1、学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 1 页 共 13 页第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例 1 用定积分定义求极限.)0(2lim1anan解 原式= = .101lianxnidaa10例 2 求极限 .02lixn解法 1 由 ，知 ，于是 .1nnx2102xn10ndx而 ，由夹逼准则得 =0.10nxnd00 102limnn解法 2 利用广义积分中值定理（其中 在区间 上不变号） ，xgfbabaxgfddxgba,由于 ，即 有界，.10112102 nnn 102n2n，故 =0.dxn10 02limxnd注 （1）当被积函数为 或 型可作相
2、应变换.2,axR2,aR如对积分 ，可设 ；31022dtxn对积分 ，由于 ，可设020axxa 22axa.txsin对积分 ，可设dxe2l021.sintex（2） 的积分一般方法如下：0,cossin20ttbaI学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 2 页 共 13 页将被积函数的分子拆项，分子=A分母+B分母 ，可求出 ， 2dcbaA. 则积分2dcabB200 cossinl2cossin tdtBAdttAI .lndcBA例 3 求定积分 x12ar分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式.解法 1 dx
3、2arcsin2t 121212 arcsinriacsinarcsinttdtdt .63解法 2 dx1arcsin .163cosin2si 24242 udu小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元 时还应注意：tx（1） 应为区间 上的单值且有连续导数的函数；,（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例 4 计算下列定积分（1） ， ； 203cosinxdI dxI203cosin（2） .s26ex解 （1） 2031cosinxdI学研教育2016 年浙江专升本高数
4、定积分及重积分的方法与技巧第 3 页 共 13 页)(sinco203duux= .is023Ix故 dI20331coin= .41ss20 2xx（2） I.1co26dexdxeuu26261cos22661cosdxeIx.3251465coscos22066xdxd这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式： dxxnn2020cossi偶nn,242131, 小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为0，a时，设 ;积分区间为-a,a时，设 。可使新的积xauxu分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。（2）利用例 10.6(2)中
5、同样的方法易得学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 4 页 共 13 页20 20cossincossin dxfxfgdxfxfg例 5 设 在 上具有二阶连续导数， ，f, 3f且 ，求2cos0xdfx .0解 f 20sincossinsinc000 ff dxfxfdxfxd故 .53小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择 的原则；dvu,（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例 6 计算定积分 （ 为自然数）.xdn206si解 是以 为周期的偶函数.xsin .85214365sin4sin2i2206606 nx
6、dxx 原 式例 7 证明积分 与 无关，并求值.021dI解 021xdI，于是02021 1xdtxt2xdI.4arctn21100 小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 5 页 共 13 页二、含定积分的不等式的证明例 8 证明（1） ； .2221dxe0sin2tdext证 （1） 在 上连续，令 ，得 .2xf, 2xf 0比较 与 的大小，知在 上的最大值为21eff 0f 1,，最小值为 ，故10fM21efm.2121221 Mdxe（2）由于 以 为周期，ttsintd
7、edexFtt sin202i.sii0nttt而 udetudet sin202si 令，ti0sn因为 ，isnsi ttt .,所以 si0nsitdexFtt事实上， （2）中所给变上（下）限定积分与 无关，仅为取正值的常数.x例 9 设 是 上单调减少的正值连续函数，证明f1,dxfxf0 .10证 利用积分中值定理， dxfxf0211,021（因为 递减取正值）.2fff xf学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 6 页 共 13 页即 dxfxf0 .10例 10 设 在 上连续且单调递增，证明：当 时，有b, ba0（101）.200dxfaxfxf
8、ba 分析 将定积分不等式（101）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将 换成 ，作辅助函数 ，即buuF需证 .0bF证 作 ，dxfadxfudxfua0022ba则 fff 01（因为 递增， ）210udxfxf0xfu于是，由拉格朗日中值公式，有.0abFabaFb .b即式（101）成立.例 11 设 在 上连续，且 ，证明xf,f.max,2fMbdbba 分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计 .xf证 因为 在 上连续，故有界，即存在 ，使 ，xfba, 0Mbax,axfff 故 dxxbaba.2abMba例
9、12 设 在 上二阶可导，且 ，证明xf,00xf.20fda学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 7 页 共 13 页分析 已知 二阶可导，可考虑利用 的一阶泰勒公式估计 ；又所证xf xf xf的不等式中出现了点 ，故考虑使用 处的泰勒公式.2a20a证 在 处的一阶泰勒公式为xf，222axfaxfaf ！ 其中， 在 与 之间.利用条件 ，可得0f，22axfafx两边从 到 取积分，得0 .00 afdxfafdxf aa小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：（1） 利用定积分的保序性；（2） 利用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用例 13
10、 求由曲线 与直线 及 所围成的图形分别绕0axyax2,0y轴、 轴及 旋转一周所成的旋转体的体积.xy1 xy=a图118yxOFGBAC(2a,0.5)D(a,1)解 （1）绕 轴旋转，积分变量为xax2,.212adVa学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 8 页 共 13 页（2）绕 轴旋转 （3）绕 1 旋转yy解法 1 取 为积分变量， ，直线 及 和双曲线 的交点,0ax2axy及 的纵坐标分别为 和 .设平面图形 ， 及 （见DCy2CDFGBOADF图 118）绕 轴旋转而成的立体的体积分别为 和 ，则所求旋转体的体积21,V3为321V.222
11、aady解法 2 取 为积分变量， ，将 分成两部分区间： 和 .1,0, 21,0,在 上，体积元素为1,0.32221 dyaadV在 上，体积元素为,2.1222 dyadyadV故所求体积为dyady13212210.2解法 3 选 为积分变量， .将旋转体分割成以 轴为中心的圆柱形薄壳，xax2,y以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间 的窄曲x,边梯形可近似地看做高为 ，宽为 的举矩形，它绕 轴旋转而成的圆柱形xydy薄壳的体积，即体积元素为.2xadV学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 9 页 共 13 页因此有 .222adxxaV
12、a（3）绕 旋转1y选 为积分变量， .xax,体积元素为 dxdV221所求体积为 aa dxdx222291.1lnln2xa小结 （1 ）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若 平面中的平面图形 是由曲线 xOyDxy21,与直线 所围成，则分别绕 轴、 轴旋转所得旋转体体x12ba, xy积为bayx xdV.212第二部分 二重（三重）积分一、重积分的计算及技巧总结计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：1
13、直角坐标系下确定积分次序的原则（1）函数原则内层积分能够求出的原则.例如 一定应先对 积分，后对 积分.2,yexgfxy学研教育2016 年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第 10 页 共 13 页例如 一定应先对 积分，后对 积分.ygxyfcos,yx（2）区域原则若积分区域为 型（即用平行于 轴的直线穿过区域 ，它与 的边界曲线YxD相交最多为两个点） ，应先对 积分，后对 积分.y若积分区域为 型（即用平行于 轴的直线穿过区域 ，它与 的边界曲线X相交最多为两个点） ，应先对 积分，后对 积分.yx若积分区域既为 型区域，又为 型区域，这时在函数原则满足的前提下，Y先对 积分
14、或先对 积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先x采用该积分顺序.（3）少分块原则在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单.2 直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则（1）每层积分的下限都应小于上限.（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数.（3）外层积分限必须为常数.3当二重积分的积分域 为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有 的函D2yx数形式，即 时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计2,yxfyg算二重积分一般均采用先 后 的积分次序.r4极坐标下积分限的确定当极点在积分域 之外时D21 .sin,co,r rdfdyxf当极点在积分域 的边界曲线上时rD rfyxf0.si,c,当极点在积分域 内时rD rdfdyxf02 .sin,co,21 .i,0rff
