1、上海市浦东新区 2018 届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 集合 ， ，则 1,234A1,357BAB2. 不等式 的解集为 x3. 已知函数 的反函数是 ，则 ()f1()fx1(5)f4. 已知向量 ， ，则向量 在向量 的方向上的投影为 1,2a(3,4)bab5. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 iz)i|z6. 在 的二项展开式中， 的系数是 5(2)x3x7. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从中抽取 4 个产品，其中恰好有 1 个二等品的概率为 8. 已知函数
2、 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若()yfxR0,)，则实数 的取值范围是 ()4faa9. 已知等比数列 前 项和为 ，则使得 的 的最小值为 1,93nnS218n10. 圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则此圆锥的表面积为311. 已知函数 （ ），将 的图像向左平移 个单位得到函数()sinfx0()fx2的()gx图像，令 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有()hfgmx成立，则 的最小值为 (1m12. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 是双曲线 上的两个动点，OMN214y动点 满足 ，直线 与直线 斜率之积为 2，已知平面内存在两
3、定点P2MN、1F，使得 为定值，则该定值为 212|PF二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 若实数 ，则命题甲“ ”是命题乙“ ”的（ ）条件,xyR4xy2xyA. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要14. 已知 中， ， ，点 是 边上的动点，点 是 边上ABC21ABCPABQAC的动点，则 的最小值为（ ）QPA. B. C. D. 0415. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：）满足函数关系yxkxbye（ 为自然对数的底数， 、 为常数），若该食品在 0的保鲜时间是 192 小2.718 kb时，在
4、22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）小时A. 22 B. 23 C. 24 D. 3316. 关于 的方程 恰有 3 个实数根 、 、 ，则x2arcsin(o)0xa1x232213（ ）A. 1 B. 2 C. D. 22三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在长方体 中， ， ， .1ABCD2AB1DA（1）求异面直线 与 所成的角；1（2）求三棱锥 的体积.18. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，ABCCabc(2,1)m，且 .(cos,cos)nabA mn（1）求 ；（2）若
5、，且 ，求 的值.2723ABCSb19. 已知等差数列 的公差为 2，其前 项和 （ ， ）.nan2nSp*nNpR（1）求 的值及 的通项公式；p（2）在等比数列 中， ， ，令 （ ） ，nb21a324b(21)nakcb*N求数列 的前 项和 .ncT20. 已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，2:1xyab0a1F2(0,)Ab在 中， ，周长为 .12AF123423（1）求椭圆 的方程；（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为lBCABC，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；l（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆
6、上的一个动点，试根据 面积 的EPEPS不同取值范围，讨论 存在的个数，并说明理由.A21. 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，即 ，()fxD()f()|(),fDyfxD若 ，则称 在 上封闭.()fD（1）分别判断函数 ， 在 上是否封闭，说明理由；2017()logxf2()1x(0,)（2）函数 的定义域为 ，且存在反函数 ，若函数()1fxk,ab1()yfx()f在 上封闭，且函数 在 上也封闭，求实数 的取值范围；D1()fxfDk（3）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，若 ，有 恒成立，,xyxy()fxfy则称 在 上是单射，已知函数 在 上封闭且单射，并且满足 ，其中()
7、fx()f D（ ） ， ，证明：存在 的真子集， 1nnf*N1 ，使得 在所有 （ ）上封闭.3D21()fxiD,23,n参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 1,3(,0)(1,)U312807. 8. 9. 10 10. 11. 12. 65,361二. 选择题13. B 14.B 15. C 16. B三. 解答题17.（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角.2 分1/ADQ1A1CD在等腰 中，C5,2A易得 4 分10即：异面直线 与 所成的角 1 分B110arcos（2） 4 分11BDACV3 分(2)3318. （1）由 ， ，2 分mnurcosc
8、os0CaBbA由正弦定理得： ，2 分iinicsB ；2siA； ncosi0由 ， ，2 分iC12 ；1 分23C（2）由 ， ，coscabC227cosbabC ， ；4 分2260由 知， ， ，2 分3ABCS1sin3a1322 .1 分2b19. （1） npQ*,22anN3 分,np1， 3 分12)(3nan（2） ，212,49b ， ，2 分q213nnq当 时，*,nkN1421kTababL132242(+)()k kaL174-37()(19)3(9)()8kkk3 分28n当 时， 是偶数，*1,nkN11()23()T8nnnb (1)28n3 分*3(
9、1);2,()1,28nn kNT20. （1）由 得： ，所以 123FA13FAO23abc又 周长为 ， 所以 424c解方程组，得 1ab所以椭圆方程为 4 分24xy（2）设直线 方程： ，交点lkm12(,)(,)BxyC1 分22(1)8404ykx1 分21212(1),4kxk1 分12,ABACyyk依题： 即： 1 分121x12,ykxmykQ12121()xkm1 分k过定点 1 分ykx(,)（3） ， 1 分:10AEl212AEA设直线 与椭圆 相切，yxt4xy1 分222510140tyt得两切线到 的距离分别为:0AElxy1251,d1512AEPdS1
10、 分21512AEPdS当 时， 个数为 0 个5P当 时， 个数为 1 个1AEP当 时， 个数为 2 个SAE当 时， 个数为 3 个5AEPP当 时， 个数为 4 个3 分0121. （1）因为函数 的定义域为 ，值域为 ， （取一个具体例子也可） ，()fx(0,)(,)所以 在 上不封闭.（结论和理由各 1 分）()fx0,12t2(1)1() (0,),2tght在 上封闭（结论和理由各 1 分）()gx,（2）函数 在 D 上封闭，则 .函数 在 上封闭，则 ，()f ()fD()fxfD()fD得到： .（2 分）f在 单调递增.1fxk,ab则 在 两不等实根（1 分）(),
11、()afb1fxkx1,，22g()10xk故 ，解得 （3 分）2()4()0g12k5,14k另解： 在 两不等实根令1fxkx1,1(0)txt在 有两个不等根，画图，由数形结合可知，21kt0,t,4k解得 54（3）如果 ，则 ，与题干 矛盾.()fD()nfD()nfD因此 ，取 ，则 .（2 分）11接下来证明 ，因为 是单射，因此取一个 ，()f()fx1p则 是唯一的使得 的根，换句话说 .（2 分）pp()ff考虑到 ，即 ，1D因为 是单射，则()fx1 11()()()ffDffpDfp 这样就有了 .（3 分）1接着令 ，并重复上述论证证明 .（1 分）()nnf1n
