1、1第二讲 导数与微分1 导数的概念一、内容提要1 导数的定义： 000()()limlixxfxfyf(1) 几个等价形式 00()()lixff 00()lihffxf()mx(2) 存在 与 .0f00)(ffx(3) 函数在 处右连续,且 ,则 .0li)xA0()fx函数在 处左连续,且 ,则 .0limx0()fxA2. 导数的几何意义: -曲线 在点 的切线斜率.0()fxk()yf,曲线 在点 的切线:y,f00()xfx曲线 在点 的法线: ()fx0,()fx0001)(yff3. 导数的物理意义: 如果 表示物理量,则导数 表示该量的变化率.如yfdyx设 -直线运动,则
2、-时刻 的瞬时速度,()sftd()svftt-时刻 时的加速度.dvat4. 可导与连续的关系函数 在 处,可导 连续 极限存在;反之,极限存在不一定连续,连续不一定可导.()fx05微分的定义及性质：(1) 微分的定义: 若 ，则称函数 在点 可微, 称为 在)(xoAy)(xfy0Ax()f点 处的微分，记作 ，即 .当是自变量时 , .0xdd2(2) 微分与导数的关系: 可微 可导,且()dyfx二、典型例题分析1.1 导数概念 (常见题型：概念、切线与法线、可导性与连续性的讨论)例 1 单项选择题(1) 设 ，则 在 处可导的充要条件是( ) (B)0f)(xf0（A） 存在； （
3、B） 存在；20coshlimh0(1limhhfe（C） 存在； （D ） 存在.20(in)lihf 02)lihff(2) 设 可导， ，则 是 在 处可导的( ). (A)fx(|sn|)1Fxfx(f()Fx0(A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件(C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分也非必要条件.(3) 设 ,则 在 内不可导点的个数是 ( ) (C)3()lim|nnfxx()f,)(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.(4) 设 ，其中 有界，则 在 处 ( ). （D）2cos,0() (),xfg)(xg()fx0(A) 极限不存在； (B) 极
4、限存在但不连续； (C) 连续但不可导； (D) 可导.例 2 填空题(1) 设曲线 在点 处的切线与 轴交点为 ,则 .()nyfx(1,)x(0)nlim()nf()1e(2) ,其导数在 处连续,则 的取值范围是 .cos,() 0fx0()2(3)已知 ，则 . ( )()tan)(tan)1044 xf ()1f !92注此处： .此例说明，用定义求某些函数在某些点处的导214tlimlisecLxtx数有时也相当方便.例 3 已知 是周期为 5 的连续函数,它在 的某个邻域内满足关系式()f 0x(1sin)3(1sin)8()ffx3其中 是 时比 高阶无穷小,且 在 处可导,求
5、曲线 在点 处()x0x()fx1()yfx6,()f的切线方程.分析 关键:确定切点 和切线斜率 .因 以 5 为周期,故 ,(6,)f(6)ffx()1f,所以只需求出 即可.(6)1ff1,(f例 4 设 , 有二阶连续导数，且 ， (),00xgefx()gx(0)1,()g（1）求 ；（2）讨论 的连续性.()fx()fx注 研究分段函数可导性（连续性）时，分段点需特别考虑. 一般情形，分段点处的导数必须用导数的定义求；若分段点左右两边的表达式不同时，要按定义求左、右导数.1.2 函数的微分例 1 单项选择题(1) 设函数 满足: .若 ,则( ) (A)()yfx()0,()ffx
6、0(A) (B) (C) (D) 0dydyd0dy(2) 设函数 可导, 当自变量 在 处取得增量 时,相应函数增量 的()fu2()yfxx1.1xy线性主部为 ,则 ( ). (D).1(A) (B) (C) (D) 0.10.5例 2 设 满足 ，并且，对任意两点 有 ，()fx()fa ,xy()(14fxyff求证：（1） ， （2）f (x)可微；（3）求 . 0f)(f2 导数的计算一、内容与知识要点1.基本导数公式2. 求导法则(1)四则运算法则(和、差、积、商): ； ； ； vu) vu)( 2vu(0)； ；(ddd()d(2) 复合函数求导法则 ()fxfx4(3)
7、反函数的导数: .d1xy3. 一阶微分形式不变性: 当变换自变量时（即设 为另一变量的可微函数时） ，微分形式x并不改变.()dyfx4. 高阶导数 ()(1)0()()lim,(,nxffxf yy 几个常用函数的高阶导数公式:; ()ln)xnxaaxnxe)(; ,()sii2()coss2n;()1)(1)(n nxaxa ;()() !l ()nnnnxa.()()nnfxf高阶求导法则; ; ()()nkffx)()()(nnvuv()()0nkkuCuv5. 隐函数求导方程 确定了一个隐函数 .0),(yF()yx方法一: (两边求导法)方程两边分别对 求导，记住 是 的函数,
8、求出 .yxdyx方法二:(两边微分法)方程两边取微分（利用微分基本公式、法则及微分形式不变性） ，解出 .dxy方法三: ( 公式法) .xyFd6. 由参数方程所确定的函数求导, , ()xty()tdx23()()ttdx二、典型例题分析1 用四则运算求导法则和复合函数求导法则求导数例 1 填空题5(1) 设 , ,则 . 32()xyf2(cotfarx0|xdy3()4(2) 设 ,则 .2)arctnl1xxef ()fe21(3) 设 由 所确定，则曲线 在 处的法线方程为 . (yf2os()xy()yfx0,（ ）10)(4) 曲线 上对应雨点 处的切线方程为 . csr6（
9、 ）3504xy(5) 设 ,则 .1()xf()nf例 2 单项选择题(1) 设 可微， ， ，则 等于( ) (B)()g1()(gxhe1,()2hg1g（A） ； （B） ；（C） ； （D ） .ln3ln2ln3ln21(2) 设 有任意阶导数， ，则 时 为( ). (A)()fx()ff ()nfx(A) ； (B) ；!n1 ()fx1(C) ； (D) .()fx2!n2例 3 求下列函数的导数：(1) ，求 ; xxayy(2) ，求 ；32321sincoxy(3) 设 ， 有二阶导数，且 ，求 ；()fyxef()f12dyx(4) ，求 ；213()ny(5) ，求 ； ( )sincoyx66() ()533cos4,cos(4882nnyxyx(6) ，求 ； ( )2()l(1)f ()0)nf)1!0f(7) 设 由 所确定（t 1） ，求 ；()yx12ld5uteydyx6(8) 设 三阶可导,且 ，其反函数 ,求 ；()yfx0y()xy23d,xy（ ）3,()25()(9) 若 ，其中 二阶可导，求)()(limtxteftfx201f().x
