1、第十四讲 两圆的位置关系 平面上两个半径不等的圆的位置关系可分为五种情况，如图 3 44所示 利用两圆圆心距 d及两圆半径 R， r(R r)这三个量可以判定两圆位置关系： (当 d=0时，两圆又称为同心圆 ) 对于半径相等的两个圆 ，在同一平面上的位置关系只有外离、外切、相交这三种情况 我们知道圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴在由两圆组成的平面图形中，经过两圆圆心的直线即为图形的对称轴利用轴对称的性质，很容易理解和掌握由两圆所组成的图形中的许多性质 如图 3 45所示 O1与 O2交于 A， B两点， l为过 O1， O2的直线，则 l为两圆所组成的图形的对称轴由轴对称性
2、不难得到性质：连心线 l垂直平分公共弦 AB；外公切线长相等，即 CD=EF；两条外公切线的夹角被 l平分，即 1= 2 同样，两圆外切、外离、内切时 的一些性质，也可以用轴对称性去理解和记忆 例 1 如图 3 46所示两圆内切于 P点，大圆的弦 AB切小圆于 Q，连结AP， BP交小圆于 C， D，连接 PQ交 CD于 H求证： (2) APQ= QPB 分析 若能证出 CD AB，则 则 QCD= 2，由 AB与小圆切于 Q，可知 AQC= 1，只须证明 QCD= AQC 证 因为两圆内切于 P点，过 P作两圆的公切线 EF，所以 PDC= EPC， PBA= EPA， 所以 PDC= P
3、BA， AB CD 从而 (2)连结 CQ，则 QCD= 2因为 AB切小圆于 Q，所以 1= AQC 因为 AB CD，所以 AQC= QCD= 2， 所以 1= 2， 即 APQ= QPB 说明 两圆相切时，过切点作两圆的公切线，这是添辅助线常用的方法 例 2 如图 3 47所示 P的圆心 P在 O上， O的弦 AB所在的直线与 p相切于 C，若 P的半径为 r， O的半径为 R (1)求证： PA PB=2Rr； (2) O和 P的交点 D， AD交 P于 E，若 O和 P的面积之比为 9 4，且 PA=10， PB=4.8，求 DE和 AE的长 由这四条线所 构成的三角形能否相似，因此
4、，连接 PC，过 A作直径 AF，连接 PF，来证明 PCB APF (2)由两圆面积为 9 4，可知两圆半径之比为 3 2，再利用2Rr=PA PB=10 4.8可求出两圆半径在 Rt PAC与 Rt PAF中，可利用勾股定理分别求出 AC及 PF的长因为 ADP= F，所以 cos ADP=cos F=PF AF连接 PE，在等腰 PED中，已知 PD=PE=r及 cos ADP，可求出 DE，再利用切割线定理 AC2=AE AD，求出 AE 证 (1)过 A作 O的直径 AF，连接 PF， PC因为 AF为 O的直径，所以 FPA=90 因为 AC切 P于 C，所以 PCB=90 又因为
5、 PBC= F，所以 PCB APF， 所以 所以 PA PB=2Rr (2)因为 设 R=3x，则 r=2x因为 PA PB=2Rr且 PA=10， PB=4.8，所以 10 4.8=12x2， 所以 x=2(舍负 )， R=6， r=4因为 PA=10， PC=4，所以 因为 AF=2R=12，所以 连接 PD， PE，则 PD=PE=r=4， 由余弦定理有 PE2=PD2+DE2-2PD DEcos ADP， 因为 AC2=AE AD=AE(AE+DE)， 例 3 如图 3 48所示 ABC内接于 O， BAC=75， AB， AC边分别交于 D， E点，过 A点作两圆的公切线，交 DE
6、延长线于 P点 (1)求 AB， AC的长； (2)求 AP PD的值 分析 (1)在 ABC中，已知两角及一边，则 ABC可解 (2)可证明 DE BC，则 ADE ABC，所以， AE AD=AC AB，再利用 PADPEA即可求得 解 (1)因为 C=60，作 AH BC于 H，所以 因为 BAC=75， 所以 BAH=45因为 B=45，所以 BH=AH设 (2)因为 PA切两圆于 A，所以 B= SAC= AED， DE BC， ADE ABC， 从而 因为 PAE PDA，所以 例 4 如图 3 49所示在 ABC中， AB=AC，一个圆内切于 ABC的外接 O于 M，并与 AB，
7、 AC分别相切于 P， Q两点求证：线段 PQ的中点是 ABC内切圆的圆心 分析 注意到所给的图形是一个轴对称图形， ABC的内心一定在对称轴 AM上， AM与 PQ的交点 I即为 PQ中点，只需证明 BI是 ABC的平分线即可 证 AB=AC且都是 O的两条弦，所以 O点到 AB， AC的距离相等，则O在 BAC的平分线上又因为小圆与 AB， AC都相切，所以小圆的圆心也在 BAC的平分线上，所以小圆的圆心、 O点及 A点三点共线且该直线经过两圆切点 M， AM为图形对称轴设 AM交 PQ于 I，由对称性可知， I为 PQ中点因为 AM PQ， AM BC， 所以 Q BC 设 APQ=2，
8、则 ABC= APQ=2连结 MP， MQ， MB， BI， 为 AM为 O直径，所以 PBM=90，所以 P， B， M， I四点共圆所以 PBI= PMI=， 所以 BI平分 ABC又因为 AI平分 BAC，所以 I为 ABC内心，所以线段PQ的中点是 ABC内切圆的圆心 说明 析所求证问题时，要学会将所证明题进行等价转化，转化为一个简单的易证的问题另外，要充分利用图形的基本性质，如本题中图形的轴对称性在解题中发挥了很大作用 例 5 如图 3 50所示在 ABC的各边向外各作一个正三角形 BCD， CAE， ABF求证：这三个正三角形的外接圆共点 分设 ABF与正 ACE的外接圆的另一交点
9、为 O，要证明正 BCD的外接圆也过 O点，即证明了 O， B， D， C四点共圆 证 ABF与正 ACE的外接圆交于 O点，连接 OA， OB， OC因为 AOC+ E=180， AOB+ F=180， E= F=60， 所以 AOC= AOB=120， BOC=360 - AOC- AOB=120 又因为 D=60，所以 BOC+ D=180， 所以 O， B， D， C四点共圆，即正 BCD的外接圆也通过 O点，于是 ABF， ACE， BCD的外接圆共点 说明 若干个圆共点常用的方法主要有以下两个： (1)先证其中两圆相交 (或相 切 )于某点，然后证明此点在其他圆上，即把共点圆的问题转化为共圆点的问题 (2)找出某一定点，然后证明该点在各个所设圆上 (这定点一般为特殊点 ) 练习十四 1如图 3 51所示 O1与 O2相交于 A点，过 A作直线交 O1于 C，交 O2于 B设 M是 O1O2的中点， N是 BC的中点，求证： MN=MA 2如图 3 52所示五个圆顺次相外切，并且都和直线 l1， l2相切，如果已知大圆半径是 18，最小圆半径是 8，试求正中间 O3的半径 3如图 3 53所示 I为 ABC的内心，过 B作 O1与直线 CI相切于 I点，又过 C作 O2与直线 BI相切干 I点求证： O1， O2的一个交点 D与 ABC的外接圆共点
