1、1数列的求和1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： dnanSn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式 （切记：公比含字母时一定要讨论）)(1qann2公式法： 2221 (1)36nk n 23331 (1)nk n 3错位相减法：比如 ., 21的 和求等 比等 差 nnn babaa4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； 1)( 11()(2)2nn)12)12(nn !)1(!n（三）例题分析：例 1求和： 个nnS 222 )1()1()( nxxx求数列 1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前
2、 n 项和 S思路分析：通过分组，直接用公式求和。解： )10(9102kkka个 )()()1()091 22 nSnn 81099)10( nn 1242nn xxx nn )()( 2242（1）当 时，1x nxxxS nnn 2)1(1(1) 222 2（2）当 nSx4,1时 kkkkkka 2352)3()1()(12()12()( )1(6523)521 nnnaSnn )(6总结：运用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比 讨论。1q或2错位相减法求和例 2已知数列 ，求前 n 项和。)0()12(,5,31aan思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1 与等比
3、数列 对应项积，可用错位120,na相减法求和。解： )2(53112nn aaS 2)(5332nnaS nnS )1(21)(: 13当 nnnaa)()(,121时 21)()anS当 2,Sn时3.裂项相消法求和例 3.求和 )12(53412nn思路分析:分式求和可用裂项相消法求和 .解: )12(1)2()()2(2 kkkkak 12)(51311 nnnnaSn 练习:求 答案: nn32 )1()1(2)(2aaSnn4.倒序相加法求和例 4 求证： nnnn CC)()12(53210 思路分析：由 可用倒序相加法求和。m3证：令 )1()2(53210 nnn CCS则
4、)2(35)()2( 01nnn mnCnnn ()(:)1 10 有等式成立nn CCS)(210 1a n是首项 a11，公差为 d3 的等差数列，如果 an2 005，则序号 n 等于( )解析：由题设，代入通项公式 ana 1(n1)d，即 2 00513(n1)，n6992在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3a 4a 5解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列a n的公比为 q(q0)，由题意得 a1a 2a 321，即 a1(1qq 2)21，又 a13，1qq 27解得 q2 或 q3(不合题意，舍去)，a 3a 4a 5
5、a 1q2(1qq 2)32 27843如果 a1，a 2，a 8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，则( B )Aa 1a8a 4a5 Ba 1a8a 4a5 Ca 1a 8a 4a 5 Da 1a8a 4a5解析：由 a1a 8a 4a 5，排除 C又 a1a8a 1(a17d)a 127a 1d，a 4a5(a 13d)(a 14d)a 127a 1d 12d 2a 1a84已知方程(x 22x m)(x 22xn)0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则41mn等于( C )解法 1：设 a1 ，a 2 d，a 3 2d，a 4 3d，而方程 x22xm0 中两根之和为41112
6、，x 22xn0 中两根之和也为 2，a 1a 2a 3a 416d4，d ，a 1 ，a 4 是一个方程的两个根，a 1 ，a 3 是另一个方程的两个根7 5 ， 分别为 m 或 n， m n ，故选 C6752f2：设方程的四个根为 x1，x 2，x 3，x 4，且 x1x 2x 3x 42，x 1x2m，x 3x4n由等差数列的性质：若 spq，则 aa sa pa q，若设 x1 为第一项，x 2 必为第四项，则x2 ，于是可得等差数列为 ， ， ， ，m ，n ，m n 47454765145等比数列a n中，a 29，a 5243，则a n的前 4 项和为S 4 120315240
7、a 29，a 5243， q 3 27， q3，a 1q9，a 13，2546若数列a n是等差数列，首项 a10，a 2 003a 2 0040，a 2 003a2 0040，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是( ) 4 005 4 006 4 007 4 008 解法 1：由 a2 003a 2 0040， a2 003a2 0040，知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数，又 a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故 a2 003a 2 004，即 a2 0030，a 2 0040.S 4 006 0，60641)(403)(S 4 007 (a1a
8、4 007) 2a2 0040，277故 4 006 为 Sn0 的最大自然数. 选 B解法 2：由 a10，a 2 003a 2 0040，a 2 003a2 0040， 同解法 1 的分析得 a2 0030，a 2 0040，S 2 003 为 Sn 中的最大值S n 是关于 n 的二次函数，如草图所示，2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小， 在对称轴的右侧074根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧 零点 B 的左侧，4 007，4 008 都在其右侧，S n0 的最大自然数是 4 0067已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4
9、成等比数列, 则 a2826a n是等差数列，a 3a 14，a 4a 16，又由 a1，a 3，a 4 成等比数列，(a 14) 2a 1(a16)，解得 a18，8设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 ( )35959S 159S2)(51935a99已知数列1，a 1，a 2，4 成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，则 设 d 和 q21ba分别为公差和公比，则413d 且4(1)q 4，d1，q 22， 21b2d(第 6 题)510在等差数列a n中，a n0，a n1 a n1 0(n2)，若 S2n1 38，则 n( 10 )2a n为等差数列，
10、 a n1 a n1 ， 2a n，又 an0，2a n2，a n为常数数列，而 an ，即 2n1 19，2S3811设 f(x) ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(5)f (4)2xf(0)f(5)f(6) 的值为 .f(x) ，f(1x ) ，2x 21xx2x1f(x)f(1x) xxxx)(2设 Sf(5)f(4)f(0)f (5)f(6)，则 Sf(6)f(5)f(0)f (4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f (4)f(5) f(6)6 ，2Sf(5)f(4)f(0)f (5)f(6)3 12已知等比数列a n中，(1)若 a3a4a58，则 a
11、2a3a4a5a6 由 a3a5 ，得 a42，a 2a3a4a5a6 322 54(2)若 a1a 2324，a 3a 436，则 a5a 6 ，a 5a 6(a 1a 2)q44916)(221q(3)若 S42，S 86，则 a17a 18a 19a 20 .，a 17a 18a 19a 20S 4q1632224482183qSa14在等差数列a n中，3(a 3a 5)2(a 7a 10a 13)24，则此数列前 13 项之和为 .a 3a 52a 4，a 7a 132a 10，6(a 4a 10)24，a 4a 104，S 13 2613)1042115在等差数列a n中，a 53
12、，a 62，则 a4a 5a 1049 da 6a 55，a 4a 5a 10 7(a 52d)710)(275(d17(1)已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 22n，求证数列a n成等差数列.6(2)已知 ， ， 成等差数列，求证 ， ， 也成等差数列.a1bcacbcba判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数证明：（1）n1 时，a 1S 1321，当 n2 时，a nS nS n1 3n 22n3(n1) 22(n1)6n5，n1 时，亦满足，a n6n5(nN* )首项 a11，a na n1 6n56(n1)56(常数)(nN*)，数列a
13、 n成等差数列且 a11，公差为 6（2） ， ， 成等差数列， 化简得 2acb(ac)bcb2ac1 2 ， ，aca22)( bca， 也成等差数列bc18设a n是公比为 q的等比数列，且 a1，a 3，a 2 成等差数列(1)求 q 的值；(2)设b n是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由（1）由题设 2a3a 1a 2，即 2a1q2a 1a 1q，a 10，2q 2q10，q1 或 （2）若 q1，则 Sn2n )(23n当 n2 时，S n bnS n1 0，故 Sn bn若 q ，则 Sn2n
14、( ) 21492当 n2 时，S n bnS n1 ，4故对于 nN +，当 2n9 时，S nb n；当 n10 时，S nb n；当 n11 时，S nb n19数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，a n1 Sn(n1，2，3)求证：数列 是等比数列Sa n1 S n1 S n， an1 Sn，(n2)S nn(S n1 S n)，整理得 nSn1 2(n1) S n，所以 故 是以 2 为公比的等比数列220已知数列a n是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列，S n 为其前 n 项和，a 1，2a 7，3a 4 成等差7数列，求证：12S 3，S 6，S 12S 6
15、 成等比数列.证明：由 a1，2a 7，3a 4 成等差数列，得 4a7a 13a 4，即 4 a1q6a 13a 1q3，变形得(4q 31)(q 31)0，q 3 或 q31(舍)由 ；362Sqa1)(36236 1 11q 61 ；612S62a)(61得 12S 3，S 6，S 12S 6 成等比数列312612方法四、数列通项 与前 项和 的关系nan1 inn aS13212 21ann题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们8的一个通项公式7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：将数列变形为 ，),10(),(972)
16、10(3, )10(97n将已知数列变为 1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得数列的通项公式为2)(1nna点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一9般规律，从而求得通项。题型二 应用 求数列通项)2(11nSann例2已知数列na的前项和 ，nS分别求其通项公式. 23nS解析：当 ，123,11San时当 )(),2nn时 13n10又 不适合上式，故 1a)2(3211nann三、利用递推关系求数列的通项【例 3】根据下列各个数列 的首项和递推关系，求其通项公式na 14,2121an解析：因为 ，所以 )12(1421 nnan所以 )3(12)53(234357a以上 个式相加得 1nan即：)2(1 241nan点拨：在递推关系中若 求 用累加法，若 求 用累乘法，若),(1fnn ),(1nfaa，求 用待定系数法或迭代法。qpann1n为 常 数 ）即 ：特 征 ： mknfadn,()()1是数列 成等差数列的充要条件。)为 常 数， （kna等差中项：若 成等差数列，则 称 的等差中项，且 ； 成等差数列是 的充要cba,bc与 2cabb, cab2条件。前 项和公式n
