1、圆锥曲线(文科练习题）1.（2011 年东城区期末文 7）已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，且与2l2yaxF轴相交于点 ，若 （ 为坐标原点）的面积为 ，则抛物线方程为（ D ）yAOF4A B C 或 D 或24x28yx24yx2282yx2 （2011 年房山区期末文 7）已知双曲线 的一条渐近线方程是21(0,)ab，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ A ）3yx8yxA B C D 21213x214y214xy3 （2011 年朝阳期末文 7）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线与1F2椭圆相交，其中的一个交点为 ，若 为等腰直角三角形，则椭
2、圆的离心率是（ A P12）A B C D2127.（2011 年东城区期末文 13）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂1F2线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 P12F答案： 。 28 （2011 年西城期末文 13）已知双曲线 的离心率为 ，它的一个焦点与抛物21xyab2线 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_ _；渐近线方程为_.2yx答案： ， 。(,0)30y11 （2011 年海淀期末文 11）椭圆 的右焦点 的坐标为 .则顶点在原2156xyF点的抛物线 的焦点也为 ，则其标准方程为 . 答案： 。CF(3,0)21yx答案： , 。)05(1
3、20yx16.（2011 年东城区期末文 19）已知椭圆 的长轴长为 ，且点21(0)xyab4在椭圆上 （）求椭圆的方程；（）过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 两点，3(1,)2 l,AB若以 为直径的圆过原点，求直线 方程ABl解：（）由题意： ， 所求椭圆方程为 24a214xyb又点 在椭圆上，可得 所求椭圆方程为 5 分3(1,)1b2（）由（）知 ，所以 ，椭圆右焦点为 24,a3c(3,0)因为以 为直径的圆过原点，所以 AB0OAB若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 x直线 交椭圆于 两点， ，不合题意1(3,),)21304若直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 的方程为 A
4、BkAB(3)ykx由 可得 2(),40ykx222(14)8310x由于直线 过椭圆右焦点，可知 0设 ，则 ，12(,)(,)AxyB221214,4kkxx21212121233()k k所以 1 44kkOxy由 ，即 ，可得 0AB20k2,1所以直线 方程为 14 分l1(3)yx18 （2011 年房山区期末文 20）已知椭圆 （ab0）的离心率 ，椭圆上21yab32e任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 4设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，点A 的坐标为（ ，0） （）求椭圆的标准方程；（ ）若 ，求直线 l 的倾a 4|5AB斜角；()若点 Q 在线段 AB 的
5、垂直平分线上，且 ，求 的值0(,)y 4QBA0y解：（I）由题意可知 ，e ，得 ， ，解得 .-224a32cc22bac21b分所以椭圆的方程为 . -3 分1xy()由（I）可知点 A 的坐标是( 2,0).设点 B 的坐标为 ，直线 l 的斜率为1(,)xyk，则直线 l的方程为 .2)ykx于是 A、B 两点的坐标满足方程组 -4 分2()14ykx消去 y 并整理，得 . -5 分22(1)6()0k由 ，得 ，从而 . 2164x28x124ky所以 . -6 分22 24| kkAB由 ，得 .4|5215k整理得 ，即 ，解得 k= .-7 分23930k2()3)01所
6、以直线 l 的倾斜角为 或 . - 8 分4()设线段 AB 的中点为 M，由（II）得到 M 的坐标为 .以下分两22,14k种情况：(1)当 k 0 时，点 B 的坐标是 (2,0)，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是，由 ，得 .-10 分02,2,QAyyQAB0（2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为21844kyxk令 ，解得 . -11 分0x06y由 ， ，2,QA10,Bxy210 2228646411kkx ， -12 分42654k整理得 ，故 ，所以 . -13 分27k14702145y19.（2011 年东城区示范校考试文 19）已知 A（1，1）是椭圆
7、1（ ）2byax+0a上一点， 是椭圆的两焦点，且满足 （1）求椭圆的标准方程；12,F124F（2）设点 是椭圆上两点，直线 的倾斜角互补，求直线 的斜率,CD,ACDCD解：（1）由椭圆定义知 2 4，所以 2，2 分a即椭圆方程为 1 4 分byx+把（1，1）代人得 1 所以 b2= ，椭圆方程为 1 6 分2434234xy（2）由题意知，AC 的倾斜角不为 900, 故设 AC 方程为 y=k（x1）十 1, 7 分联立 消去 y，143)_(2=+yxk得（13k 2）x 26k（k1）x3k 26k10 8 分点 A（ 1，1） 、C 在椭圆上， xC 10 分3_62+kA
8、C、 AD 直线倾斜角互补， AD 的方程为 yk（x） 1，同理 xD 11 分2_361k又 yCk（x C1）1， y Dk（x D1）1，yCy Dk（ xC x D）2k 14 分3_=Cy21 （2011 年西城期末文 18）已知椭圆 （ ）的一个焦点坐标为2:1xab0ba，且长轴长是短轴长的 倍.（）求椭圆 的方程；（）设 为坐标原点，椭(1,0)2O圆与直线 相交于两个不同的点 ，线段 的中点为 ，若直线 的斜率C1ykx,ABP为，求 的面积.1OAB解：（）由题意得 ， 21,2cab分又 ，所以 ， . 3 分2ab22所以椭圆的方程为 . 4 分1xy（）设 ， ，
9、，(0,1)A1(,)B0(,)P联立 消去 得 （*） ， 6 分2xyky240kx解得 或 ，所以 ，0241k12所以 ， ， 8 分22(,)B22(,)kP因为直线 的斜率为 ，所以 ，OP11解得 （满足（ *）式判别式大于零） . 1012k分到直线 的距离为 ， 11:lyx25分， 12221()AB3分所以 的面积为 . 13 分O25223 （2011 年朝阳期末文 18）已知点 ， ，若动点 满足(4, 0)M(1, )NP6|MNP（）求动点 的轨迹 的方程；C（）设过点 的直线 交轨迹 于 ， 两点，若 ，求直线lAB181275ANB 的斜率的取值范围 .l解：
10、（）设动点 ，(, )Pxy则 ， ， . 2 分4, M(3, 0)N(1, )Pxy由已知得 ，22)(1(6)4(3yxx化简得 ，得 .2y3所以点 的轨迹 是椭圆， 的方程为 . 6 分PC142yx（）由题意知，直线 的斜率必存在，l不妨设过 的直线 的方程为 ，N()ykx设 ， 两点的坐标分别为 ， .AB1, A2, By由 消去 得 . 8 分2(1),43ykxy22(43)8410kxk因为 在椭圆内，所以 .N0所以 10 分21228,4.3kx因为 211212()()()NABxykx 2xk， 12 分2222 43)(9438)1( kk所以 . 解得 .2
11、897345k 21 所以 或 . 13 分1 3 24 （2011 年海淀期末理 19）已知点 在抛物线 上， 点到(1,)My2:Cypx(0)M抛物线 的焦点 F 的距离为 2，直线 与抛物线交于 两点.（）求抛C:l2xb,AB物线 的方程；（）若以 为直径的圆与 轴相切，求该圆的方程；（）若直线 与AB l轴y负半轴相交，求 面积的最大值.O解：（）抛物线 的准线为 ， .1 分2ypx(0)2px由抛物线定义和已知条件可知 ，|1(MF解得 ，故所求抛物线方程为 . .3 分2p24yx（）联立 ，消 并化简整理得 . 214yxb280yb依题意应有 ，解得 . .4 分630设
12、 ，则 ， .5 分12(,)(,)AxyB12128,yy设圆心 ，则应有 .0Q12004xy因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ， .6 分0|r又 .2222111112|()()(4)5()45(6432)ABxyyyyb所以 ， .7 分|56438rb解得 . .8 分8b所以 ，所以圆心为 .12124165xyb24(,)5故所求圆的方程为 . .9 分4()()5xy方法二：联立 ，消掉 并化简整理得 ， 214ybxy22(416)0xbx依题意应有 ，解得 . .4 分26()10b设 ，则 . .5 分12(,),AxyB212146,4xxb设圆心 ，则应有
13、 ，0Q00y因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 . .6 分x0|4r又 ，22221111125|()()()()5(6432)4ABxyxxxb又 ，所以有 ， .7 分|8r5638b解得 ， .8 分5b所以 ，所以圆心为 .12485x24(,)5故所求圆的方程为 . .9 分22()16xy（）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ，l 0b又 与抛物线交于两点，由（）知 ，所以 ，.10 分l 2直线 ： 整理得 ，12yxbxy点 到直线 的距离 ， .11 分Ol|5bd所以 . .12 分321|4242ABS b令 ， ，3()gb0b，24()3b(,4(,0)g 0 ()b极大由上表可得 最大值为 . .13 分()g432()7g所以当 时， 的面积取得最大值 . .14 分43bAOB39
