1、高等函数,第三章： 中值定理与导数的应用,高等数学-中值定理与导数的应用,1,一、罗尔(Rolle)定理,例如,高等数学-中值定理与导数的应用,2,几何解释:,高等数学-中值定理与导数的应用,3,证,高等数学-中值定理与导数的应用,4,高等数学-中值定理与导数的应用,5,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,高等数学-中值定理与导数的应用,6,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,高等数学-中值定理与导数的应用,7,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,高等数学-中值定理与导数的应用,8,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,高等数学
2、-中值定理与导数的应用,9,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,高等数学-中值定理与导数的应用,10,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,高等数学-中值定理与导数的应用,11,例2,证,高等数学-中值定理与导数的应用,12,例3,证,由上式得,高等数学-中值定理与导数的应用,13,三、柯西(Cauchy)中值定理,高等数学-中值定理与导数的应用,14,几何解释:,证,作辅助函数,高等数学-中值定理与导数的应用,15,高等数学-中值定理与导数的应用,16,例
3、4,证,分析:,结论可变形为,高等数学-中值定理与导数的应用,17,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,高等数学-中值定理与导数的应用,18,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,高等数学-中值定理与导数的应用,19,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,高等数学-中值定理与导数的应用,20,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,21,高等数学-中值定理与导数
4、的应用,22,高等数学-中值定理与导数的应用,23,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,24,定义,例如,高等数学-中值定理与导数的应用,25,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,高等数学-中值定理与导数的应用,26,证,定义辅助函数,则有,高等数学-中值定理与导数的应用,27,例1,解,例2,解,高等数学-中值定理与导数的应用,28,例3,解,例4,解,高等数学-中值定理与导数的应用,29,例5,解,高等数学-中值定理与导数的应用,30,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,
5、解,高等数学-中值定理与导数的应用,31,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,高等数学-中值定理与导数的应用,32,例8,解,步骤:,高等数学-中值定理与导数的应用,33,步骤:,例9,解,高等数学-中值定理与导数的应用,34,例10,解,例11,解,高等数学-中值定理与导数的应用,35,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,高等数学-中值定理与导数的应用,36,三、小结,高等数学-中值定理与导数的应用,37,思考题,高等数学-中值定理与导数的应用,38,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,高等数学-中值定
6、理与导数的应用,39,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,40,高等数学-中值定理与导数的应用,41,高等数学-中值定理与导数的应用,42,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,43,一、单调性的判别法,定理,高等数学-中值定理与导数的应用,44,证,应用拉氏定理,得,高等数学-中值定理与导数的应用,45,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,高等数学-中值定理与导数的应用,46,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的
7、某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,高等数学-中值定理与导数的应用,47,例2,解,单调区间为,高等数学-中值定理与导数的应用,48,例3,解,单调区间为,高等数学-中值定理与导数的应用,49,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,高等数学-中值定理与导数的应用,50,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,高等数学-中值定理与导数的应用,51,思考题,高等数学-
8、中值定理与导数的应用,52,思考题解答,不能断定.,例,但,高等数学-中值定理与导数的应用,53,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,高等数学-中值定理与导数的应用,54,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,55,高等数学-中值定理与导数的应用,56,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,57,高等数学-中值定理与导数的应用,58,一、函数极值的定义,高等数学-中值定理与导数的应用,59,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,高等数学-中值定理与导数的应用,60,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,
9、注意:,例如,高等数学-中值定理与导数的应用,61,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),高等数学-中值定理与导数的应用,62,求极值的步骤:,(不是极值点情形),高等数学-中值定理与导数的应用,63,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,高等数学-中值定理与导数的应用,64,图形如下,高等数学-中值定理与导数的应用,65,定理3(第二充分条件),证,高等数学-中值定理与导数的应用,66,例2,解,图形如下,高等数学-中值定理与导数的应用,67,注意:,高等数学-中值定理与导数的应用,68,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,高等数学-中值定理与导数的应用,69,三、小结
10、,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),高等数学-中值定理与导数的应用,70,思考题,下命题正确吗？,高等数学-中值定理与导数的应用,71,思考题解答,不正确,例,高等数学-中值定理与导数的应用,72,在1和1之间振荡,故命题不成立,高等数学-中值定理与导数的应用,73,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,74,高等数学-中值定理与导数的应用,75,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,76,一、最值的求法,高等数学-中值定理与导数的
11、应用,77,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),高等数学-中值定理与导数的应用,78,二、应用举例,例1,解,计算,高等数学-中值定理与导数的应用,79,比较得,高等数学-中值定理与导数的应用,80,例2,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,高等数学-中值定理与导数的应用,81,解,(1)建立敌我相距函数关系,
12、敌我相距函数,得唯一驻点,高等数学-中值定理与导数的应用,82,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,高等数学-中值定理与导数的应用,83,例3,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,高等数学-中值定理与导数的应用,84,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,高等数学-中值定理与导数的应用,85,例4,高等数学-中值定理与导数的应用
13、,86,解,如图,高等数学-中值定理与导数的应用,87,解得,高等数学-中值定理与导数的应用,88,三、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,高等数学-中值定理与导数的应用,89,思考题,高等数学-中值定理与导数的应用,90,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,高等数学-中值定理与导数的应用,91,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,92,高等数学-中值定理与导数的应用,93,高等数学-中值定理与导数的应用,94,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,95,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲
14、线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,高等数学-中值定理与导数的应用,96,定义,高等数学-中值定理与导数的应用,97,二、曲线凹凸的判定,定理1,高等数学-中值定理与导数的应用,98,例1,解,注意到,高等数学-中值定理与导数的应用,99,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,高等数学-中值定理与导数的应用,100,方法1:,高等数学-中值定理与导数的应用,101,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,高等数学-中值定理与导数的应用,102,高等数学-中值定理与导数的应用,103,方法2:,例
15、3,解,高等数学-中值定理与导数的应用,104,注意:,高等数学-中值定理与导数的应用,105,例4,解,高等数学-中值定理与导数的应用,106,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,高等数学-中值定理与导数的应用,107,思考题,高等数学-中值定理与导数的应用,108,思考题解答,例,高等数学-中值定理与导数的应用,109,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,110,高等数学-中值定理与导数的应用,111,练习题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,112,高等数学-中值定理与导数的应用,113,一、渐近线,定义:,1.铅直渐
16、近线,高等数学-中值定理与导数的应用,114,例如,有铅直渐近线两条:,高等数学-中值定理与导数的应用,115,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,高等数学-中值定理与导数的应用,116,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,高等数学-中值定理与导数的应用,117,注意:,例1,解,高等数学-中值定理与导数的应用,118,高等数学-中值定理与导数的应用,119,高等数学-中值定理与导数的应用,120,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,高等数学-中值定理与导数的应用,121,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,高等数学-
17、中值定理与导数的应用,122,三、作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,高等数学-中值定理与导数的应用,123,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,高等数学-中值定理与导数的应用,124,作图,高等数学-中值定理与导数的应用,125,高等数学-中值定理与导数的应用,126,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,高等数学-中值定理与导数的应用,127,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,高等数学-中值定理与导数的应用,128,高等数学-中值定理与导数的应用,129,例4,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降
18、区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,高等数学-中值定理与导数的应用,130,拐点,极大值,极小值,高等数学-中值定理与导数的应用,131,高等数学-中值定理与导数的应用,132,四、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,高等数学-中值定理与导数的应用,133,思考题,高等数学-中值定理与导数的应用,134,思考题解答,高等数学-中值定理与导数的应用,135,练 习 题,高等数学-中值定理与导数的应用,136,练习题答案,第三章习题课,高等数学-中值定理与导数的应用,137,Rolle定理,Lagrange
19、中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,一、主要内容,高等数学-中值定理与导数的应用,138,1、罗尔中值定理,高等数学-中值定理与导数的应用,139,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,高等数学-中值定理与导数的应用,140,3、柯西中值定理,推论,高等数学-中值定理与导数的应用,141,4、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,高等数学-中值定理与导数的应用,142,5、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定
20、法,高等数学-中值定理与导数的应用,143,定义,(2) 函数的极值及其求法,高等数学-中值定理与导数的应用,144,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,高等数学-中值定理与导数的应用,145,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),高等数学-中值定理与导数的应用,146,求极值的步骤:,高等数学-中值定理与导数的应用,147,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个
21、就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,高等数学-中值定理与导数的应用,148,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,高等数学-中值定理与导数的应用,149,高等数学-中值定理与导数的应用,150,定理1,高等数学-中值定理与导数的应用,151,方法1:,方法2:,高等数学-中值定理与导数的应用,152,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,高等数学-中值定理与导数的应用,153,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
22、;,第五步,高等数学-中值定理与导数的应用,154,例1,解,二、典型例题,高等数学-中值定理与导数的应用,155,这就验证了命题的正确性.,高等数学-中值定理与导数的应用,156,例2,解,高等数学-中值定理与导数的应用,157,例3,证,由介值定理,高等数学-中值定理与导数的应用,158,注意到,由, 有,+ ,得,高等数学-中值定理与导数的应用,159,例4,证,高等数学-中值定理与导数的应用,160,例5,证,高等数学-中值定理与导数的应用,161, ,则有,高等数学-中值定理与导数的应用,162,例6,解,奇函数,高等数学-中值定理与导数的应用,163,高等数学-中值定理与导数的应用,164,列表如下:,高等数学-中值定理与导数的应用,165,极大值,拐点,极小值,高等数学-中值定理与导数的应用,166,作图,高等数学-中值定理与导数的应用,167,测 验 题,高等数学-中值定理与导数的应用,168,高等数学-中值定理与导数的应用,169,高等数学-中值定理与导数的应用,170,高等数学-中值定理与导数的应用,171,高等数学-中值定理与导数的应用,172,高等数学-中值定理与导数的应用,173,高等数学-中值定理与导数的应用,174,高等数学-中值定理与导数的应用,175,测验题答案,高等数学-中值定理与导数的应用,176,
