1、1高中数学必修五知识点总结解直角三角形.2数列.5不等式.112解三角形复习知识点一、知识点总结【正弦定理】1正弦定理: (R 为三角形外接圆的半径).2sinisinabcABC2.正弦定理的一些变式：； ；icsi,sin,si2abABCRc；（4）sin,2si,aRbR2inii3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1余弦定理： 2222cosabAaBcC2.推论： .22oscosAbacBCb设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：abcAC若 ，则 ；22
2、90若 ，则 ；若 ，则 22abcC3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c, 31. （其中 为三角形内切圆半径）11sin()22aShbCrabcr2.设 ,)(cp)(cppS【三角形中的常见结论】（1） (2) CBAsin()si,ABCco()cos,ABCtan()tan, ; ,2cossi2siCBAcosi（3）若 CcbaCBnsin若 iini A（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于 ，最小角小
3、于等于6060(6) 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形 最大角是钝角 最大角的余弦值为负值（7） 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 .ABC 60B(8) 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.二、题型汇总题型 1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2 ）在 中，由余弦定理可知:ABC22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角
4、 形是 锐 角abc是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角A是 锐 角 三 角 形(3) 若 ，则 A=B 或 .2sini2B例 1.在 中， ，且 ，试判断 形状.ABCbcos abcab3)(ABC4题型 2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例 2.在 中， ， ， ，求 的值ABC1a3b0A例 3.在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， , cba,23C（）若 的面积等于 ，求 ；3,（）若 ，求 的面积ABC2sin)(siniB题型 3【证明等式成立
5、】证明等式成立的方法：（1）左 右， （2 ）右 左， （3）左右互相推.例 4.已知 中，角 的对边分别为 ，求证： .ABC, cba, BcCbaos题型 4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110，航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？5数列知识点 1. 等差数列的定义与性质定义： 1nad（ 为常数） ， 1nad等差中项
6、： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和 112nnSad性质： na是等差数列（1）若 mpq，则 mnpqaa；（2）数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为1212,n等差数列，公差为 ；d（3）若三个成等差数列，可设为 ad， ，（4）若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb（5） n为等差数列 2nSab（ ， 为常数，是关于 n的常数项为0 的二次函数） nS的最值可求二次函数 2n的最值；或者求出 na中的正、负分界项，即：当 10ad， ，解不等式组 10na可得 nS达到最大值时的 值. 当 1， ，由 10na可得 nS达
7、到最小值时的 值. (6)项数为偶数 的等差数列 n， 有2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项 nnnn aaaaS， .d奇偶 1nS偶奇6（7）项数为奇数 的等差数列 na， 有12n，)()(12为 中 间 项naS， .n偶奇 1S偶奇2. 等比数列的定义与性质定义： 1naq（ 为常数， 0q） ， 1naq.等比中项： xGy、 、 成等比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS（要注意！）性质： na是等比数列（1）若 mpq，则 mnpqa（2） 232nnSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq注意：由 求 a时应注意什么？1时， 1；2n时
8、， 1nnS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na， 12125naa，求 na解 时， 52， 14 n时， 12n 得： 2na， 1n， 1()2na练习数列 n满足 11543nnS， ，求 na7注意到 1nnaS，代入得 14nS；又 1S， n是等比数列，4nS2时， 1134nnnaS（2）叠乘法如：数列 n中， 11na， ，求 na解 321123na， 1n又 13， na.（3）等差型递推公式由 110()nafa， ，求 n，用迭加法2时，231()nfaf两边相加得 1(2)3()naffn 0()()nff练习数列 n中， 1132naa，
9、，求na（ 132）（4）等比型递推公式 1ncd（ 、 为常数， 010cd， ， ）可转化为等比数列，设 1nnnaxxacx令 (1)cxd， 1c， 1nc是首项为 1， 为公比的等比数列 11nnacc， 11nndac（5）倒数法8如： 112nnaa， ，求 n由已知得： 11nn， 12na na为等差数列， 1a，公差为 ， 12nn， 21(附：公式法、利用 、累加法、累乘法.构造等差或等比1(2)nSnna或 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归1nnapq1pf纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互
10、为相反数的项. 如： na是公差为 d的等差数列，求 1nka解：由 1 10kkkda 1111231nnkkk naddaaa 1nd练习求和： 112323nnnaS，（2）错位相减法9若 na为等差数列， nb为等比数列，求数列 nab（差比数列）前 n项和，可由 Sq，求 nS，其中 q为 的公比. 如： 23114nnxx nx x 21nnSxx1x时， 21nn， 时， 1232n nS（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 1212nnnSaa相加 1211nnnnSaaa练习已知 2()xf，则111(1)2(3)(4)ffff由2222() 111
11、xxfx原式 1()2(3)(4)322ffff(附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列a n，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“ 倒序相加法” 。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确10定公式适用于这个数
12、列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列a nbn中，a n成等差数列，b n成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列a n满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。不等式知识点归纳一、两实数大小的比较： ； ； 0ab0ab0ab
