1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 也谈矩阵的广义逆 一、综述本课题的研究动态 , 说明选题的依据和意义 矩阵的现代概念在 19 世纪逐渐形成 . 1801 年德国数学家高斯（ F.Gauss, 17771855 把一个线性变换的全部系数作为一个整体 . 1844 年 , 德国数学家爱森斯坦（ F.Eissenstein, 18231852）讨论了 “变换 ”（矩阵）及其乘积 . 1850 年 , 英国数学家西尔维斯特 （ James Joseph Sylvester, 18414-1897）首先使用矩阵一词 . 1858 年英国数学家凯莱 （ A.Gayley, 18211895）发表关于矩阵
2、理论的研究报告 . 他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究 , 并在这个主题上首先发表了一系列文章 , 因而被认为是矩阵论的创立者 , 他给出了现在通用的一系 列定义 , 如两矩阵相等 , 零矩阵 , 单位矩阵 , 两矩阵的和 , 一个数与一个矩阵的数量积 , 两个矩阵的积 , 矩阵的逆 , 转置矩阵等 . 并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的 , 但一般不可交换 , 且 *mn矩阵只能用 *nk矩阵去右乘 . 1854 年 , 法国数学家埃米尔特（ C.Hermite, 18221901）使用了 “正交矩阵 ”这一术语 , 但他的正式定义直到 1878 年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（ F
3、.G.Frohenius, 18491917）发表 . 1879 年 , 费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念 . 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质 , 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展 , 现在已经成为一门数学分支 矩阵论 . 而矩阵论又可分为矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论 . 矩阵的应用时多方面的 , 不仅在数学领 域里 , 而且在力学 , 物理 , 科技等方面都有十分广泛的应用 . 广义逆的概念最早是由 I.Fredholm 提出的 , 他给出了积分算广义逆的定义 , 并称为 “ 伪逆 ” . 1904 年 , D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中 , 含蓄地提出了微分算子
4、的广义逆 . 而任意矩阵的广义逆定义最早是由 E.H.穆尔在 1920 年提出的 , 他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上 , 他利用投影矩阵定义了矩阵唯一 Moore 的广义逆 . 1933 年 , E.H.Moore 的学生Y.Y.Tseng 又将 Moore广义逆推广到了 Hilbert 空间 , 提出 了 Hilbert 空间线性算子的广义逆的概念 . 20 世纪 50 年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣 . 然而 , 矩阵的广义逆真正得到迅速的发展并在各个领域获得卓有成效的应用实在1955 年英国学者 R.Penrose 利用四个矩阵方程（现在称之
5、为 Penrose 方程组）给出了广义矩阵的简洁实用的新定义 ,即矩阵的 Moore 广义逆满足以下四个矩阵方程： （ 1） AAXA ， （ 2） XXAX ， （ 3） AXAX )( ， （ 4） XAXA )( 因此 , 通常称条件（ 1）（ 4）为 Moore-Penrose 条件 . 近五十年来 , 广义逆矩阵的理论和应用得到了迅速发展 , 并在其中扮演着不可或缺的角色 , 例如微分方程 , 数值代数 , 线性统计推断 , 最优化 , 点网络分析 , 马尔科夫链 , 系统理论 , 测量学 , 等等 , 特别是在研究最小二问题 , 长方及病态线性方程问题 , 非线性问题 , 不适定问
6、题 , 马尔科夫链等统计问题 , 线性及非线性规划问题等之 中 , 广义逆是不可缺少的工具 . 因此 , 至今为止 , 矩阵及算子广义逆仍然是国际上非常活跃的一个研究领域 . 而且广义逆理论本身以及相关的应用领域盖有很多有待进一步研究 . 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 : 研究的基本内容： （ 1）、矩阵广义逆的定义 , （ 2）、矩阵广义逆的基本性质 , （ 3）、矩阵广义逆的求解方法 , （ 4）、矩阵广义逆在解矩阵方程中的应用 , （ 5）、矩阵初等变换在解矩阵方程中的应用 . 拟解决的主要问题： 了解矩阵广义逆的定义及其性质 , 研究矩阵广义逆的计算方法 , 并利 用矩阵的
7、广义逆求解矩阵方程 AX B , 通过矩阵初等变换求解矩阵方程 AX B , 并给出了具体的实例 . 三、研究步骤、方法及措施 研究步骤 : 1.查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2.仔细查看所搜集的文献资料 ; 3.在指导老师的指导下 , 确定论文思路 ; 4.翻译一篇外文资料 ; 5.撰写文献综述 ; 6.撰写开题报告 ; 7.修改外文翻译、文献综述、开题报告 ; 8.撰写毕业论文 ; 9.上交论文初稿 ; 10.反复修改论文定稿 . 方法措施 : 通过到图书馆 , 上网等查阅收集资料 , 上中文学术期刊网 , 万方数据库查找相关文章 , 参考相关内容 . 在老师指导下 , 通过研究各种方法
8、来解决问题 . 四、 参考文献 1 邓勇 . 长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法 J. 绵阳师范学院学报 , 2008:3437. 2 吴有为 . 求广义逆矩阵的初等变换法 J. 数学通报 , 1992:2627. 3 同济大学应用数学系 . 矩阵分析 M. 同济大学出版社 . 2005:153173. 5 Zhong-peng Yang, Chong-Guang Cao and xian zhang. A matrix inequality on schur complements. J. Appl. Math. & Computing 2005:321328. 6 Cao Wensheng. Sqlvability of a quaternion matrix equation. Math. J.Chinese Univ. Set. B. 2002:490498.
