1、赵鑫 1 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、 填空题 1.一阶导数 )sin5( xdxx （ xxsin5 ） 2.不定积分 )(arctan xd （ .arctan Cx ） 3 )(xf 的原函数是 ,ln2x 则 dxxfx )(3 （ Cx 2 ） 4设 ,cos1)( 2 xxf 则 dxxf )( （ Cx2cos1）， dxxfdxd )(（x2cos1） dxxf )( （ Cxtan ） 5设 ,)( cexedxxf xx则 dxxf )( （ Cxex ） 6过点 ），（ 10 且在横坐标为 x 的点处的切线斜率为 3x 的曲线方程为（ 141 4 xy ）
2、 7设 xxf 22 sin)(c os ，且 ,0)0( f 则 )(xf （ xx 221 ） 8设 )(xf 的一个原函数为 x1 ，则 )(xf （32x） 9 xdx c o s)1c o s1( 2（ Cxx coscos1 ） 二、计算题：求下列不定积分： 1 dxx xx 43 12 = Cxxx 43121345 34132454 2 dxxxx )11( 2= Cxx 41474 47 3 dxeexx 112 = Cxex 4 dxxx22 cossin 1= Cxx cottan 5. dxxx 3273 Cxxxdxx xxx 923313 )93)(3( 232 6
3、. dxx xx3 24 )1( Cxxxdxxxx 3431333131032 431333)( 赵鑫 2 7. dxxx )1( 1 22 dxxx xx )1( )1( 22 22 dxx 21 dxx 21 1 Cxx arctan18. dxx2sin2 Cxxdxx )s i n(212c o s19 xdx2cot Cxxdxx c o t)1(c s c 2 10. xdx2cos1 Cxx d xdxx c o t21c s c21s i n2 1 2211. dxxx 221 Cxxdxxdxdxxx arc t an1 11 11222 12. dxexx2 Ceedxe
4、 xx 2ln )2()2( 三、 求 ,1m ax )( 2xxf 的一个适合 1)0( F 的原函数。 解：1111)(22xxxxxxf ，135311113131)(33xxxxxxxF 换元积分法 填空题： 1设 ,)( 3xexf 则 dxx xf 3 )(ln （ Cx 331 ） 2设 ),()(F xfx 则 dxxxf sec )(sin （ CxF )(sin ） 3若 ,)()( cxFdxxf 则 dxxxf2sin )(cot（ CxF )(cot ） 4若 ,)( 2 cxdxxf 则 dxxfx )1( 32 （ 23)1(31 x ） 计算题：计算下列不定积分
5、 1 dxx3 31 = Cx 34)31(41 2 dxxx dx )1(= Cx arctan2 3 dxxx )1( 110= Cx x 1ln1011010 赵鑫 3 4 dxxx 2cos2 cos= Cx )s in32arc s in (215 dxxx 28 3= Cxx 4422ln28 16 dxxx 112= Cx 1arccos7 dxex11= Ceexx 1111ln2 8 xdx4tan = Cxxx tantan31 39. dxxx )ln1(1 Cxxdx 2 )ln1()ln1()ln1( 2 10. dxxx cossin 1dxxxdxxxdxxx x
6、x s i nc o sc o ss i nc o ss i n c o ss i n 22 Cx tanln 计算下列不定积分： 1 dxxx 231= Cxx 2232 12)1(32 2 dxxx xln1ln= Cxx ln12)ln1(32 23 3 xdxx 5tansec = Cxxx s e cs e c32s e c51 35 4 dxxx 1002)1(= Cxx 9897 )1(491)1(971 5 dxxx 1142 = Cxx 2 1ar ctan212 6 dxxx 3 23 1. = Cxx 342372 )1(83)1(143 7 dxxxx22cos2 co
7、ssin = Cxx c o s2c o sarc t an2赵鑫 4 第三节 分部积分法 填空题： 1 xdxln Cxxx ln ， dxx3ln（ Cxxx 3ln） 2若 )(xf 的一个原函数是 xe ，则 dxxxf )( （ Cexe xx ） 3若 xsin 是 )(xf 的一个原函数，则 dxxxf )( （ Cxxx sincos ） 4 xdxarctan （ Cxxx )1ln (21ar c t an 2） 二、计算题： 计算下列不定积分： 1. dxxsin ; 解：令 td tdxtxtx 2;, 2 则 dxxsin )c o sc o s(2c o s22s
8、i n t d tttttddttt Cxxxcttt s i n2c o s2s i n2c o s2 2. xdx 2ln xxdxx 22 lnln dxxxxxx 1ln2ln 2 xdxxx ln2ln 2 )lnln(2ln 2 xxdxxxx )12ln2ln 2 dxxxxxxx Cxxxxx 2ln2ln 2 3 xdxx 2ln = Cxxxxx 2323223 2716ln98ln32 4 dxxx )1ln( 2 = Cxxxx 22 1)1l n ( 5 xdxx 2sin = Cxxxx 2c o s212s i n41 2 6 dxxxx3sincos= Cxxx
9、 c o t21c s c2 2 7 dxx x2.2 = Cxx xxx 22ln 222ln 222ln 13228 dxxx )1(ln 2 = Cxxxxxxxx )1(ln21)1l n (22341)1l n ()1(21)1(ln21 22222 9 dxxx )12cos(2 赵鑫 5 = Cxxxxx )12s i n (41)12c o s (21)12s i n (21 2三、若 )(xf 的一个原函数是 xcos 求 : 1 dxxf )( ： 由 xcos 是 )(xf 的一个原函数，有 cxdxxf cos)( 2 dxxfx )( ： 由 xcos 是 )(xf
10、的一个原函数，可得 )(cosx )(xf ， xxf sin)( ， xxf cos)( 所以 dxxfxxfxx d fdxxfx )()()()( cxxx cossin 3 dxxfx )( ： cxfxfxdxxfxfxxfxddxxfx )()()()()()( cxxx sincos 四、 dxxnn sin1设求证：21 12s i n)1( c o s nnn nnxn x证明：因为nnnn InInxxI )1()1(s i nc o s 21 所以21 12s i n)1( c o s nnn nnxn x第四节 有理函数的积分 填空题 : 1若 3265 32 x Bx
11、 Axx x，则 .,BA 分别为（ -5， 6） 2若222 )1(1)1( 1 x Cx BxAxx则 CBA , 分别为 （ 1， -1， 1） 3用 tan2x 表示 xsin 和 xcos 为： xsin （2tan12tan22 xx） ， xcos （2tan12tan122xx ） 4 dxxxsin1cos =（ Cx sin1ln ） 5 dxxx 1 =（ Cxxx )11 11ln211(2） 赵鑫 6 二、计算题：求下列不定积分 1 dxxx x )5)(2( 32= Cxx 103ln 2 2 dxxxx x )3)(2)(1( Cxxx 3ln232ln21ln2
12、13 dxxx 22sin1 sin Cxx )t an2arc t an (214 dxxx 11 11 3613121326567 )1(6)1(3)1(2)1(23)1(56)1(76 xxxxxx Cxx 6131 )1a r c t a n (6)1(1l n 3 5 dxxx x 233= Cxxx )1(3 12ln921ln926 dxx 114= Cxxx a r c ta n2111ln417 14xdxCxx xxxx 12 12ln24 12 1arc t an22 1 222 8 11 xxdx Cxxxxxx )1l n (212 )1(2第五节 积分表的使用 计算
13、下列不定积分 1. dxxx )1(12 Cx xx 1ln12. dxx x 2)32( Cxx )32 332(l n413 dxx cos34 1 Cx )2t a n77a r c t a n (772 4. dxxdx 49 2 Cxx 493ln31 2赵鑫 7 第四章综合题 一、填空题 1设 xkxf 2tan)( 的一个原函数是 )2ln(cos32 x，则 k （ 34）； 2 xdxdxd 3sin（ x3sin ）； 3 xdxx t a n)1t a n1t a n 3（ Cxxx t ant anln4t an 4 ）； 4函数 )(xf 的一个原函数是x1，则 )(
14、xf （ 32x） 5设 )(xf 的一个原函数是 xsinln ，则 )(xf =（ xcot ） xdxfx )(cos =（ Cxxx s inco sco t ） 二 计 算 下 列 不 定 积 分1 xxd 3cos Cxxxdxxxdx 322 s i n31s i ns i n)s i n1(c o s)s i n1( ; 2. xdxx 24 12 xdxx 242 xdx 24 1 2)2(1121)4(4 1222 xdxxdx Cxx 2ar c t an21)4ln ( 2 3. tdtet 5 )(51)(51 555 dteteetd ttt )5(25151 55
15、 tdete tt ; 4. dxxx 3212 xdx )21(12 1 2 )21()21(1 121 2 xdx.21arc tan22 Cx 5. xdxx 3ln Cxxxd 43 ln41)(l nln 6. xdx 5ln 2 5ln5ln 22 xxdxx dxxxxxx 5255ln22 Cxxx 2ln 2 7. xdx2 解：令 td tdxtxtx 2, 2 则 )2(2ln 2222 ttx tdtd txd )22(2ln2 dtt tt Cx xx )2ln22(2ln2 赵鑫 8 8. xdex 11解：令22 12),1l n (,1 ttd tdxtxte
16、x 则xdex 11 tdttt 21 21 Ct arctan2 Ce x 1ar ctan2 9. xdx 241 1 Cxxdx 2arc s i n21)2()2(1 121 210. dxx )sin1( 2 )22c o s21(212 2c o s1 xxddxxdxxdx.2sin4123 Cxx 11. xxdx ln23 )lnln(52)(ln52 252525 xdxxxxxd )1ln(52 2525 dxxxxx Cxxx 2525 254ln52 12. dxxx2cos2 )c o s(212c o s1 xd xxxd xdxxx xxdx sin2141 2)s i ns i n(2141 2 x d xxxx Cxxx c o s21s i n2141 2 Cxxxx c o s21s i n2141 2 三 、设 dxexexdxxf xx 22)( 成立，试求 ).(xf 解：对等式 dxexexdxxf xx 22)( 两边同时求导，得到 222 2)( xxx exexexxf 将上式整理得 xexxxf x 2)( 2 ，故 .2)( 2xexxf
