAINLANDSBERGSPACESTOBERWALDSPACESJPUBLMATHDEBRECEN，1996，483573663CHENGX，SHENZONDOUGLASM
15、ETRICSJPUBLMATHDEBRECEN,2005,665035124SHENZDIFFERENTIALGEOMETRYOFSPRAYANDFINSLERSPACEMDORDRECHTKLUWERACADEMAICPUBLISHERS,20015ZSHEN,LANDSBERGCURVATURE,SCURVATUREANDRIEMANNCURVATURE,INASAMPLEOFRIEMANNFINSLERGEOMETRY,MSRISERIES,VOL50,CAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS,20046SSCHERNANDZSHENRIEMANNFINSLERGEOMETRY,
16、WORLDSCIENTIFIC,20056SHENZONRQUADRATICFINSLERSPACESJPUBLICATIONSMATHEMATICALDEBRECEN,2001,582632747CHERNSS,SHENZRIEMANNFINSLERGEOMETRYMSINGAPOREWORLDSCIENTIFICPUBLISHERS,20058白正国沈一兵黎曼几何初步北京高等教育出版社，20039苏步青微分几何学北京高等教育出版社，198810方德植陈奕培射影几何北京高等教育出版社，1983111徐森林薛春华胡自胜金亚东合肥中国科学技术大学出版社，2009612沈一兵整体微分几何初步北京高
17、等教育出版社，2009713卡尔莫曲线和曲面的微分几何学上海上海科学技术出版社,198814李梁,崔宁伟,王佳,一类射影平坦具有常曲率的,度量J西南师范大学学报自然科学版,2006,316283215尧克刚,程新跃,薛善增关于推广的DOUGLASWEYL变量J西南大学学报自然科学版,2009,312404289本科毕业设计（20届）特殊质量的射影性质摘要摘要本文主要研究特殊质量的射影性质，研究DOUGLAS型的FINSLER度量的性质与等价方程的含义，介绍了测地线的主要性质，并且给出了它的某些应用，主要讨论了特殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER10度量，得到关于此种特殊形式度
18、量作为C的等价方程。关键词FINSLER度量；DOUGLAS度量；测地线。ABSTRACTABSTRACTTHISPAPERMAINLYSTUDIESTHESPECIALQUALITYOFPROJECTIVEPROPERTIES,STUDIESFINSLERMETRICSTYPEDOUGLASMETRICSSTHEMEANINGOFNATUREANDEQUIVALENTEQUATIONCONSIDERTHEPROPERTIESOFGEODESIC11CURVESANDGIVESOMEAPPLICATIONSOFGEODESICCURVESMAINLYDISCUSSESSPECIALFORMFA
19、1/4BDOUGLASTYPEOFFINSLERMETRICS,GETABOUTTHISSPECIALFORMMEASUREMENTASTHEEQUIVALENTEQUATIONOFDOUGLASMETRICSKEYWORDSFINSLERMETRICSDOUGLASMETRICGEODESICS、目录第一章、引言1311、FINSLER几何的背景和意义；131212FINSLER几何的发展和现状14第二章、FINSLER几何的相关知识1621、FINSLER度量的定义及一些重要几何量；1622、测地线的介绍；17221、测地线17222、测地曲率17223、测地线的应用1823、FINSLE
20、R度量中的相关结果；19第三章、特殊形式的DOUGLAS型的FINSLER度量2231、介绍本文中使用的一些记号；2232、特殊形式FA1/4，B0的DOUGLAS型的FINSLER度量2333、特殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER度量24参考文献29致谢错误未定义书签。附录3013第一章、引言11、FINSLER几何的背景和意义；什么是FINSLER几何所谓FINSLER几何就是没有二次型限制的黎曼几何,它是现代数学中的一门比较重要学科。早在1854年BRIEMANN在著名就职演说时就提出了后来所谓的FINSLER几何的概念。FINSLER几何研究已经经历了一个多世纪，而现
21、在它又有了新的发展。所以它是一门既古老又新兴的学科，自八十年代起，在FINSLER几何中发展起来的几何方法对生物学，物理学以及心理学等领域的一些问题的研究起到了很大的作用，展现了FINSLER几何的独特魅力。在物理学中，爱因斯坦为了创立他的相对论跳出了经典的欧氏几何，而用黎曼几何取而代之。最近，一批物理学家通过研究时空问题发现一类由M次根号特殊表达的FINSLER度量可以被看作是时空的一个合适的模型。此外，CARTAN联络与BERWALD联络及其相应的各类曲率张量对后来的FINSLER几何研究产生了重要影响，并促进了FINSLER几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究。在导航问题中，如果
22、一个物体在黎曼空间中运动的同时又受到外力的作用，那么它的最短路径就是某种FINSLER度量的测地线。DOUGLAS曲率是FINSLER几何中一类非常重要的非黎曼曲率，FINSLER几何学家长期以来一直对DOUGLAS曲率性质的研究很关注。DOUGLAS曲率恒为零的FINSLER度量称为DOUGLAS度量。DOUGLAS度量构成的集合包含了所有的BERWALD度量，也包含了射影平坦FINSLER度量。所以对DOUGLAS度量的研究是很重要的。如设IIIIYYGXY2G是M上的一个散射对于任何向量0MTYX，BERWALD曲率MTMTMTMTXXXXYB是一个三线形式的XILKJJKLIYXWVU
23、YBWVUB|,定义为14YYYYGYLKJJKLI22B这意味着BRWALD曲率REMTMTXXY是一种双线性形式的KJYVUYVUIJE,E定义为YBYEIJMMIJ21基于BERWALD曲率，JDOUGLASDGL引进了一种新的数量MTMTMTMTXXXXYD这是一个三线形式XILKJJKLIYXWVUYWVU|D,D定义为ILJKJIKLKIKLKIJKJKLIJKLIYYEEEENB12D我们称0DTMYYD为你DOUGLAS曲率。12FINSLER几何的发展和现状在FINSLER几何的发展过程中，数学家们一直关注和研究具有特殊性质的特殊FINSLER度量这一重要的问题。LUDWIG
24、BERWALD可以说是对FINSLER几何真正作出重要贡献的第一位数学家，他是第一个在FINSLER空间中引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到FINSLER几何中的数学家，开创了FINSLER几何中的一个重要研究领域。在20世纪50年代至60年代初，HERBERTBUSEMANN，对FINSLER空间的体积形式进行了研究，为人们研究FINSLER空间的体积比较定理、探讨FINSLER流形的整体性质奠定了基础；还有一位南非数学家HANNORUND也对FINSLER空间的研究做出了重大的贡献，他们的研究工作对后来FINSLER几何的发展产生了深刻影响。沈忠民，华裔数学家，国际FINSLER几何领
25、域中的一位重要代表人物。他对RIEMANNFINSLER几何的发展做出了重要的贡献，提出了在被称为S曲率的重要不变量，而这个不变量在现在FINSLER几何研究中扮演了重要角色。目前人们对FINSLER度量整体性质的研究仍远远不够，对FINSLER度量整体性质的认识还不够丰富，由于FINSLER几何中相对复杂的计算，被人们所熟知的FINSLER几何中的度量还是很少，学科的发展急需更多更有意义的特殊度量来支撑。并且在寻找特殊度量的过程中15也促进了相关问题的发展。比如对具有常旗曲率FINSLER度量的研究、射影平坦FINSLER度量的研究等等。陈省身先生有一个观点就是“整体黎曼几何在二十世纪后半叶
26、得到了巨大的发展。我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼FINSLER几何。”因此寻找一些有研究价值的FINSLER度量对整个FINSLER几何的发展将有一定的推动作用。本毕业设计的主要内容将是研究特殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER度量。定理、设BAF4/1是一个FINSLER度量，且LKJIIJKLYYYYXAA、IIBBXY。那么F是一个DOUGLAS度量,当且仅当4/1A是DOUGLAS度量，B为闭形式。16第二章、FINSLER几何的相关知识21、FINSLER度量的定义及一些重要几何量；（1）、设NNYYYXXXFYX2121,FF是N2个变量的光滑函数
27、，其中记NNYYYXXX,11。若F满足下列条件（1）、0,YXF；（2）、仅当Y0时，00,XF；3、R,FYXFYX,则称F为FINSLER函数。（2）、令V是一个N维实向量空间若V上的一个FY满足1对YV，有0FY并且0FY当且仅当0Y；2对YV，有FYFY，0成立；3F在0V上是C的，使得对YV，V上如下定义的双线性函数YG成为内积220,|2STSTUVFYSUTVYG，这时VF，称为一个MINKOWSKI空间令1NIIE为V的一个基，IIYYE，INYR22IJIJLYYYYG则有IJIJYIJIJGUVGYUVUUEVVE，那么，函数FY称为MINKOWSKI范数（3）、设M是一
28、个N维流形，TM上的函数FXY，称为FINSLER度量，如果F满足171FXY，在0TM上是C的；2对YV，,XFYFXY是TM上的MINKOWSKI范数则MF，称为FINSLER空间对PGYTM，PM，F在PTM上诱导了如下的一个内积YG212IJIJIJYIJYYUVGXYUVFUVG，这里JXX表示PM的坐标，IJXYXY，表示PYTM的局部坐标22、测地线的介绍；测地线是几何模型外形分析的重要内容之一。221、测地线曲面上的一条曲线,如果它的每一点处的测地曲率为零,则称该曲线为测地线。测地线的微分方程是2,1,0,22KDSDUDSDUDSUDJIJIKIJK222、测地曲率给定一个曲
29、面,VURRS。考虑曲面S上的一条曲线SVSURRC,其中S是C的自然参数。设P是曲线C上一点,是C在P点的单位切向量，是单位主法向量，是单位副法向量。再设N是曲面S在P点的单位法向量，是与N的夹角。那么曲线C在P点的曲率向量NK在上的投影为曲线C在P点的测地曲率，若用GK表示则SIN90COS,KKNKNKNKKG测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线C，它在P点的测地曲率的绝对值等于C在P点的切平面上的正投影曲线C的绝对曲率。18由此推出测地线的性质1测地线在每一点P的测地曲率的绝对值都不大于它在P点相切的任何曲线在P点的测地曲率的绝对值。这个性质意味着测地线类似于平面的直线。2如果把曲面曲线
30、的可展曲面即沿曲线所作曲面的切平面族的包络变形成平面时，只有测地线所对应的曲线是直线。3曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外,曲线的主法线重合于曲面的法线。4过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。5测地线短程性。若给出曲面上充分小邻域内的两点P和Q，则过P，Q两点在小邻域内的测地线段是连接两点P，Q的曲面上的曲线中弧长最短的曲线。即在适当的小范围内连接任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。223、测地线的应用测地线不仅是数学内部，如在双曲几何和黎曼几何研究中是必不可少的最基本概念之一，而且也在物理学、工程技术学和大地测量学等
31、方面有着广泛的应用。圆柱面上的测地线将圆柱面剪开铺平，给出了圆柱面到平面的一个等距变换，平面的测地线是直线。因此圆柱面上的测地线就是将平面卷成圆柱面时，由平面直线变过来的曲线，容易发现它们是直线圆柱面的子母线，平行圆或圆柱螺线。自然界的攀缘植物，沿螺线生长，就是测地线的一个有趣例子。球面上的测地线由于大圆的主法线就是球面的法线，由此推出大圆或其一部分就是球面上的测地线。在球面上。连接两点的大圆弧测地线有两条，这两条大圆弧一长一短，短的是最短线，也就是短程线。实际上，飞机、轮船都是尽可能以短程线即为测地线为航线航行的。物理学中的测地线假设一个质点在曲面上自由运动，如无外力作用，则质点在曲面上的运
32、动轨迹是一条测地线。再如，一条无重量的弹性细线在一个光滑曲面上自由移动，当这条细线受曲面上两点间的某张力作用处于平衡状态时，则它取测地线的形状。测地线在工程技术中的应用测地线在工程技术中的应用，就是复杂曲面的外板展开。这种板金技术在飞机机身、汽车外壳、轮船船体、涡轮叶片、薄壳屋顶、机耕里面等外形设计和制造中有着实际的应用。19在汽车厂，汽车外壳曲面是由许多块弯曲的钢板焊接起来的，而且弯曲的钢板由平板辊轧而成。辊轧之前，先把平板切割成曲边四边形。人们要设计每块平板的曲边四边形，使得它经过切割、辊轧后送到组装台上装配时，相邻两块钢板的边界恰好拼合无缝，这项工作称为外板展开。在汽车外壳曲面上，高斯曲
33、率K0的部分总是可以无误差地展成平面。对于K0的区域，外板展开的过程就是寻找曲面S到平面的一种等距映射。把工艺方法简要地翻译成微分几何的语言，就是1在曲面S上决定一条测地线段OC。2当OC等距映射成平面上的直线段时，OCOC与OC的长度相等。3在曲面S上作一族垂直于OC的曲线段。，NICI,2,14把IC等距映射为上的曲线NICI，,2,1时，IC和OC的长度相等，而且IC垂直于OC。5在平面的两侧分别顺次连接IC的端点得到两条光滑曲线段21LL和。6曲线段21,LL及N,CCI，组成平板的曲边四边形。此外，测地线在大地测量学中有着广泛的应用，它可以有效地解决大地测量学中的有关问。在大地测量工
34、程中，根据测地线，定义了“球面三角形”即测地三角形，由球面上三个大圆所围成的三角形，从而得出结论球面三角形的三内角之和大于。23、FINSLER度量中的相关结果；DOUGLAS度量DOUGLAS曲率是FINSLER几何中一类非常重要的非黎曼曲率，DOUGLAS曲率恒为零的FINSLER度量称为DOUGLAS度量。DOUGLAS度量构成的集合包含了所有的BERWALD度量，也包含了射影平坦FINSLER度量。所以对DOUGLAS度量的研究是很重要的。BERWALD度量测地系数可表示成Y的二次多项式。在FINSLER几何中，比最为特殊的一类RIEMANN度量更一般一些且具有特殊性质的度量是BERW
35、ALD度量，BERWALD度量在FINSLER几何中有重要的研究意义，是由德国数学家BERWALD引入，并作了一定的研究，特别对RANDERS度量是BEREWALD度量的情况给出了特征并得到如下定理。20定理231、RANDERS度量F为BERWALD度量，则关于是平行的。以上定理说明对于RANDERS度量来说，其在BERWALD度量的情形下是平凡的。那么对于一般的FINSLER度量来说，BERWALD度量具有何种性质对FINSLER几何的研究有重要作用。近年来，许多数学家关注的一类可计算的度量是（,）度量。由于它的可计算性，使得原本很困难的问题在这一类的量上有一定的解决。比如，对射影平坦（,
36、）度量的研究、DOUGLAS型（,）度量的研究，等等。此处研究SEF这样的度量，它是一类特殊的（,）度量。对于这类度量在维数是2的时候进行了研究，并得到其作为BERWALD度量的情况下的充要条件。我们得到以下的定理定理232、设SEF为在二维曲面M上的FINSLER度量，其中2221YY是欧氏度量，1212BYBY是M上的1形式,/S。则F是BERWALD度量的等价条件为（1）1B、2B为常数；（2）01221BB，即是闭的1形式定义231、，度量的定义为FSS，其中1212122211122122AYAYYAYYAY是一个RIEMANN度量，1212BXYBXY是一个1形式（在本文中只在二维
37、下研究）。S是00BB，上的C正函数，并且满足01，220SSSBSS，0SBB，其中XB。这保证了度量的正则性和正定性，并且F是FINSLER度量当且仅当对任意XM有0XB。特别，当取1时，这样的，度量就是黎曼度量。当1S时，F，它就是RANDERS度量，它由物理学家GRANDERS在1941年21首先研究，并且后来被应用于电子显微镜的研究以及导航问题等等。虽然对于，度量的一些计算仍然比较繁复，但与其他的FINSLER度量相比，它至少是可以计算的。定义232、设M为N维微分流形，TM是它的切从，若函数FTMR满足以下条件，则称它为M上的一个FINSLER度量（1）FXY，在0TM上是C函数；
38、（2）0FXY，0Y；（3）FXYFXY，0；（4）基本张量IJYIJGUVGXYUV，212IJIJYYGXYF，正定我们约定，IIJYYYFF，表示2JIJFFYYY，以此类推22第三章、特殊形式的DOUGLAS型的FINSLER度量FINSLER几何中一个很重要的问题是学习FINSLER度量的射影性质，对于FINSLER度量YXFF,中的一个流行M，测地线F的局部特征由以下的常微分方程证明。0,222DTDXDTXDXGI在系数YXGGII,时给出LLMXMYXILFYFGG2241I（1）系数KJJKIIYYXG21在每一点X上都有二次MTYX。这是学习FINSLER度量是用类似的测地
39、线的固有性质。如果在每一点X上一个FINSLER度量F被说成是局部仿射等价于一个黎曼度量G，附近有一个局部坐标的测地线的F符合克参数化曲线。假若这样，G和回归系数F相同。FINSLER度量带有这种属性称为BERWALD度量。如果在每一点X上，一个FINSLER度量被说成是局部投影地等价于一个黎曼度量G，附近有一个局部坐标的测地线F符合G作为点集。在这种情况下，系数IG在下文中形成IKLLKIIYYXPYYXG,21（2）IKLLKJJYYXPYYXG,21（3）带有这种属性的FINSLER度量称为DOUGLAS度量。31、介绍本文中使用的一些记号；LLMXMYXILFYFGG2241I；IKL
40、LKIIYYXPYYXG,21；IKLLKJJYYXPYYXG,21当LKIKLJJKLIIJJIYYYYYGYG21令KJJKIIJIJIJIJIYYXGGGGYGY21,和那么IMIJJMIJIJJIYGGYGGYGYG成立。23在本文中的普通偏导数LKJIIJKLYYYYXAA；IIYXBB；当0,2BYYXAAJIIJ时，F是RIEMANNIAN度量；IYIAA；JIYYIJAA；MXOYAAM；MYXOIYAAIM；LKXXOOYYAALK；MXOYBBM；QPXXOOYYABQP；32、特殊形式FA1/4，B0的DOUGLAS型的FINSLER度量定理321出自参考文献1FA1/4
41、是一个FINSLER度量，LKJIIJKLYYYYXAA。假设A不可约，那么F是DOUGLAS度量当且仅当F是一个BERWALD度量。证明定理321DOUGLAS度量具有特征（2），有式（2）我们不难得出DOUGLAS度量也满足下列方程LKIKLJJKLIIJJIYYYYYGYG21（4）其中KJJKIIJIJIJIJIYYXGGGGYGY21,和。那么（4）等价于IMIJJMIJIJJIYGGYGGYGYG（5）假设FA1/4是一个DOUGLAS度量，那来证明F是BERWALD度量，它充分证明了YXPP,是一个局部1形式。设IYIAA；JIYYIJAA；24MXOYAAM；MYXOIYAAI
42、M；LKXXOOYYAALK；通过计算直接可得,2812/3JIIJIJAAAAAG,412/1IJIJIAAYGY22412/3IOXOIIAAAAAAAGI那么212/1OIIIIAAYGYG用IY化简（2）式得AAGAPMMO426由（5）式我们可以得到02222JIMMXOIIJMMXOJAAGAAAAGAAIJ（7）由于A不可约，度（IA）3，那么由（7）式，可以得出唯一的结论是是1形式那么AAGAMMO428将（8）式代入（6）式得P则，我们看到IIYG中的Y是二次的。可得F是BERWALD度量。33、特殊形式FA1/4B的DOUGLAS型的FINSLER度量定理331、设BAF4
43、/1是一个FINSLER度量，且LKJIIJKLYYYYXAA、IIBBXY。那么F是一个DOUGLAS度量,则当且仅当4/1A是DOUGLAS度量，B为闭形式。证明定理331、DOUGLAS度量具有特征（2），有式（2）我们不难得出DOUGLAS度量也满足下列方程KLILKJJLKIIJJIYYYXYXYGYG2125因为KJJKIIJIJIJIJIYYXGGGGYGY21,，则将它们代入上式当中得到IMIJJMIJIJJIYGGYGGYGYG又BAF41BABAF4122122BABAF412212212121IIYBAABAFI4/34/124121IJIJJIIIJJYYBAAAAAB
44、ABAABAAFJI4/34/74/14/34/3241163414121则JIYYIJFG221IIIIJIBAABAYGY4/34/141已知LLMXMYXJLFYFGG2241JIIMLLMXMYXXMYXILJIJIFYFFYFGGG222241则可算得MMMXXXBAABAF4/34/12412IXIXIXXXIIYXMMMMMIMBAAAAABABAABAAF4/34/74/14/34/3241163241412IXIXIXXXIIYXMMMMMIMBAAAAABABAABAAF4/34/74/14/34/324116324141226IOOIOIOIOIOIOIOIOIMYXAB
45、AAAAAOIBAABBABAAAABBBBBAYFIM4/72/34/32/14/128341_212121222IIIXXXBAABAF4/34/12412那么OIOIXOIXOIOIXOIOIOIXOIIABAABBBBAAAAAAAAABAABAABBBBGIIII4/74/32/32/14/34/13232121818116181818181212121IIIIJIBAABAYGY4/34/141IJIJJIIIJJIJBAAAAABABAABAAG4/34/74/14/34/3411634141又因为OOOOIIBAAAABBABYG4/32/14/1418123则易的OOOOIIIIBAAAABBABYGYG4/32/14/1418123用IY化简（2）式得IIIKJJKIIIYYYYYYGP21又因为IIYYF227则4/34/14/3412214/34/14/32/14/12822424141812321ABAAAGABBGBABABAABAGAAABBABFYYYYGPOIMOIMIIMOOOIKJJKIII由（5）式我们可以得到
