1、高中数学解析几何压轴题专项拔高训练一选择题（共 15 小题）1已知倾斜角 0 的直线 l 过椭圆 （ab0）的右焦点交椭圆于 A、B 两点，P 为右准线上任意一点，则APB 为（ ）A钝角 B 直角 C 锐角 D都有可能考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据题设条件推导出以 AB 为直径的圆与右准线相离由此可知APB 为锐角解答： 解：如图，设 M 为 AB 的中点，过点 M 作 MM1 垂直于准线于点 M1，分别过 A、B 作 AA1、BB 1 垂直于准线于 A1、B 1 两点则以 AB 为直径的圆与右准线相离APB 为锐角点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应
2、用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果2已知双曲线 （a0，b0）的右焦点为 F，右准线为 l，一直线交双曲线于 PQ 两点，交 l 于 R点则（ ）APFRQFR B PFR=QFRC PFRQFR DPFR 与AFR 的大小不确定考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析：设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1，d 2，垂足分别为 M，N，则 PNMQ， = ，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出 RF 是PFQ 的角平分线，所以PFR= QFR解答： 解：设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1，d 2，垂足分别为 M，N，则 PNMQ， =
3、 ，又由双曲线第二定义可知 ， ， ， ，RF 是PFQ 的角平分线，PFR=QFR故选 B点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解3设椭圆 的一个焦点为 F，点 P 在 y 轴上，直线 PF 交椭圆于 M、N，则实数 1+2=（ ）AB C D考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析： 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（xc） 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（b 2+a2k2）x 22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得 1+
4、2 的值解答： 解：设 M，N，P 点的坐标分别为 M（x 1，y 1） ，N （x 2， y2） ，P（0，y 0） ，又不妨设 F 点的坐标为（c，0） 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x c） 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（ b2+a2k2）x 22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0 ， 又 ，将各点坐标代入得 ，= 故选 C点评： 本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用4中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C1 的离心率为 e，直线
5、l 与双曲线 C1 交于 A，B 两点，线段 AB 中点 M在一象限且在抛物线 y2=2px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，则 l 的斜率为（ ）AB e21 C De2+1考点： 圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线的定义，确定 M 的坐标，利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入，即可求得结论解答： 解： M 在抛物线 y2=2px（p 0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，M 的横坐标为 ，M（ ， p）设双曲线方程为 （a0，b0） ，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则，两式相减，并将线
6、段 AB 中点 M 的坐标代入，可得故选 A点评： 本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题5已知 P 为椭圆 上的一点，M，N 分别为圆（x+3） 2+y2=1 和圆（x 3） 2+y2=4 上的点，则|PM|+|PN| 的最小值为（ ）A5 B 7 C 13 D15考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析：由题意可得：椭圆 的焦点分别是两圆（x+3） 2+y2=1 和（x 3） 2+y2=4 的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案解答：解：依题意可得，椭圆 的焦点分别是两圆（x+3） 2+y2=1 和（
7、x 3） 2+y2=4 的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN| ） min=2512=7，故选 B点评： 本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用6过双曲线 =0（b0，a0）的左焦点 F（c ，0） （c0） ，作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D考点： 圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析： 由 = （ + ） ，知 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，则 O 为 FF的中点，则 PF=2OE=a，能推导出在R
8、tPFF中，PF 2+PF2=FF2，由此能求出离心率解答： 解： 若 = （ + ） ，E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，则 O 为 FF的中点，则 PF=2OE=a，E 为切点，OEPFPFPFPFPF=2aPF=PF+2a=3a在 RtPFF中， PF2+PF2=FF2即 9a2+a2=4c2离心率 e= = 故选：A点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件7设椭圆 的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与椭圆在 x 轴上方部分交于 M、N 两点，则 的值为（ ）AB C D考点： 圆与圆锥曲线的综
9、合菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，则 M、N 重合（设为 M） ，此时 A 为椭圆的右焦点，由此可知 = ，从而能够得到结果解答： 解：若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，则 M、N 重合（设为 M） ，此时 A 为椭圆的右焦点，则= = 故选 A点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点8已知定点 A（1，0）和定直线 l：x=1，在 l 上有两动点 E，F 且满足 ，另有动点 P，满足（O 为坐标原点） ，且动点 P 的轨迹方程为（ ）Ay2=4x B y2=4x（x
10、0） C y2=4x D y2=4x（ x0）考点： 圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 设 P（x，y） ，欲动点 P 的轨迹方程，即寻找 x，y 之间 的关系式，利用向量间的关系求出向量 、 的坐标后垂直条件即得动点 P 的轨迹方程解答： 解：设 P（x，y） ，E（ 1，y1） ，F（1，y 2） （y 1，y 2 均不为零）由 y1=y，即 E（ 1，y） 由 由 y2=4x（x0） 故选 B点评： 本题主要考查了轨迹方程的问题本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程9已知抛物线过点 A（1，0） ，B（1，0） ，且以圆 x2+y2=4 的
11、切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（ ）A + =1（y0）B+ =1（y0）C =1（y0）D =1（y0）考点： 圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析： 设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得 a 和 b 的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B 到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得 x 和 y 的关系式解答： 解：设切线 ax+by1=0，则圆心到切线距离等于半径 =2 ，a2+b2=设抛物线焦点为（x，y） ，根据抛物线定义可得平方相加得：x 2+1+y2=4（a 2+1）平方相减得：x=4a， 把代入可得
12、：x 2+1+y2=4（ +1）即：焦点不能与 A，B 共线y0抛物线的焦点轨迹方程为故选 B点评： 本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键10如图，已知半圆的直径|AB|=20，l 为半圆外一直线，且与 BA 的延长线交于点 T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N 与直线 l 的距离|MP| 、|NQ|满足条件 ，则|AM|+|AN|的值为（ ）A22 B 20 C 18 D16考点： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为 y 轴，可得半圆方程为（x
13、12） 2+y2=100，根据条件得出M，N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案解答： 解：以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为 y 轴，可得半圆方程为（x12） 2+y2=100 又 ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，M，N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上；以 AT 的垂直平分线为 y 轴，TA 方向为 x 轴建立坐标系，则有抛物线方程为 y2=8x（y0） ，联立半圆方程和抛物线方程，消去 y 得：x 216x+44=0x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+
14、|NQ|=x1+x2+4=20故选 B点评： 本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题11椭圆 与双曲线 有公共的焦点 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则 cosF1PF2=（ ）AB C D考点： 圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF 1|= ，|PF 2|= ，再利用余弦定理，即可求得结论解答： 解：不妨令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2 由椭圆的定义|PF 1|+|PF2
15、|=2 由可得|PF 1|= ，|PF 2|=|F1F2|=4cosF1PF2= =故选 A点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键12曲线 （|x|2）与直线 y=k（x2）+4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是（ ）AB （ ，+） C D考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 如图，求出 BC 的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线 BE 的斜率 k，由题意可知，kkK BC，从而得到实数 k 的取值范围解答： 解：曲线 即 x2+（y1） 2=4， （y1） ，表示以 A（0，1）为圆心，以 2 为半径的圆位
16、于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线 y=1 的交点 C 和 D） ，是一个半圆，如图：直线 y=k（x 2）+4 过定点 B（2，4） ，设半圆的切线 BE 的切点为 E，则 BC 的斜率为 KBC= = 设切线 BE 的斜率为 k，k0，则切线 BE 的方程为 y4=k（x 2） ，根据圆心 A 到线 BE 距离等于半径得 2= ，k= ，由题意可得 kk KBC， k ，故选 A点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断k kKBC，是解题的关键13设抛物线 y2=12x 的焦点为 F，经过点 P（1，0）的直线 l 与
17、抛物线交于 A，B 两点，且 ，则|AF|+|BF|=（ ）AB C 8 D考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 根据向量关系，用坐标进行表示，求出点 A，B 的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|解答： 解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则P（ 1，0） =（1 x2，y 2） ， =（x 11，y 1） ，2（ 1x2，y 2）=（x 11，y 1）将 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）代入抛物线 y2=12x，可得 ，又 2y2=y14x2=x1 又 x1+2x2=3解得|AF|+|BF|=故选 D点评： 本题
18、重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点 A，B 的横坐标14已知双曲线 上的一点到其左、右焦点的距离之差为 4，若已知抛物线 y=ax2 上的两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）关于直线 y=x+m 对称，且 ，则 m 的值为（ ）AB C D考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析： y1=2x12，y 2=2x22，A 点坐标是（x 1，2x 12） ，B 点坐标是（x 2，2x 22） A，B 的中点坐标是（ ，） 因为 A，B 关于直线 y=x+m 对称，所以 A，B 的中点在直线上，且 AB 与直线垂直 = +m，由此能
19、求得 m解答： 解：y 1=2x12，y 2=2x22，A 点坐标是（x 1，2x 12） ，B 点坐标是（x 2，2x 22） ，A，B 的中点坐标是（ ， ） ，因为 A，B 关于直线 y=x+m 对称，所以 A，B 的中点在直线上，且 AB 与直线垂直 = +m， ，x12+x22 +m，x 2+x1= ，因为 ，所以 xx12+x22=（x 1+x2） 22x1x2= ，代入得 ，求得 m= 故选 B点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化15已知双曲线 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对
20、称，且 MN 的中点在抛物线 y2=9x 上，则实数m 的值为（ ）A4 B 4 C 0 或 4 D 0 或4考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题分析：根据双曲线 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对称，求出 MN 中点 P（ ， m） ，利用 MN的中点在抛物线 y2=9x 上，即可求得实数 m 的值解答： 解： MN 关于 y=x+m 对称MN 垂直直线 y=x+m，MN 的斜率1，MN 中点 P（x0，x 0+m）在 y=x+m 上，且在 MN 上设直线 MN：y= x+b， P 在 MN 上，x 0+m=x0+b，b=2x 0+m 由 消元可得：2x 2+2bxb23=0 Mx+Nx=b，x 0= ，b=MN 中点 P（ ， m）MN 的中点在抛物线 y2=9x 上，
