1、毕业论文 文客久久 本科 毕业论文 (设计 ) 题 目： 微扰 KdV 方程的近似对称约化 学 院： 学生姓名： 专 业： 物理 学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久 目录 摘要 . 1 ABSTRACT. 2 引言 . 3 第一章 KdV 方程的发现 . 4 1.1 KdV 方程的建立 . 4 1.2 KdV 方程的发展 . 4 第二章耦合 KdV 方程的导出 . 7 2.1 耦合 KdV 方程的意义 . 7 2.2 耦合 KdV 方程 的导出 . 7 第三章对称约化法 . 12 3.1 对称性约化 . 12 第四章运用近似对称约化法求解微扰 KdV 方程 . 15
2、4.1 运用近似对称约化法求解微扰 KdV 方程 . 15 总结与展望 . 21 参考文献 . 22 致谢 附录毕业论文 文客久久 摘要 微扰 KdV 方程的近似对称约化 摘 要 随着 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命、社会、经济等领域，对非线性系统的研究日趋深入 。如何深刻而简明的 描述非线性方程的求解 ，合理解释相关自然现象的本质特征，已 成为 学术界最前沿的研究课题之一。 本文我们从罗素发现孤立波的自然现象入手，引出 KdV 方程的提出与发展。再简述孤立子概念，并以此为基础讨论两个 KdV 孤立波的碰撞实验，从 而阐述 KdV 孤立波的相关性质。第二部分我们将讨论耦合 KdV 方程
3、的导出， 因为事实上在很多实际问题中，单个的非线性方程不足以确切描述物理现象。这一部分，我们会选取一个二层流体模型，讨论如何在长波近似下用多尺度方法导出二分量 KdV 方程，即耦合 KdV 方程。 第三部分，我们将简略的介绍非线性微分方程的相关求解方法，并重点探讨对称近似约化法的运用。然后，我们将会一起运用该方法，来求解带微扰项的耦合 KdV 方程。最后，得出相关的近似约化方程，做好总结并展望未来。 关键词 孤立波；微扰； KdV 方程；李对称 毕业 论文 文客久久 Abstract USING APPROXIMATE SYMMETRY REDUCTION METHOD TO SOLVE CO
4、UPLED KDV EQUATIONS AbstractWith the nonlinear phenomenon appearing in physics, chemistry, life, social, economic and other fields, nonlinear systems has been increasingly in-depth studied. How to solve nonlinear equations profoundly and concisely, and give a reasonable explanation of the essential
5、characteristics of natural phenomena, has become one of academias most cutting-edge research topics. In this paper, we starting from Russell discovery of the natural phenomenon of the solitary wave, brief the introduction of the KdV equation, and then, introduce the derivation of the KdV equation. I
6、n the chapter 2, we briefly derive the coupled KdV equations. Because in many practical cases, a single nonlinear equation is not enough to exactly describe the physical phenomena. Thus, we take a two-layer-fluid model as an illustrate example, and using multi-scale approach with long-wave approxima
7、tion to export the two-component KdV equation, i.e., coupled KdV equation. In chapter 3, we will briefly introduce method for solving nonlinear differential equations, and mainly focus on the Lie symmetry approximation reduction method. Then, we will use this method to solve the coupled KdV equation
8、s with perturbation terms. Finally, we give some summary. Key WordsSolitary wave; Perturbation; KdV equation; Lie symmetry 毕业论文 文客久久 引言 这个丰富多彩的大千世界，有着太多令人称奇的自然现象，各种形态的物质运动。为了能简明深刻的去理解它们，我们常常会去寻找并建立一些合适的物理 模型 ，然后找出刻画这些模型的一些相关的线性或者非线性的方程，例如 描述引力势的拉普拉斯 (Laplace)方程 和泊松 (Poisson)方程 , 描述波的传播的波动方程 (wave eq
9、uation),描述传热和扩散现象的热传导方程 (heat equation)， 描述电磁场变化的麦克斯韦方程 (组 ),描述微观粒子的薛定谔方程 ,以及爱因斯坦方程、杨 -米尔斯方程、反应扩散方程等等 。 通过对 这些相关 方程的求解和分析研究 ,我们可以准确且明朗的 弄清系统的运动变化规律 ,并 合理 的去 解释 一系列的 自然现象 ,更深 入的 描述系统的本质特 性。 目前来说，行波法、分离变量法和傅里叶变换法等方法的适用，使得对线性方程的研究如虎添翼，线性理论可谓日臻完善 。而大家都知道，大多数的自然现象及其相关问题都是非线性的，线性相关只不过是非线性作用在一定条件下的近似。要真正的理
10、解这个美丽的世界，我们还必须做好对非线性科学的研究，更好的更有效的更系统的去解决非线性问题、非线性方程，更好的去揭示非线性系统的秘密，才是当务之急。 本文，我们将通过运用李对称分析法来构造微扰 KdV 方程（即弱耦合 Kdv 方程）的精确解。 第一部分介绍 KdV 方程的建立与发展； 第二部分介绍耦合 KdV 方程的导出； 第三部分介绍近似对称约化方法； 第四部分介绍如何运用近似对称约化法求解微扰 KdV 方程。 毕业论文 文客久久 第一章 KdV 方程的发现 1.1KdV 方程的建立 物理学不是一个孤立的学科，对物理学的研究我们常常要用到其他相关学科的知识，特别是数学上的一些理论。波动具有时
11、间与空间的双重周期，是扰动在介质中的传播。微分方程是联系自变量、未知函数及其导数（或微分）的一种关系式。而研究波动问题时我们常常会建立相应的偏微分方程，并以求解该类偏微分方程的方式来讨论波动的实质。 KdV 方程是色散波的最简单的模式，在某些简化条件下，它涉及到以下物理类型：液体中长波长的表面波、等离子波、晶格波、弱非线性磁流体力学波等 。 KdV 方程的运用在自然科学的各个领域都扮演者重要的角色，他是研究非线性科学不可或缺的数学基础。具体言之，KdV 方程在流体物理、非线性光学、粒子物理、等离子体物理、凝聚态物理等等物理学的各个分支及数学、化学、通信、生物学等各自然科学领域都有广泛的应用。既
12、然 KdV 方程这么重要，那么 KdV 方程是怎么建立而来的，它又是如何发展的呢。 关于 KdV 方程的建立，最早可以追溯到孤立波的发现， 1834年 8 月 ,一次偶然的机会，英国科学家罗素 在爱丁堡到格拉斯哥的运河中观察到了浅水面上形成的保持原有形状和速度不变、圆而光滑、轮廓 分明的孤立水波。 1844 年在第 14 届英国科学促进协会的报告中，他曾写道： August 1834， was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the wave of
13、 Translation 总之罗素第一个 发现了孤立波自然现象 。 随后， 1895 年 ， 荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯 (G.de Vries)在导师柯特维格(D.J.Korteweg)的指导下 ，在一起 研究单 方向运动的浅水波时 ，从流体动力学出发导出了关于孤立波的 微分 方程。这一微分方程的行波解，在波长趋于无限的情况下，正好可以解释 罗素 所描述的 孤立波现象 。我们称这一种偏微分方程为 KdV 方程 （ 也有人称之为科特韦格 -德弗里斯方程 ）， KdV 方程的建立 从理论上 阐明 了孤立波的存在性 。 1.2 KdV 方程的发展 自此之后的 60 年，相对而言， 对孤立波
14、的研究工作算是进入了寂静时期。尽管当时的学术界在非线性电磁学、固体物理、流体动力学、神经动力学等学科中，都相继的发现了很多与孤立波相关的问题。但仅仅凭着当时对孤立波的研究认识，在这 些新的问题面前，明显的苍白无力。对于这些新的问题，需要用到相关的应用数学上的一些知识，而对这一认识，在当时并没有得到相对足够的重视。这使得，此时关于孤立波的很多重大问题未能有人知晓如何去解释，比如孤立波的稳定性怎么样；两个孤立波在碰撞之后的速度和波形会不会因此毕业论文 文客久久 而改变；以及在流体除外的其他各个科学领域中，孤立波会不会也有存在等等。 就这样对孤立波的研究工作，平平淡淡的 过去了近 60 年。 195
15、5 年 ,在 美国物理学家帕斯塔 (John Pasta)、 费米 (Enrico Fermi)和犹拉姆 (Stan Ulam) 发表的 “ Studies of nonlinear problem”一文中，他们 提出 了 著名的 FPU 问题 。这一问题的提出，得到了广大研究者们的认可， 再次唤醒了大家对孤立波研究的兴趣，使得人们对孤立波的研究工作又重新的开始活跃燃烧 。而由此提出的 FPU 实验，更是 为 孤立子 理论的发现， 提供了 最早的 实验依据 。 对 FPU 问题的研究可谓火热，但最最著名的还是十年后， 1965 年 ,美国 普林斯顿 大学 的数学物理学家 克鲁斯卡尔 (M.D.
16、Kruskal)和贝尔 实验室 的 扎布斯基 (N.J.Zabusky)的研究成果。他们从连续统一体的观点出 发来考虑 FPU 问题，并由此 发现了 FPU 问题中弦的位移满足KdV 方程 ,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出的 某些粒子 性质 , 当两个孤立波碰撞之后保持形状不变，他们称这类孤立波为孤立子 (或孤子 )，这就是 “ 孤立子 ”的概念 。他们做的两个 KdV 孤立波的碰撞实验，具体图片如下： 图 1 两个 KdV 孤立波的碰撞 从图中不难看出：碰撞前后两个孤立波在高度上保持相对不变，就好像“透明”地从对方的身体中穿过一样；在碰撞的时候两个孤立波重叠在一起，其高度
17、明显的低于碰撞之前孤立波高度较高的那一个（这一实验现象表明在非线性变化过程中，运用线性叠加原理是不合适的）；碰撞之后孤立波的轨道与碰撞之前的轨道发生了相对偏离（也就是相移）。 从此之后到现如今，对孤立子理论的研究，及相关的孤立波 KdV 方程的讨论，其发 展速度可谓是 突飞猛进。在 1972 年的夏天，数学、力学、物理学、电气工程学、生物学、地质学、地球物理学等多个学科的相关优秀学者一起来到了当时的美国，召开了一次时间长达三个多星期的基于孤立子理论的学术研讨会，在这段时间大家互相交流了对孤立子相关研究的进展和研究经验。这对孤立子理论的进步起了很大的推动作用，大大加快了孤立子理论的完善进度。现在
18、，孤立子理论已经应用于相关的各个领域，相信不久的将来，它能进一步改善着人类的生活。 关于孤立子理论在超导研究方面的应用：我们已经知道约瑟夫逊（ Brian D. Josephson）效应中的磁通量子其实从某些方面来说就是孤立子，于是我们引入了孤立子理毕业论文 文客久久 论对这一效应进行研究，这对研发耗能特别小、速度特别快的新型计算机器件有很大的帮助；在生物学上的应用，在生物学的研究中科学家们发现了达维多夫（ Davydov A.S.）孤立子，通过引进孤立子理论来探讨生物体蛋白质中孤立子的传播问题，为弄清肌肉收缩的机制提供了有力的途径；在高科技方面的应用，通过研究观察，科学家发现了光纤中的光孤立
19、子。光孤子有很多的优点，包括长距离传输损耗小、无需中继站，比特率高等等。科学家们通过孤立子理论对光孤立子进行了 进一步的研究，发现光纤孤立子在通信方面应用前景很广，光纤孤立子通信在未来的一段时间内，极有可能成为超高速率和超长距离通信的重要手段。毕业论文 文客久久 第二章 耦合 KdV 方程的导出 2.1 耦合 KdV 方程的意义 自然界中存在的各种现象，我们都会建立起相关的非线性物理模型，并导出这些模型的非线性方程，以便去深入了解和研究这些非线性系统。但是事实上在很多的实际情况中，单个的非线性方程还足以确切地描述物理现象，因此我们往往采用耦合方程。下面我们将一起来看一下，在双层流体模型中，我们
20、是如何导出耦合 KdV 方程的 。 2.2 耦合 KdV 方程的导出 我们选取一个二层流体模型： 1 1 1 1, 0 ,txq J q 11 2 2 2 2, 0 ,txq J q 12 其中 ,x y x yJ a b a b b a 1 1 1 2 1,xx yyqF 13 2 2 2 1 2,xx yyqF 14 作为出发点，讨论如何在长波近似下用多尺度方法导出二分量 KdV 方程，即耦合 KdV 方程。 在 11 - 14 中， F 是两层流体之间的弱耦合常数。 20 /LU， 0 0 02 / co sa ，其中 0a 是地球的半径， 0 是地球自转的角频率， 0 是纬度， U 是
21、特征速度标量。无量纲方程 11 和 12 的导出基于特征水平长度标度 610Lm 和特征水平速度标度 110 /U m s 。更特殊一点，当 0 时， 11 1-4 组成的系统可化简 为普通的耦合欧拉方程。这种方程适合描述两层无黏流体。 为了导出 KdV 型方程，在 x 方向采取长波近似，则流函数 1 ， 2 须具有如下形式： 300 ,i i iy x c t y t 0 ,iiy X y T 0ii ， 1,2i ， 15 其中 是一个小参数。假定两层流体之间的耦合是弱的，而且地球的旋转效应很小，因此可以取 F ， 分别具有 和 2 阶是合理的，具体为 0FF ， 21 16 展开流函数
22、1,2i i 为 2 3 41 11 12 13, , , , , ,X y T X y T X y T O 17 毕业论文 文客久久 2 3 42 21 22 23, , , , , ,X y T X y T X y T O 18 把 1 5 1 8代入 11 和 12 得 21 0 1 0 1 1y yy yyy Xc 1 0 1 0 1 2y yy yyy Xc 3 30 1 0 2 1 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1y X y y y y X y y y XF c F c 4441 0 1 0 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2y y y X y y y X y y
23、 y X y y y Xc 4 4 410 0 22 11 11 0 21 11y X X y y X YXc F T F 412 0 21 1 11yyy y XF 40 0 2 0 1 1 1 2y yyy XFc 5 0O , 19 22 0 2 0 2 1y yy yyy Xc 32 0 2 0 2 2y yy yyy Xc 30 2 0 1 1 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1y X y y y y X y y y XF c F c 42 0 2 0 1 3 2 2 2 1 2 1 2 2y y y X y y y X y y y X y y y Xc 42 0 0 1
24、 2 2 1 2 1 0 1 1 2 1y X X y y X yXc F T F 42 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 2 1 2 2y y y y X y y y y XF F c 5 0O, 1 10 让 19 和 1 10 两式中的 2 项均为零，我们可以得到一组特解 1 1 1 1 1 1,A X T B y A B ， 111 2 1 2 2 2 2,A X T B y A B ， 11 其中的 1B ， 2B 通过下面的方程与 10 ， 20 相联系： 0 1 1 1 0 10y y y yU B B C ， 10 0 0U c y ， 1 13 0 2 2 2 0 20y y y yV B B C ， 20 0 0V c y ， 1 14 这里的 1C , 2C 都代表任意常数。 利用关系式 1 11 1 12分别消去 19 和 1 10 中的 3 项，然后对 X 积分一次，去掉积分函数，可得 21 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 1 0 22 2 0y y y y y y yB B B b A F B A B A ，
