1、实验六 特征值与特征向量 一实验目的 1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论； 2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法； 3.理解由差分方程 xk+1 = Axk 所描述的动力系统的长期行为或演化； 4.提高对离散动力系统的理解与分析能力 二问题描述 1.当捕食者 -被捕食者问题中的捕食参数 p 是 0.125 时，是确定该动态系统的演化（给出 Xk 的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化 ?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？ 2.在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个
2、种群的捕食率 -被捕食率矩阵为 A=0.4 0.3;-p 1.2 （ 1） 证明：如果捕食参数 p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。 （ 2） 证明：如果捕食率 p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。 （ 3）试求一个 P 值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？ 三问题分析 最简单的捕食者 -被捕食者模型可描述为 ： uk+1 =auk+bvk vk+1=-cuk+dvk 其中， uk 和 vk 分别指捕食者和被捕食者在 k 时刻（如第 k 个月）的数量。 a、 b、 c、 d 为正数。 记 xk+1=axk,其中 A=a b;
3、-p c.据此可求出 A 的特征值和对应的特征向量。再根据不同特征值的个数、绝对值大于 1 还是小于 1、是史特恒指还是负数特征值等情形，分析出系统的演化过程。 四实验过程 问题一 ： 第一步：求 A 的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得： A = 0.5 0.4-0.125 1.1; pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量 Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend); %对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda); lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc
4、 = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量 运行程序可得 A 的特征值为 lambda = 1.0000 0.6000 A 的特征向量 pc = -0.6247 -0.9701 -0.7809 -0.2425 将小数乘以相应倍数变成整数 V1=4 5, V2=4 1 P=4 4;5 1; P 1AP=1.00 0;0 0.60; 因为当 k 趋近于无穷大时， 0.6k 趋近于 0.所以 取 1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎 每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。 问题二： A=0.4 0.3;-
5、P 1.2; (1)当 P=0.325 时，类似问题一的结决方案，可求出 A 的特征向量与特征值如下： A = 0.4 0.3;-0.325 1.2; pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量 Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend); %对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda); lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量 运行程序可得 A 的特征值为 lambda = 1.0500 0.5500 A 的特征向量 pc =
6、 -0.4191 -0.8944 -0.9080 -0.4472 将小数乘以相应倍数变成整数 V1=5 11, V2=2 1 P=5 2;11 1; P 1AP=1.05 0;0 0.55; 由此可知，当 k 趋近于无穷大时， 0.55k 趋近于 0.所以 A 的特征值取 1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05 倍，即有 5%的增长率 .所以 xk 约为（ 5 11），即每 5 只猫头鹰对应着 6500只老鼠。 最终比值为 1300. （ 2） 当 P=0.5 时，类似问题一的结决方案，可求出 A 的特征向量与特征值如下： A = 0.4 0.3;-0.5 1.2;
7、 pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量 Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend); %对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda); lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量 运行程序可得 A 的特征值为 lambda = 0.9000 0.7000 A 的特征向量 pc = -0.5145 -0.7071 -0.8575 -0.7071 将小数乘以相应倍数变成整数 V1=5 3, V2=1 1 P=5 3;1 1; P
8、1AP=0.9 0;0 0.7; 因为所有的特征值得绝对值都小于 1，所以当 k 趋近于无穷大时， xk趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。 （ 3） 采用试值法取 p=0.4. 可求出 A 的特征向量与特征值如下： A = 0.4 0.3;-0.4 1.2; pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量 Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend); %对特征值的绝对值降序排列 temp = diag(lambda); lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值 pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量 运行程序可得 A 的特征值为 lambda = 1.0000 0.6000 A 的特征向量 pc = -0.4472 -0.8321 -0.8944 -0.5547 因为当 k 趋近于无穷大时， 0.6k 趋近于 0.所以取 1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。 五实验结论 1.用 Matlab 软件 可以方便的计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统 Xk+1=AXk 的演化过程。2.熟练掌握特征值与特征向量的运算
