1、复变函数与积分变换 课程综合测试 3一、填空题（每题 3 分，共 15 分）1复数 的三角形式是 ；i )2sin()cos(22积分 = 0 ；dzez1|23级数 的收敛半径 R= ；1)4(nni514设 的傅里叶变换是 ，根据傅里叶变换的性质tf )(wF(1) 的傅里叶变换是 其中 t0R. ； )(0)(0ejt(2) 的傅里叶变换是 ； 2tf 215 是函数 sin 的孤立奇点，它属于 本性奇点 类型，z-zRessin ,2= 1 。2二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1复数 所对应的点在（ D ）ie1（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D ）第四象限2设
2、 ，则 （ A ）)ln(iwwIm（A） （B）4 2401k,（C） （D ） ,3设 C 为正向圆周|z|=1，则积分 等于（ A ）dzC|（A）0 （B） 2i（C） （D ）2 4复积分 的值是 ( B )dzi0（A） （B）3 i31（C） （D ）1 5若 为解析函数，则（ C ）)3()( 223xyiynxmzf （A） （B）3,nm1,3nm（C） （C）11,n三、计算题1解方程 。64z解： 。 的四个方根分别是 )sin(co16w， 。4242skkzk 3,20即 ， ， ， 。)1(0i)(1iz )(2iz)1(iz2讨论函数 的可导性，并在可导点处求其
3、导数。2yxf解： ， 。由 ， 。 ， 在全平面上处处xyu2v1uxy0vy2连续，根据柯西黎曼条件，有 得 。则 只在 处可导，且导02x1wiz数为 。2w3设 C 为正向圆周 ，计算积分 I= 。1zdzeC3)1(解：令 在 内部及曲线上解析，根据柯西积分定理，知道该积分为零。31)(zef24用留数计算积分 C 为正向圆周 。cdzzI其 中,)2(3 12z解：被积函数在圆周内部只有一个二级极点 。根据留数定理， 。2),(Rezfs16lim30z idzzIc83)2(35求函数 的全部孤立奇点. 若为极点，则指出其阶数。)()(2zef解： 为二级极点， 是分母的一级极点
4、，故 （其中 为整数）为一1zikikz2级极点。6将函数 展开为泰勒级数。0)2(1)(zzf在解： ，而 ，21)2(1)( zzzf nzz21。所以12)(21nz， 。nnnzzzf012)()(1)( 7将函数 在圆环域 内展开为罗朗级数。)(f解： ，从而01)(1nnzz， 。19)()() nnf 10z8求函数 的傅里叶变换。32costtf解： 的傅里叶变换是 ， 的傅里叶变换是si )2()(wjtcos。因为 ，所以 的傅里叶)2()(w ttt 2in313cos)(tf变换为 。)()(2)()(3 wj 9利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 。0)(23yet解
5、：两边取拉氏变换可得：。12)(32)(2 sGss )1(3)(ss而 ，所以有 。4)(1)(ss 243tttetf10 （6 分）给定积分 。试就下列不同情形，写出此积分的值：Cxdzze2)(1) C 为正向圆周 1， (2) C 为正向圆周| , (3) C 为正向圆周 。123z解： 在整个复平面上只有两个奇点： 和 。2)()zef 0z2（1）C 为正向圆周 ，只有奇点 在圆周的内部，根据柯西积分公式或应用留数10z定理得 。2|)(2)( 0ieidzzezx (2) C 为正向圆周 ，只有奇点 在圆周的内部，根据柯西高阶导公式或应用留1数定理得 。22|)( eizeidzex (3) C 为正向圆周 ，两个奇点都在圆周的内部，根据留数定理有3。12)(eidzzex
