1、第一章 三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定： 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角公理(ASA) 有两
2、角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路：已知两边：找第三边（SSS） ；找夹角（SAS） ；找是否有直角（HL）.已知一边一角：找一角（AAS 或 ASA） ；找夹边（SAS）.已知两角：找夹边（ASA） ；找其它边（AAS）.例题评析例 1 已知：如图，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC例 2 已知：如图，A、C、F 、 D 在同一直
3、线上，AFDC， ABDE，BCEF，求证： ABC DEFBCDEFAAB CD E例 3 已知：BECD，BEDE，BC DA，求证： BEC DEA； DFBC例 4 如图，在ABE 中，AB AE,ADAC,BADEAC, BC、 DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .例 5 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90得到DCF，连接 EF，若BEC=60，求EFD 的度数.例 6 如图，将长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点B的位置， AB与 CD 交于点 E.（1）
4、试找出一个三角形与 AED 全等，并加以证明.（2）若 AB=8， D E=3， P 为线段 AC 上的任意一点， PG AE 于 G， PH EC 于 H， PG+PH 的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。例 7 已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1 ）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ， QE 与 QF 的数量关系是 ； （2 ）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与
5、QF 的数量关系， 并给予证明； （3 ）如 图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明BC DEF A OCEBDA复习作业：解答题1.（1）如下图，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B，C 的距离 分别为 3，4 ，5，则APB=_ _。分析：由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处，此时ACP_这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB 的度数。（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知 如右图，ABC 中，
6、CAB=90，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且EAF=45，求证：EF 2=BE2+FC2 。2.如图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， ABC BAD求证：（1） OA=OB；（2） AB CD3.如图所示， ABC ADE，且 CAD=10， B= D=25， EAB=120，求 DFB 和 DGB 的度数4.如图所示，已知 AEAB ，AF AC ，AE=AB，AF =AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC BF .5.已知：如图，AB=AE ,1= 2,B=E.求证：BC=ED.6.如图所示，在ABC 中，AB=A C，BDAC 于 D，CEAB 于
7、 E，BD，CE 相交于 F.求证：AF 平分BAC.7.ABC 中， ACB90 ，ACBC 6，M 点在边 AC 上，且 CM2，过 M 点作AC 的垂线交 AB 边于 E 点.动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 M 点运动，速度为每秒 1 个单位，当动点 P 到达M 点时，运动停止 .连接 EP，EC.在此过程中， 当 t 为何值时，EPC 的面积为 10？ 将EPC 沿 CP 翻折后，点 E 的对应点为 F 点，当 t 为何值时， PFEC？8.在 ABC 中 ， ABC 90， 分 别 以 边 AB、 BC、 CA 向 ABC 外 作 正 方 形 ABHI、 正 方 形 BCGF
8、、 正 方 形 CAED，连 接 GD， AG， BD. 如图 1，求证：AG BD. 如图 2，试说明：S ABC S CDG .（ 提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）图 1图 2BEMPFABMPACBFGEDIHACBFGEDIH全等三角形单元测试题姓名 班级 得分 一、填空题(410=40 分)1、在ABC 中，ACBCAB，且ABCDEF，则在DEF 中，_(填边)。2、已知：ABCAB C，A=A ，B= B，C=70，AB=15cm ，则C =_，AB=_。3、如图 1，ABDBAC，若 AD=BC，则BAD 的对应角是_。4、如图 2，在ABC 和FED，AD=FC ，
9、AB=FE，当添加条件_时，就可得到ABCFED。(只需填写一个你认为正确的条件 )5、如图 3，在ABC 中，AB=AC ，ADBC 于 D 点，E、F 分别为 DB、DC 的中点，则图中共有全等三角形_对。6、如图 4，BE，CD 是ABC 的高，且 BDEC ，判定BCDCBE 的依据是 AD ECB图 47、如图 5，ABC 中，C=90，CDAB 于点 D，AE 是BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于3cm，则 CF= cm.8、如图 6，在ABC 中，AD= DE，AB=BE，A=80，则 CED=_9、P 是AOB 平分线上一点，CDOP 于 F，并分别交 OA、OB
10、于 CD，则 CD_P 点到AOB 两边距离之和。 （填“” ， “”或“= ”）10、AD 是ABC 的边 BC 上的中线，AB12，AC8，则中线 AD 的取值范围是 二、选择题：(每小题 5 分，共 30 分)11、下列命题中：形状相同的两个三角形是全等形；在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个AB CDE图 1 图 2 图 3图 5 图 612、如图 7，已知点 E 在ABC 的外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于 F，若1= 2=3，AC
11、=AE，则有( )A、ABDAFD B、AFEADCC、AEF DFC D、ABCADE13、下列条件中，不能判定ABCAB C的是( )A、AB=A B，A=A，AC=A CB、AB=AB，A=A ，B= BC、AB=AB，A=A ，C= CD、A= A ，B=B ，C= C14、如图 8 所示， ， ， ，结论：90EFAEF； ； ；EMFNNMNBM 其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 15、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同 三角形与镜面合同三角形，假设ABC 和A 1B1C1 是全等 (合同)三角形，点A 与点 A1 对应，点 B 与点
12、 B1 对应，点 C 与点 C1 对应，当沿周界 AB CA，及 A1B 1A 1 环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图 9)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形 (如图10)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180(如图 11)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是 ( )16、如图 12，在ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=64，且 BD：CD=9：7，则点 D 到 AB 边的距离为 ( )A、18 B、32 C、28 D、24三、解答下列各题：(17-
13、18 题各 8 分，19-22 题各 10 分，23 题-24 题各 12 分，共 80 分)17、如图 13，点 A、B、C、D 在同一条直线上，AB=DC，AE/DF，AE=DF，求证：EC=FB18、如图 14，AE 是BAC 的平分线，AB=AC。若点 D 是 AE 上任意一点，则ABDACD；若点D 是 AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？试说明你的猜想。AC D B图 12E CBDFA图 7图 8图 1319、如图 15，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处 B 点 700 米，如果你是红方的指挥员，请你在图 16
14、 所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明画法和理由。20、如图 17，A、B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从 B 点出发沿河岸画一条射线 BF，在 BF 上截取 BC=CD，过 D 作 DEAB，使 E、C、A 在同一直线上，则 DE 的长就是 A、B 之间的距离，请你说明道理。BACDEAB图 14图 16 图 15图 1721、如图 18，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DF AC 于 F，ABC 面积是 28，AB=20cm，AC=8cm，求 DE 的长。2cm22、如图 19，AD 平分BAC，DE AB 于 E，DFAC 于 F，且 DB=DC，求证：EB=FCAEB D CF图 18图 1923、如图 20，AB=CD，AD=CB，求证：B=D24、如图 21，ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G 点，DEDF，交 AB 于点 E，连结 EG、EF求证：BG=CF请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。EDCBA图 20图 21
