1、 1 一类递推数列问题的解决与延伸 湖南省南县一中 陈敬波 (413200) 已知数列 an,a1=a,an+1=pan+q(p 1,q 0 是常数 ),求数列 an的通项公式 an,是高中常见的递推数列问题 . 这类数列通常可转化为 1 ()nna p a ，或消去常数转化为二阶递推式2 1 1()n n n na a q a a ，或归纳猜想证明 . 例 .已知数列 na 中， 111 2 1 ( 1 )nna a a n ， ,求 na 的通项公式 解析 :解法一（待定系数法）转化为 1 ()nna p a 型递推数列 1 2 1( 1)nna a n ， 1 1 2 ( 1)( 1)n
2、na a n ，又 1 12a ，故数列 1na 是首项为，公比为的等比数列 12nna ，即 21nna 解法二（差分法形成差数列）转化为 2 1 1()n n n na a p a a 型递推数列 1na =2an+1(n 1) 2na =2an+1+1 ， 得 2 1 12 ( )n n n na a a a (n 1)，故 1nnaa 是首项为 a2-a1=2，公比为的等比数列，即 11 2 2 2nnnnaa ， 再用累加法得 21nna 解法三用迭代法 2 1 2 31 2 2 12 1 2 ( 2 1 ) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1n n n nn n n na
3、a a a a 解法四 .归纳猜想证明法 111 2 1 ( 1 )nna a a n ， , 2 3 43 7 1 5a ,a ,a , 猜想： 21nna .用数学归纳法证明 (证明略 ). 这类递推数列解决后 , 其他类型的递推可以转化并解决 . 类型一 : 1 ( , 1 , 1 )nn + na = q a + d p , d q d为 非 零 常 数 这类数列可变换成 11 1nnaaqd d d d ，令 nn nab d，则转化为 1nnb pb q 型 . 例 2.设数列 111 3 2 ( * )nn n na a a a n N 满 足 ： ， .求数列 na 的通项公式
4、 解析 : 1 32nnnaa ， 两边同除以 12n ， 得 11 312 2 2 2nnaa 令 2nn nab， 则有1 3122nnbb 于是，得1 31 ( 1)2nnbb ， 数列 1nb 是以首项为 37144 ，公2 比为 32的等比数列，故 1731 ( )42nnb ， 即 173( ) 142nnb ，从而 2117 3 23nnna 类型二 : 1 (,nn ncaa c dad 为 非 零 常 数 ） ；若取倒数 ,得11 1 1nnda c a c ，令 1n nb a，从而转化为 1nnb pb q 型 . 例 3. 已知数列 na 中满足 1 1a ，1 31n
5、n naa a ，求数列的通项 na . 解： 数列 na 中， 1 1a ，1 31nn naa a 1113nnaa ，即1113nnaa 数列 1na是以11 1,a 公差为 3 的等差数列 . 111 ( 1 ) 3 , 3 2nnnnaa 即 132na n ()nN 类型三 : 1 ( 0 0 , 0 , 1 )pn + n na = c a a ,c p p 这类数列可取对数得 1lg lg lgnna p a c ，从而转化为 1nnb pb q 数列 . 例 4. 已知数列 na 中满足 1 1a ， 51 10 ,nnaa 求数列 na 的通项 na . 解 : 1 1a
6、， 51 10 ,nnaa 1 51nnlg a lg a . 1 11544nnlg a lg a . 14nlga是以为 14 首项 ,5 为公比的等比数列 . 11 511 411 5 1 044 nnnnlg a a . 类型四 : 21n n na pa qa可转化为 1 nna p a q 例 .设数列1 2 2 15 5 21 ( * )3 3 3n n n na a a a a a n N 满 足 ： ， ， .求数列 na 的通项公式 分析 : 设法把 1na 分 1na 给 2na .转化为 1 nna p a q 3 解 :由2152 ( * )33n n na a a
7、n N ，可得 2 1 1 12 2 2 ( ) ( * )3 3 3n n n n n na a a a a a n N .设1 1 2 12 5 213 3 3n n n nb a a b b a a ， 则 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 且 ，故 2 ( *)3nb n Nn（ ） 即1 2 ( 2 )3nna a n n-1（ ） 用累加法得 121 1 1 2 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3nnn n n n na a a a a a a a ， 1 1 2 2 1 112( ) ( ) ( )2 2 2( ) ( ) 13 3 3n n
8、 n n nnna a a a a a a a 21 ( )23 31 ( ) 2 313nn ).解决这类问题 ,还可使用下面的定理 定理 :在数列 na 中， Nnqapaa nnn 12 ， 21,aa 为初始值它的特征方程qptt 2 的两根为 , ，则（）当 时， 11 nnn BAa ；（）当 时 1 nn BAna （证明略） 解法 2: 递推关系对应的特征方 程为 : 2 23 5 2 0 1 3 ,. 则 111 22133nnnna A B A B . 由1251 3，aa得 : 121 32 52 23 33a A B AB Aa A B BAB 1223 2 3 333
9、nnna. 例 :在数列 1 2 2 11 ( * )n n n na a a a a a n N 中 ， 已 知 ， ，求数列 na 的通项公式 解 :令 1n n nb a a，使数列 nb 是以 为公比的等比数列 ( ,待定 ) 即 2 1 1() ，n n n na a a a 21() n n na a a 对照已给递推式， 有11 ， ，即 2 10a x x 、 是 方 程 的两个实根 4 从而 1 5 1 5 1 5 1 52 2 2 2 ， ； 或 ， 2 1 11 5 1 5 1 5(2 2 2n n n na a a a ) 或2 1 11 5 1 5 1 5(2 2 2n n n na a a a ) 由式得1 1 5 1 5()22 nnnaa ；由式得1 1 5 1 5()22 nnnaa 消去1 1 5 1 5( ) ( )22nnnnaa ， 得
