四边形中的旋转、折叠问题.doc

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资源描述

1、 四边形中的旋转、折叠问题例题:如图,在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO将纸片翻折后,点 B 恰好落在x 轴上,记为 B,折痕为 CE,已知 tanOBC 34(1)求 B 点的坐标; (2)求折痕 CE 所在直线的解析式例题:(1)如图, ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O。直线 EF 过点 O,分别交 AD、BC 于点E、F求证:AE=CF。(2)如图,将 ABCD(纸片)沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠,点 A 落在点 A1 处,点 B 落在点B1 处。设 FB1 交 CD 于点 G, A1B1 分别交 CD、DE 于点 H、I。求证:EI=FG

2、。例题:(2012 德州)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH(1)求证:APB= BPH;(2)当点 P 在边 AD 上移动时, PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论;(3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由(2012南宁) 如图,已知矩形纸片 ABCD,AD=2,AB=4将

3、纸片折叠,使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合,折痕 FG 分别与 AB,CD 交于点 G,F,AE 与 FG 交于点 O(1)如图 1,求证:A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形;(2)如图 2,当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时,求证:点 N 是线段 BC 的中点;(3)如图 2,在(2)的条件下,求折痕 FG 的长解:(1)由折叠的性质可得,GA=GE,AGF=EGF ,DCAB,EFG=AGF,EFG=EGF,EF=EG=AG,四边形 AGEF 是平行四边形(EF AG,EF=AG) ,又 AG=GE,四边形 AGEF 是菱形(2)连接 ON,AED 是直角三角形,AE

4、 是斜边,点 O 是 AE 的中点,AED 的外接圆与 BC 相切于点 N,ONBC,点 O 是 AE 的中点,ON 是梯形 ABCE 的中位线,点 N 是线段 BC 的中点(3)作 OMAD,设 DE=x,则 MO= x,在矩形 ABCD 中,C= D=90,故 AE 为AED 的外接圆的直径延长 MO 交 BC 于点 N,则 ONCD,四边形 MNCD 是矩形,MN=CD=4,ON=MNMO=4 x,AED 的外接圆与 BC 相切,ON 是 AED 的外接圆的半径,OE=ON=4 x,AE=8x,在 RtAED 中,AD 2+DE2=AE2,22+x2=(8x) 2,得 x=DE= ,OE

5、=4 x= ,FEOAED, = ,解得:FO= ,第 17 题CB G FE DAFG=2FO= 故折痕 FG 的长是 对应练习1.(2012泰安)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4 ,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点E、O,连接 CE,则 CE 的长为( )2.(2012泰安)如图,菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A 在 x 轴上,B=120 ,OA=2,将菱形OABC 绕原点顺时针旋转 105至 OABC的位置,则点 B的坐标为( )3.(2012泰安)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 与 CD 的中点重合,若 AB=2,B

6、C=3 ,则FCB与BDG 的面积之比为( )4.如图,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交 CD于 F 点,若 CF=1,FD=2,则 BC 的长为_5.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4,AD=2将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合,折叠后在其一面着色(如图) ,则着色部分的面积为( )(试题82页)AB CDDCNMF(第 10 题)6.(2010 山东潍坊)如图,直角梯形 ABCD 中,ABBC,ADBC,BC AD,AD2,AB4,点 E 在 AB 上,将CBE 沿 CE 翻折,使B 点与 D 点重合,则BCE

7、 的正切值是_(89页)7.梯形中的对角线(88 页)8.如图,将正方形对折后展开(图是连续两次对折后再展开) ,再按图示方法折叠,能够得到一个直角三角形,且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【 】(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个9 如图所示,把一长方形纸片沿 MN 折叠后,点 D,C 分别落在 D,C的位置若AMD36,则NMD 等于(A)144 (B)126 (C)108 (D)7210.一副三角板按图 1 所示的位置摆放.将DEF 绕点 A(F)逆时针旋转 60后(图 2) ,测得CG=10cm,则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为(A) 75cm2(B) c

8、m2)35(C) cm2ABCD E(F) B A(F)DECG(第 8 题)图 2图 1(D) cm2)3502(例题:在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E,作 EFAB 交 BD 于点 F,取 FD 的中点 G,连结EG、CG,如图(1),易证 EG=CG 且 EGCG.(1)将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90,如图(2),则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.(2)将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180,如图(3),则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.解(1)EG=CG EGCG-(2 分)(2)EG=CG EGCG-(2 分)证明:延长 FE 交 DC 延长线于 M,连 MGAEM=90,EBC=90,BCM=90四边形 BEMC 是矩形.BE=CM,EMC=90又BE=EFEF=CMEMC=90,FG=DGMG= FD=FGBC=EM ,BC=CDEM=CDEF=CMFM=DMF=45又 FG=DGCMG= EMC=45F=GMCGFEGMCEG=CG ,FGE= MGC-(2 分)FMC=90 ,MF=MD, FG=DG MGFDFGE+EGM=90MGC+EGM=90即EGC=90EGCG- ( 2 分)

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