1、高三数学第一次热身训练 第 1 页 共 4 页 江苏省建湖高级中学 2014 届第一次热身训练 数学试题 一、填空题：本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在 答题纸相应位置上 1 设集合 2 3 4 0A x x x ， 04B x x ，则 AB 2 复数 i (1 i)z （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 象限 3 函数 ( ) lg(2 )f x x的定义域为 4甲、乙两个学习小组各有 10 名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组 5已知某算法的伪代码如图所示，则可算得 ( 1) (e)ff 的值为 6一个袋中
2、装有 2 只红球、 3 只绿球，从中随机抽取 3 只球，则恰有 1 只红球的 概率是 7已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面 边长与侧棱长相等蚂蚁甲从 A 点沿表面经过棱 1BB ， 1CC 爬到点 1A ，蚂蚁乙从 B 点沿表面经过棱 1CC 爬到点 1A 如图，设 PAB， QBC ，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 8已知函数 212 , 1,() e , 1xxxfx x ，则不等式 ( ) 1fx 的解集是 9若过点 (3,4)P 的直线与圆 22( 2) ( 2) 4xy 相切，且与直线 10ax y 垂直，则实数 a 的值为 10已知 函数 ( ) sin( )f
3、x A x（ A ， ， 是常数， 0A ， 0 ） 的部分图象如图所示 若 ( ) 1f ， (0, )3 ，则 sin2 11设数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 na 和 nSn都是 公差为 ( 0)dd 的等差数列，则 1a 12已知 平面向量 a ， b ， e 满足 | | 1e ， 1ae ， 2be ， | | 2ab ，则 ab的最小值为 13已知 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 12()xx 是函数 3()f x x x图象上的两个不同点， 且在 A ， B 两点处的切线互相平行，则12xx 的取值范围为 14设等差数列 na 的公差为 d ，前
4、n 项和为 nS ，且 1 1a ， 24 24a ， 12 168S ， 则 29ad 的取值范围是 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 请在 答题纸指定区域 内作答 ， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15（本小题满分 14 分） 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，向量 (ta n ta n , 3 )ACm ，(tan tan 1,1)ACn ，且 /mn （ 1）求角 B ； （ 2）若 2b ，求 ABC 的面积的最大值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在梯形 ABCD 中， /AB CD ， AD DC
5、CB a ， o60ABC平面 ACEF 平面 ABCD ，四边形 ACEF 是矩形， AEa ，点 M 在线段 EF 上 （ 1）求证： BC 平面 ACEF ； （ 2）当 FM 为何值时， /AM 平面 BDE ？证明你的结论 x y O 3 712 3 （第 10 题图） M B A C D E （第 16 题图 ） F （第 5 题图） Read x If 0x Then ( ) lnf x x Else ( ) 2xfx End If Print ( )fx （第 7 题图） A B C Q R A1 P B1 C1 甲 乙5678984745669023948664310甲 乙（
6、第 4 题图） 高三数学第一次热身训练 第 2 页 共 4 页 17（本小题满分 14 分） 第 二 届 夏季青奥会 将 于 2014 年 8 月在 南京 市 举办 为 营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉 如图，该 花坛的边界是两个半径为 10 米的圆弧围成，两圆心 1O 、 2O 之间的距离为 10 米 （ 1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点 A ， B ， C ， D 均在圆弧上， 12OO AB 于点 M 设2AOM q? ，求矩形的宽 AB 为多少时，可使喷泉 ABCD 的面积最大； （ 2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为 2 米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷
7、泉变为两个全等的等腰三角形，其中 NA NB ， 2 4NO 米 若2 , 64A O M ppq?， 求喷泉的面积的取值范围 18（本小题满分 16 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2 F 作直线 l 与椭圆 C 交于点 M 、N （ 1）若椭圆 C 的离心率为 12 ，右准线的方程为 4x ， M 为椭圆 C 上顶点，直线 l 交右准线于点 P ，求 11PM PN 的值； （ 2）当 224ab时，设 M 为椭圆 C 上第一象限内的点，直线 l 交 y 轴于点 Q ， 11FM FQ ，证明：点 M 在定直线上 19（本小
8、题满分 16 分） 在数列 na ， nb 中，已知 1 2a ， 1 4b ，且 na ， nb ， 1na 成等差数列， nb ， na ， 1nb 也成等差数列 （ 1）求证： nnab 是等比数列； （ 2）设 m 是不超过 100 的正整数，求使1144nma m aa m a 成立的所有数对 ( , )mn 20（本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) ln ( )f x a x x c x c ， 0a ， 0c （ 1）当 34a ， 14c 时， 求 函数 ()fx的单调区间 ； （ 2）当 12ac时， 若 1()4fx 对 ( , )xc 恒成立，求实数 a 的取值范围
9、； （ 3） 设函数 ()fx的图象 在点 11( , ( )P x f x 、 22( , ( )Q x f x 两处的切线分别为 1l 、 2l 若1 2ax ，2xc ，且 12ll ，求实数 c 的最小值 O1 O2 M B A C D 观 赏 长 廊 N （第 17 题图 乙 ） M B A C D O1 （第 17 题图 甲 ） O2 高三数学第一次热身训练 第 3 页 共 4 页 江苏省建湖高级中学 2014 届第一次热身训练 数学试题附加题 21.【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答 ，若多做，则按作答的前两题评分 . 解
10、答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A 选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 在 ABC 中， 23AB AC ， BM 是 ABC 的平分线， AMC 的外接圆交 BC 边 于点 N 求证：32CN AM B 选修 4-2： 矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知矩阵 13abM的一个特征值 1 3 及对应的一个特征向量1 11e （ 1）求 ,ab的值； （ 2）求曲线 22: 4 1 3 1C x xy y 在 M 对应的变换作用下的新曲线的方程 C 选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正
11、半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的参数方程为 2 2 ,xtyt （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 2cos 若直线 l 与 曲线 C 交于 A 、B 两点， 试求线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程 D 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知 ,abc均为正数，且 2 4 3abc，求 1 1 11 1 1abc 的最小值，并指出取得最小值时,abc的值 N M O B A C （第 21-A 题图） 高三数学第一次热身训练 第 4 页 共 4 页 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 .请在 答题纸指定区域 内作答， 解答时应写
12、出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22 （本小题满分 10 分） 甲、乙等五名青奥会志愿者被随机地分到 A B C D， ， ， 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 （ ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （ ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （ ）设随机变量 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 的分布列 23.（本小题满分 10 分） 过抛物线 2 2y px (p 为不等于 2的素数 )的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线于 M,N两点 ,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点 ,交 x 轴于 Q 点 . (1)求 PQ 中点 R
13、 的轨迹 L 的方程 ; (2).证明 :L 上有无穷多个整点 ,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数 . 高三数学第一次热身训练 第 5 页 共 4 页 江苏省建湖高级中学 2014 届第一次热身训练 数学试题 答案 一、填空题 1 1,0 2 二 3 ,1 4 甲 5 32 6 35 7 4 8 ( 1,1) (1, ) 9 34 10 2 2 36 11 34125413 (1,0) 14 2498, 16 二、 解答题 15（ 1）因为 /mn，所以 ta n ta n 3 ( ta n ta n 1 )A C A C ， 所以 ta n ta n 31 ta n ta nACAC
14、 ，即 tan( ) 3AC ， 4 分 所以 ta n ta n ( ) 3B A C ， 又 (0, )B ，所以 3B 7 分 （ 2）在 ABC 中，由余弦定理有， 2 2 2 1c o s 22a c bB ac， 所以 22 4a c ac ， 由基本不等式， 222a c ac ，可得 4ac ，当且仅当 2ac 时，取等， 12 分 所以 ABC 的面积 13sin 4 324S ac B ， 故 ABC 的面积的最大值为 3 14 分 16（ 1）由题意知， ABCD 为等腰梯形，且 2AB a ， 3AC a ， 所以 AC BC ， 又平面 ACEF 平面 ABCD ，平
15、面 ACEF 平面 ABCD AC ， 所以 BC 平面 ACEF 6 分 （ 2）当 33FM a ， /AM 平面 BDE 8 分 在梯形 ABCD 中，设 NBDAC ，连结 EN ，则 : 1:2CN NA ， 因为 33FM a， 3EF AC a， 所 以 EM AN ，又 /EM AN ， 所以四边形 EMAN 为平行四边形， 11 分 所以 /AM NE ， 又 NE 平面 BDE ， AM 平面 BDE ， 所以 /AM 平面 BDE 14 分 17 （ 1）在直角 2AOM 中， 10sinAM ， 2 10cosOM ，则 20 cos 10AD ， 所以矩形 ABCD
16、的面积 2 0 s i n ( 2 0 c o s 1 0 ) 2 0 0 ( 2 s i n c o s s i n )S ， 4 分 令 ( ) 2 s in c o s s inf ， 03pq?， 则 2( ) 2 c o s 2 c o s 4 c o s c o s 2f ， 令 ( ) 0f ，得 33 1cos 8 设0 33 1cos 8 ，且00 3pq?，列表如下： 00, 0 0( , )3 ()f 0 ()f 极大值 所以当 0 ，即 5 30 2 332AB 时， 矩形 ABCD 的面积 最大 10 分 （ 2）由（ 1）易得， 喷泉的面积 2 0 s i n (
17、1 0 c o s 4 ) 1 0 0 s i n 2 8 0 s i nS ， 由 , 64ppq 知， 2 , 32ppq ，所以函数 ( ) 1 0 0 s in 2 8 0 s ing 是单调增函数， 所以 5 0 3 4 0 ,1 0 0 4 0 2 S 13 分 答：（ 1）矩形的宽 5 30 2 332AB （米）时，可 使喷泉 ABCD 的面积最大； （ 2） 喷泉的面积的取值范围是 5 0 3 4 0 ,1 0 0 4 0 2 （单位：平方米） 14 分 18（ 1）设 2( ,0)Fc ，则21,24caac ，解得 2,1ac， N M B A C D E （第 16 题
18、图 ） F 高三数学第一次热身训练 第 6 页 共 4 页 所以椭圆 C 的方程为 22143xy， 2 分 则直线 l 的方程为 3( 1)yx ，令 4x ，可得 (4, 3 3)P ， 联立223( 1),143yxxy ，得 25 204x x，所以 (0, 3)M ， 8 3 3( , )55N ， 4 分 所以22 221 1 1 1 1 5 18 24 3( 0 4) ( 3 3 3 ) 8 3 3( 4) ( 3 3 )55P M P N 6 分 （ 2）设 0 0 0 0( , )( 0 , 0)M x y x y， 2( ,0)Fc ，则直线 l 的方程为00 ()yy x
19、 cxc ， 令 0x ，可得00(0, )cyQ xc ， 8 分 由 11FM FQ 可知，1100001F M F Qcyy x ckkx c c ，整理得 2 2 200y x c， 又 2 2 2 224c a b a ， 联立 2 2 2002200(2 4 ),14y x axyaa ，解得2020,22 2axay ， 14 分 所以点 M 在定直线 2xy上 16 分 19（ 1）由 na ， nb ， 1na 成等差数列可得， 12 n n nb a a ， 由 nb ， na ， 1nb 成等 差数列可得， 12 n n na b b ， 得， 11 3 ( )n n n
20、 na b a b ， 所以 nnab 是以 6 为首项、 3 为公比的等比数列 4 分 （ 2）由（ 1）知， 16 ( 3)nnnab ， 得， 11 2n n n na b a b ， 得， 1 16 ( 3 ) 2 3 ( 3 ) 12 n nna ， 8 分 代入1144nma m aa m a ，得 113 ( 3 ) 1 3 ( 3 ) 33 ( 3 ) 1 3 ( 3 ) 3nmmm ， 所以 3 ( 3 ) 1 3 ( 3 ) 3 3 ( 3 ) 1 3 ( 3 ) 3 n m n mmm ， 整理得， ( 1 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 0mnm ， 所以 11 ( 3
21、)nmm ， 12 分 由 m 是不超过 100 的正整数，可得 12 ( 3) 101nm ， 所以 12nm 或 4 ， 当 12nm 时， 19m ，此时 8m ，则 9n ，符合题意； 当 14nm 时， 1 81m ，此时 80m ，则 83n ，符合题意 故使1144nma m aa m a 成立的所有数对 ( , )mn 为 (8,9) ， (80,83) 16 分 20函数 22ln ( ) , ,() ln ( ) ,a x x c x cfx a x x c x c ， 求导得2222 ,( ) 22,x c x a xcxfxx c x a xcx （ 1）当 34a ，
22、 14c 时，228 2 3 1,44( )8 2 3 1,44xx xxfxxx xx ， 若 14x ，则 28 2 3( ) 04xxfx x 恒成立，所以 ()fx在 1(0, )4 上单调减； 若 14x ，则 ( 2 1)( 4 3)( ) 4xxfx x ，令 ( ) 0fx ，解得 34x 或 12x （舍）， 当 1344x 时， ( ) 0fx ， ()fx在 13 , )44 上单调减； 当 34x 时， ( ) 0fx ， ()fx在 3( , )4 上单调增 所以函数 ()fx的单调减区间是 3(0, )4 ，单调增区间是 3( , )4 4 分 （ 2）当 xc ，
23、 12ac时， ( 1)(2 )( ) x x afx x ，而 112ac ，所以 当 1cx时， ( ) 0fx ， ()fx在 (,1)c 上单调减； 高三数学第一次热身训练 第 7 页 共 4 页 当 1x 时， ( ) 0fx ， ()fx在 (1, ) 上单调增 所以函数 ()fx在 (, )c 上的最小值为 2(1)4af ， 所以 2 144a恒成立，解得 1a 或 1a ， 又由 102ac ，得 2a ，所以实数 a 的取值范围是 ( 2, 1 9 分 （ 3）由 12ll 知， ( ) ( ) 12af f c ，而 ( ) afcc ，则 ( )2acf a ， 若2a
24、 c，则 2 ( ) 222( ) 222aacaafca ，所以 2 cc a ， 解得 12a ，不符合题意； 11 分 故2a c，则 2 ( ) 222( ) 8 222aacaacf a caa ， 整理得， 821aac a ，由 0c 得， 12a ， 13 分 令 8at，则 28ta ， 2t ，所以232 282814t ttct t， 设 32() 28tgt t ，则 22222 ( 12)( ) (2 8)ttgt t ， 当 2 2 3t 时， () 0gt ， ()gt 在 (2,2 3) 上单调减； 当 23t 时， () 0gt ， ()gt 在 (2 3,
25、) 上单调增 所以，函数 ()gt 的最小值为 33(2 3) 2g ，故实数 c 的最小值为 332 16 分 江苏省建湖高级中学 2014 届第 一次热身训练 数学试题附加题 答案 21.A 在 ABC 中， 因为 BM 是 ABC 的平分线 ， 所以 AB AMBC MC 又 23AB AC ，所以 23AC AMBC MC 4 分 因为 CA 与 CB 是圆 O 过同一点 C 的弦， 所以， CM CA CN CB ， 即 CA CNCB CM 8 分 由、可知 23CN AM ， 所以 32CN AM 10 分 B （ 1）由已知 13ab11 133=13 ， 所以 1 3,33a
26、b ，解得 2,0ab 5分 （ 2） 设曲线 C 上任一点 ( , )Pxy 在 M 对应 的 变换 作用下对应点 ( , )P x y ， 则 1203xxyy ， 即 2,3x x yyy ， 解得2 ,313x x yyy ， 代入曲线 C 得 221xy 即曲线 C 在 M 对应 的变换 作用 下的新曲线的方 程是 221xy 10 分 C 直线 l 的普通方程为 2 2 0xy ， 曲线 C 的直角坐标方程为 22( 1) 1xy ， 5 分 所以 线段 AB 的垂直平分线 是过圆心 (1,0)C 且与直线 2 2 0xy 垂直的直线， 其方程为 2 2 0xy ， 故线段 AB
27、的垂直平分线的极坐标方程为 2 c o s s in 2 0 10 分 D 因为 2 4 3abc，所以 ( 1 ) 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) 1 0abc ， 因为 ,abc为正数，所以由柯西不等式得21 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) ( ) ( 1 2 2 )1 1 1abc abc ， 高三数学第一次热身训练 第 8 页 共 4 页 当且仅当 2 2 2( 1 ) 2 ( 1 ) 4 ( 1 )abc 等式成立 所以 1 1 1 11 6 21 1 1 10abc ， 所以 1 1 11 1 1abc 的最小值是 11 6 210 ， 8 分 此时 8 5 2
28、 15 2 17 23 10 2,7 7 7a b c 10 分 22 解：（ ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 AE ，那么 332454 1() 40A APE CA， 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 140 3 分 （ ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ，那么 442454 1() 10APE CA， 所以，甲、乙两人不在同一岗 位服务的概率是 9( ) 1 ( )10P E P E .6 分 （ ）随机变量 可能取的值为 1， 2事件“ 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务， 则 23533454 1( 2 ) 4CAP CA 所以 3( 1 ) 1
29、 ( 2) 4PP ， 的分布列是 1 3 P 34 14 .10 分 23. (1)抛物线 2 2y px 的焦点为 ( ,0)2p ,设 l 的直线方程为 ()2py k x( 0)k . 由 2 2()2y pxpy k x 得 2 2 2 2 21( 2 ) 04k x p k p x p k ,设 M,N 的横坐标分别为 12,xx, 则 212 2 2pk pxx k,得 2122 222P xx p k px k , 22 2()22P p k p p pyk kk , 而 PQl ,故 PQ 的斜率为 1k,PQ 的方程为 2212()2p p k pyxk k k . 代入
30、0Qy 得 22222 3 2Q p k p p k pxp kk .设动点 R 的坐标 (, )xy ,则 21 ()21 ()22PQPQpx x x pkpy y yk ,因此 2 22( ) 4 ( 0 )pp x p y yk , 故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 24 ( )( 0 )y p x p y .5 分 (2)显然对任意非零整数 t ,点 2( (4 1), )p t pt 都是 L 上的整点 ,故 L 上有无穷多个整点 . 假设 L 上有一个整点 (x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 0, 0, 0x y m ,则 2 2 22()4 ( )( )x y m
31、 iy p x p ii ,因为 p 是奇素数 ,于是 py,从 ()ii 可推出 px,再由 ()i 可推出 pm,令 1 1 1,x p x y p y m p m ,则有 2 2 21 1 1211()4 1 ( )x y m iiiy x iv , 由 ()iii ,()iv 得 2211114xxm,于是 2211(8 1) (8 ) 1 7xm ,即 1 1 1 1( 8 1 8 ) ( 8 1 8 ) 1 7x m x m ,于是 118 1 8 17xm , 118 1 8 1xm , 得 111xm,故 1 0y ,有 1 0y py,但 L 上的点满足 0y ,矛盾 ! 因此 ,L 上任意点到原点的距离不为整数 10 分
