1、 第 1 页 共 3 页 单摆的习题课单摆的习题课单摆周期公式的理解1. 等效摆长：摆长 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距l离例如在图中，三根等长的绳 共同系住一密度均匀的123,l小球，球直径为， 与天花板的夹角为 若摆球在纸23,l面内做小角度的摆动，则摆动圆弧的圆心在 O 处，故等效摆长为 ，周期 T ；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆1l2dgld21动圆弧的圆心在 O 处，故等效摆长为 ，周期 T2sindlgld221sin2. 等效重力加速度 g 周期公式中的 g 由单摆所在的位置空间决定.由 g=G 知，g 随地2()MRh球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同
2、，因此应求出单摆所在处的等效值 g代入公式，即 g 不一定等于 9.8m/s2. g 还由单摆系统的运动状态决定.当单摆在竖直方向上有加速度时(如在上下加速运动的升降机中)，其效果相当于重力加速度发生了变化： 单摆有竖直向上的加速度 a 时，相当于重力加速度变为 g=g+a； 单摆有竖直向下的加速度 a(ag)时，相当于重力加速度变为 g=g-a 单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g=0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了.总之，要从回复力入手，到等效重力加速度 g代入公式即可求出周期 T.若gg，T 变短；g g，T 变长. 应用演练【例 1】如图所示，用两根长度均
3、为 的细线下端拴一质量为 m 的小球，上l端分别固定在水平天花板上 A、B 两点，A、B 间距为 d 小球的半径为 R.现使小球在垂直于纸平面内做小幅振动，求小球的振动周期.（小球摆动过程中细线的伸长可忽略不计）.解析：根据题意，小球的运动实际上是以 AB 中点到小球的距离为摆长的单摆运动.设此等效摆长为 0，则 0=lO1Om mllA B 第 2 页 共 3 页 单摆的习题课+R.由单摆周期公式 T=2 得该小球的周期 T=略2dl gl0点评这是一个双线摆，可以看成一个单摆，悬点在 AB 中点处，摆长为+R.2l【例 2】如图所示，将摆长为 的单摆放在光滑的斜面上，让其做简谐运动，l则周
4、期 T 的表达式为 .解析：将单摆装置置于斜面上时，单摆静止在平衡位置时对悬绳的拉力为 mgsin，故其等效重力为 mgsin，其等效加速度 g=gsin，其周期表达式为 T= 2sinlg点评关于等效重力及等效重力加速度的分析，可假设让摆球静止在平衡位置，则摆球对悬绳的拉力为等效重力的大小，它产生的加速度为等效重力加速度（即等效重力与质量的比值）【例 3】有一单摆在地面上一定实际内振动了 N 次，将它移到某高山上，在相同的时间内振动了（N-1）次，由此可粗略的推算出此山的高度约为地球半径的多少倍?解析：设时间为 t，在地面上单摆的周期为 T= ，在高山上，单摆的周期为tT= .设地面处的重力
5、加速度为 g，高山上的重力加速度为 g，由单摆的周期公1Nt式可推得 =（ ） 2.设高山的高度为 h，由万有引力定律得 g=G ，g1 2RMg=G .所以 = .山高为 h= ，2hRMNR1即山高为地球半径的 倍 .1点评【例 4】如图所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方.一小球由距 O 点很近的 A 点由静止放开，同时在 O 点的正上方有一小球自由下落，若运动中阻力不计，为使两球在 O 点相碰，小球应由多高处自由下落?lOAR 第 3 页 共 3 页 单摆的习题课解析：球由 A 点开始沿球的内表面运动时，只受重力与弹力作用，其模型为单摆的等效摆型，其周期公式为 T= 2 .要使两球在 O 点相遇，则所需时间为：gRt=（2n-1） ， （n=1，2，3）4T故另一小球下落的高度h= = = （n=1，2，3 ）21gtgRn16282n点评本题首先应明确球由 A 点开始沿球的内表面振动的模型为单摆的等效摆型；其次应注意简谐运动的周期性.
